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高一(下)周练数学试卷(2)



龙泉中学 2014 级高一(下)周练数学试卷(2)
命题人:杨阳 班级 姓名 2015.3.17 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.下列说法正确的是 A.数列 1,3,5,7 可以表示为 {1,3,5,7} B.数列 1,0,?1,?2 与数列 ? 2,?1,0,1 是相同的数列



二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.在 ?ABC 中,若 A ? 120?, AB ? 5, BC ? 7 ,则 ?ABC 的面积为__________. 12.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? an?1 ? 2(n ? 2) ,则 an ? _________. 13. 若 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? 1 (? ? 0, | ? | <π) 对任意实数 t , 都有 f t ? π ? f ?t ? π . 则 f ( π ) ? _ __. 3 3 3 14.甲、乙两楼相距 20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60° ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30 ? ,则乙 楼的高是 . 15、下列命题:① 函数 y ? sin x 在第一象限是增函数; ② 函数 y ?| cos x ? 1 | 的最小正周期是 ? ; 2 ③ 函数 y ? tan

? ? ?

?

n ?1 1 } 的第 k 项为 1 ? D.数列 0,2,4,6,8,? 可记为 {2n} n k 2.设数列 0.3,0.33,0.333 ,0.3333 ,?的通项公式是 1 1 1 2 3 n n n A. (10 ? 1) B. (1 ? n ) C. (10 ? 1) D. (10 ? 1) 9 3 9 10 10 1 3.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, a 2 ? 3, a n ? a n ?1 ? (n ? 3) ,则 a5 等于 an?2 55 13 A. B. C. 4 D. 5 3 12 4.在 ?ABC 中, a ? 12, b ? 13, C ? 60? ,此三角形的解的情况是
C.数列 { A.无解 5.在 ?ABC 中,若 B.一解 C. 二解 D.不能确定

x 的图像的对称中心是 (k? ,0), k ? Z ; 2

其中正确的命题序号是 . (写出所有正确结论的序号) 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? 3sin 2 x ? sin x cos x . (Ⅰ) 求 f ( ) 的值; (Ⅱ) 设 ? ? (0, ? ), f ( ) ?

?

?

6

2

1 3 ,求 sin ? 的值. ? 2 2

cos A cos B cos C ? ? ,则 ?ABC 是 a b c
B.等腰直角三角形 D.等边三角形

A.有一内角为 30° 的直角三角形 C.有一内角为 30° 的等腰三角形 6.设 a ?

2 3 ,则 (sin17? ? cos17?), b ? 2cos 2 13? ? 1, c ? 2 2 A. c ? a ? b B. b ? c ? a C. a ? b ? c D. b ? a ? c 2 2 7. 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 若 a ? b ? 3bc ,sin C ? 2 3 sin B , 则A? 0 0 0 0 A. 150 B. 60 C. 120 D. 30

1 ? 2 cos(2? ? ) 3 4 ? 8.已知角 ? 在第一象限且 cos ? ? ,则 ? 5 sin(? ? ) 2 2 7 14 2 A. B. C. D. ? 5 5 5 5 9.甲船在岛 B 的正南方 A 处, AB ? 10 千米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行,同时乙船 自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60 ? 的方向驶去,当甲,乙两船相距最近时,它们所航行
的时间是 A.

?

?ABC 中, 17. (本小题满分 12 分) 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B . (I)求 cosB 的值;
(II)若 BA ? BC ? 2 ,且 b ? 2 2 ,求 a和c 的值.

??? ? ??? ?

150 分钟 7

B.

15 分钟 7

C.21.5 分钟

D.2.15 分钟

10. ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 1:1: 2 ,且 S ?ABC ? A.2
1 2 3

1 2 2 2 ,则 a ? b ? c 的值是 2
D.8

B. 2
4 5

C.4
6 7

8

9

10

18. (本小题满分 12 分)如图,一鱼船在海上由西向东航行,在 A 处望见灯塔 C 在船的东北方向, 半小时后在 B 处望见灯塔在船的北偏东 30 ? ,若船速每小时 30 海里,当船行至 D 处望见灯塔 C 在 船的西北方向时,求 AD 两点的距离. (已知 sin15? ?

20. (本小题满分 13 分)在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C?cos A ? cos B? . (1)判断 ?ABC 的形状; (2)在上述 ?ABC 中,若若角 C 的对边 c ? 1 ,求该三角形内切圆半径的取值范围.

6? 2 ,结果保留根号) 4

19.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? m ( x ? R) . (Ⅰ)化简函数 f ( x ) 的表达式,并求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若 x ? [0,

?

