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抛物线的焦点弦性质教学设计



教学课题

抛物线的焦点弦性质(一) 知识与技能: (1)探究、理解并掌握抛物线的焦点弦性质。 (2)学习解题方法,解题思路,渗透数形结合、函数方程、分类讨论等数学思想,锻炼 学生分析问题解决问题的能力。 过程与方法:(1)让学生结合抛物线定义从实例中抽象概括出焦点弦的几条性质; (2)体验由实例探究焦点弦的性质的过程; (3)让学生学会归纳整理所学知识的方法

。 情感态度价值观:通过本节的学习,让学生体会运用数学各种思想方法解题的快捷性, 准确性。 培养学生主动探索精神, 提高学生分析、 对比、 概括等方面能力,渗透数形结合、 函数方程、分类讨论等数学思想。使学生感受到学习数学的乐趣,增强学习的积极性 理解 应用 综合 目标设计 (1) 复习利用抛物线定义推导的焦点弦弦长以备后 面性质推导 (2) 给出焦点弦所在直线倾斜角或斜率推导焦点弦 弦长 (3) 培养学生分类讨论 (4) 熟练利用函数方程思想,借助于韦达定理推导, 注意分类讨论 (5) 利用焦半径公式推导,考查学习对所学知识的掌 握

课标要求

知识点

认知层次 识记

1.焦点弦弦长 √ √

2. 焦点弦端点横 纵坐标的关系 3. 端点与焦点形 成的焦半径之间 的关系





教学设计流程 复习抛物线定义及利用焦半径公式推导的焦点弦公式 通过例题 1 推导焦点弦弦长的另一个公式,分两种情况探究 通过例 2 探究焦点弦两端点的横纵坐标的关系,分两种情况探究 通过例 3 探究两焦半径之间的关系 归纳总结本节课的重点内容,和应用的数学思想 课后小组探究内容展示

教学过程 一、复习抛物线定义,焦半径公式,由焦半径公式推导的焦点弦式 问题:1、抛物线的定义内容是什么? 2、焦半径公式有哪些? 3、利用焦半径公式推导的焦点弦弦长有哪些? AB 为焦点弦.点 A(x1,y1),B(x2,y2)

= 2px(p>0) :|AB|= p ? x1 ? x2 = -2px(p>0) :|AB|= p ? ( x1 ? x2 ) = 2py(p>0) :|AB|= p ? y1 ? y2 = -2py(p>0) :|AB|= p ? ( y1 ? y2 ) 二、新课引入 问题 1、利用焦点弦的两端点横坐标和可以求焦点弦的弦长,那么如果知道 焦点弦所在直线的倾斜角或是斜率,有没有更简便的方法去直接求出弦长呢?我 们来看一道例题。 例 1、过抛物线 y2 = 2px(p>0)的焦点 F 做倾斜角为 ? 的直线 ,设 l 交抛物线于 A,B

y2 y2 x2 x2

两点,求证:

AB ?

2p sin 2 ?

问题 2、上面的例题的抛物线开口是向右的,那么抛物线开口向左、向上、向下的时候 弦长又是多少?我们一起来探究。 结论:若过抛物线焦点的直线的倾斜角为 θ 时,其焦点弦弦长为: 当焦点在 x 轴上时,

AB ?
焦点在 y 轴上时,

2P sin 2 ?
2

AB ?

2P COS ?

问题 3、焦点弦的两个端点的横坐标、纵坐标之间是否有关系呢?如果 有关系,又是什么? 例 2、过抛物线 y2 = 2px(p>0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A、B 两点,设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 求证: 2

y1 y2 ? ? p

p2 x1 x2 ? 4

问题 4、上面的例题的抛物线开口是向右的,那么抛物线开口向左、向上、向下的时候它们 的关系又是多少?我们共同来探究。 结论:焦点弦端点 A、B 的横坐标之积,纵坐标之积均为定值, 焦点在 x 轴上时, 2

xx ?
1 2

p ,y y ??p 4
1 2

2

焦点在 y 轴上时,

y1 y2 ?

p2 , x1 x2 ? ? p 2 4

问题 5、焦点弦弦长|AB|=|AF |+ |BF |,那么|AF |和 |BF|之间有没有关系呢? 例 3、过抛物线 y2 = 2px(p>0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A、B 两

点,求证:

1 1 2 + = | AF | | BF | p

问题 6、焦点在 x 轴上和 y 轴上的不同开口方向结论一样吗? 结论:抛物线的焦点 F 到焦点弦的两端点 A、B 的距离的倒数和为定值,即
1 + | AF | 1 = | BF | 2 p

三、归纳小结: 1、焦点弦弦长公式 2、焦点弦端点 A、B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值 3、抛物线的焦点 F 到焦点弦的两端点 A、B 的距离的倒数和为定值 四、作业:课下小组探究 1.过抛物线 y2 = 2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 θ 的直线交抛物线于 A、B 两点,O 为坐

标原点,求证:

S ?AOB ?

P2 2 sin ?

(同时探究焦点在 y 轴上时的面积) 2、以焦点弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是什么?(可同时探究在椭圆和双 曲线中这种圆和对应准线的位置关系)

3、设点 M 为抛物线准线与 x 轴的交点,线段 AB 为焦点弦,试判断∠AMF 与∠BMF 的大 小关系。

4、过焦点弦端点 A、B 作准线的垂线,垂足分别为 C、D,求∠CFD 的大小。



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