21. (本小题满分 14 分)二次方程 ax ? 2bx ? c ? 0 ,其中 a, b, c 是一钝角三角形的三边,且以 b 为最长边. (1)证明方程有两个不等实根; (2)证明两个实根 ? , ? 都是正数;
2

1 7 ] ,是否存在实数 m ,使函数 f ( x) 的值域恰为 [ , ] ?若存在,请求出 m 的取 2 2 2
[

(3)若 a ? c ,试求 | ? ? ? | 的变化范围.

值;若不存在,请说明理由.

龙泉中学 2014 级高一(下)周练理科数学试卷(2)参考答案
命题:杨阳 选择题答案 1 C 11. 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 7 D 8 C 9 A 10 C

∴ f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? m ? 1 ? [m,3 ? m] 1 2

又∵ f ( x ) ? [ , ] ,解得 m ? ∴存在实数 m ?

1 7 2 2

40 15 3 3m ;15. ③. ;12. an ? 2n ?1(n ? N * ) ;13. ?1 或 3 ;14. 3 4 ? ? ? ? ? 1 ? 3 ? f ( ) ? ? 3 sin 2 ? sin cos ? 0 ; 16. 解:(Ⅰ) ? sin ? , cos ? 6 6 6 6 6 2 6 2 3 3 1 ? 3 1 3 1 3 (Ⅱ) f ( x) ? cos 2 x ? ? sin 2 x ,? f ( ) ? cos ? ? sin ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a? . 1 2sin 2 ? ? sin ? ?1 ? 0 ? ? ? (0, ?) ? s i n ? ? 0 ?s i n 17. 解: (I)由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C , 则 2 R sin B cos C ? 6 R sin A cos B ? 2 R sin C cos B 即 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B 可得 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B 即 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B 所以 sin A ? 3sin A cos B 1 又 sin A ? 0 ,因此 cos B ? ; 3 ??? ? ??? ? (II)解:由 BA ? BC ? 2 ,可得 ac cos B ? 2 , 1 2 2 2 2 2 又 cos B ? ,故 ac ? 6 ,由 b ? a ? c ? 2ac cos B 可得 a ? c ? 12 3 2 所以 (a ? c) ? 0 即有 a ? c ,所以 a ? c ? 6 . ? ?ABC ? 9 0 ? 3 ?0? 1 ?2 0 18.解: AB ? 30 ? 0.5 ? 15 , ? ? ? ? ∴ ?ACB ? 180 ? (120 ? 45 ) ? 15 , AB AC ? 由正弦定理得: , sin ?ACB sin ?ABC AB ? sin ?ABC 15sin120? 15(3 2 ? 6) ∴ AC ? , ? ? sin ?ACB sin15? 2 又∵ ?ACD ? 180? ? (45? ? 45? ) ? 90? , AC ? 45 ? 15 3 (海里) ∴ AD ? sin D
答: AD 两点的距离为 45 ? 15 3 海里. 19.解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? m

1 1 7 ,使函数 f ( x) 的值域恰为 [ , ] . 2 2 2

20. 解: (1)由 sin A ? sin B ? sin C?cos A ? cos B?

C C ? 0 即 C ? 90? ? 1 ?c o s 2 ? ?ABC 是以 C 为直角顶点得直角三角形; 1 1 (2)内切圆半径 r ? ?a ? b ? c ? ? ?sin A ? sin B ? 1? 2 2 2 ? ?? 1 2 ?1 ? sin ?A? ?? ? 2 4? 2 2 ?
可得 2 sin
2

? 内切圆半径的取值范围是 (0,

2 ?1 ]. 2

21.解: (1)在钝角△ABC 中, b 边最长.

??1 ? cos B ? 0 且 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B, ? ? (? 2b)2 ? 4ac ? 2b2 ? 4ac

? 2(a2 ? c2 ? 2ac cos B) ? 4ac ? 2(a ? c)2 ? 4ac cos B ? 0 (其中 2(a ? c)2 ? 0 且 ?4ac cos B ? 0 )
∴方程有两个不相等的实根.

2b c ? 0,?? ? ? 0, ∴两实根 ? , ? 都是正数; a a ? 2b ? ?? ? 2 ? ? a ,? (? ? ? )2 ? a 2 ? ? 2 ? 2?? ? (? ? ? ) 2 ? 4?? ? 2b ? 4 (3)当 a ? c 时, ? a2 ??? ? c ? 1 ? a ? 2 2 2(a ? c ? 2ac cos B) ? 4a 2 ? ? ?4cos B,? ?1 ? cos B ? 0,? 0 ? ?4cos B ? 4 , a2 因此 0 ?| ? ? ? |? 2 .
(2)由(1)及 ? ? ? ?

? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? m ? 2 sin( 2 x ?
∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ?

?
6

) ? m ?1

(Ⅱ)假设存在实数 m 符合题意, ? x ? [0,

?
2

],

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? ? 1 则 sin(2 x ? ) ? [ ? ,1] ; 6 6 2



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