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高二理科圆锥曲线测试题及答案



高二理科数学圆锥曲线测试题
一、选择题:
2 2 1.已知动点 M 的坐标满足方程 13 x ? y ?| 12 x ? 5 y ? 12 | ,则动点 M 的轨迹是(



A. 抛物线 2.设 P 是双曲线

B.双曲线

C. 椭圆

D.以上都不对

x2 y2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, F1 、F2 分别是双曲线 9 a2

的左、右焦点,若 | PF1 A. 1 或 5

|? 5 ,则 | PF2 |? (

) C. 1 D. 9

B. 1 或 9

3、设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三 角形,则椭圆的离心率是( ). A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D.

2 ?1
)条

4.过点(2,-1)引直线与抛物线 y ? x 2 只有一个公共点,这样的直线共有( A. 1 B.2 C. 3 D.4

5.已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y)满足PA? PB ? y 2 ,则点 P 的轨迹是 ( A.圆 6.如果椭圆
王新敞
奎屯 新疆

)

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 36 9 A x ? 2y ? 0 B x ? 2y ? 4 ? 0 C 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D x ? 2y ? 8 ? 0 2 2 7、无论 ? 为何值,方程 x ? 2 sin ? ? y ? 1所表示的曲线必不是( )
王新敞
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A. 双曲线
2

B.抛物线
2 2

C. 椭圆

D.以上都不对

8.方程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系中的示意图应是(



A
二、填空题: 9.对于椭圆

B

C

D

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有下列命题: 16 9 7 9
第 1 页

①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; 其中正确命题的序号是 ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. .

10.若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为 11、抛物线 y ? ? x 2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最小值是 12、抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标 13、椭圆
x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 中点在 y 轴上, 12 3 那么|PF1|是|PF2|的



14.若曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点为定点,则焦点坐标是 a?4 a?5

.;

三、解答题: 15.已知双曲线与椭圆

14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程.(12 分) 5 9 25

2 2 16.P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? 25 9 (1)求△ F1 PF2 的面积; (2)求 P 点的坐标. (14 分)

17、求两条渐近线为 x ? 2 y ? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为

8 3 的双曲线方程.(14 分) 3

18、知抛物线 y 2 ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点,M 是 FQ 的中点, 求点 M 的轨迹方程. (12 分) 20、点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦 36 20

点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求 椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。

第 2 页

x2 y2 10 1.若椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值是________. 5 m 5 2.若抛物线 y2=2x 上的一点 M 到坐标原点 O 的距离为 3,则 M 到该抛物线焦点的距离为________. 3.双曲线 2x2-y2+6=0 上一个点 P 到一个焦点的距离为 4,则它到另一个焦点的距离为________. x2 y2 4.(2012· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 - =1 的离心率为 5,则 m 的值为 m m2+4 x2 y2 PF1 5.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 e,若椭圆上存在点 P,使得 = a2 b2 PF2 e,则该椭圆离心率 e 的取值范围是________. PF1 解析:∵ =e,∴PF1=ePF2=e(2a-PF1), PF2 PF1= 2ae . 1+e

2ae 2ae 2e 又 a-c≤PF1≤a+c,∴a-c≤ ≤a+c,a(1-e)≤ ≤a(1+e),1-e≤ ≤1+e,解得 e≥ 2-1. 1+e 1+e 1+e 又 0<e<1,∴ 2-1≤e<1. 答案:[ 2-1,1)

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[典例1] x2 y2 (2012· 四川高考)(1)椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B.当△FAB 的周长最大 4 3 时,△FAB 的面积是________. (2)(2011· 福建高考)设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1, F2.若曲线 Γ 上存在点 P 满足|PF1|∶ |F1F2|∶|PF2| =4∶3∶2,则曲线 Γ 的离心率等于________. 解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题,一般考虑用定义,在椭圆和双曲线的方程中要注意 a,b,c 之 间关系的区别. [演练1] x2 y2 (1)已知双曲线 - =1 的一个焦点坐标为(- 3,0),则其渐近线方程为________; a 2 (2)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距 离之和的最小值是________. x2 y2 2 (2012· 北京高考)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 .直线 y=k(x-1)与椭 a2 b2 2 圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△ AMN 的面积为 10 时,求 k 的值. 3

本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系.解决直线与圆锥曲线的位置关系的 相关问题,一般是联立方程消元后转化为二次方程的问题. [演练2] 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点, 且 AB=9.求该抛物线的方程. p? 5p 解:直线 AB 的方程是 y=2 2? ?x-2?,与 y2=2px 联立,从而有 4x2-5px+p2=0,所以 x1+x2= 4 . 由抛物线定义得 AB=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. [典例3] y2 (2012· 南师大信息卷)已知双曲线 x2- =1,椭圆与该双曲线共焦点, 3 点(2,3). (1)求椭圆方程; (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A,B,右焦点为 F,直线 l 为椭圆的右
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且经过

准线, N

为 l 上的一动点,且在 x 轴上方,直线 AN 与椭圆交于点 M. ①若 AM=MN,求∠AMB 的余弦值; ②设过 A,F,N 三点的圆与 y 轴交于 P,Q 两点,当线段 PQ 的中点为(0,9)时,求这个圆的方程. [解] (1)双曲线焦点为(± 2,0), x2 y2 设椭圆方程为 + =1(a>b>0). a2 b2 a2-b2=4, ? ? 则? 4 9 解得 a2=16,b2=12. ? ?a2+b2=1. x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 16 12 (2)①由已知,A(-4,0),B(4,0),F(2,0),直线 l 的方程为 x=8.设 N(8,t)(t>0). t 2, ?. ∵AM=MN,∴M? ? 2? 由点 M 在椭圆上,得 t=6. 故点 M 的坐标为 M(2,3). 所以 MA =(-6,-3), MB =(2,-3),

MB =-12+9=-3. MA ·

MB MA · -3 65 cos ∠AMB= = =- . 65 36+9· 4+9 | MA |· | MB |
②设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将 A, F,N 三点坐标代入,得 16-4D+F=0, ? ? ?4+2D+F=0, ? ?64+t2+8D+Et+F=0, D=2, ? ? 72 得?E=-t- t , ? ?F=-8.

72? 圆的方程为 x2+y2+2x-? ?t+ t ?y-8=0, 72? 令 x=0,得 y2-? ?t+ t ?y-8=0. 设 P(0,y1),Q(0,y2), 由线段 PQ 的中点为(0,9),得 y1+y2=t+ 72 =18. t

此时,所求圆的方程为 x2+y2+2x-18y-8=0. 本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题,主要考查待定系数法求曲线方程. [演练3]
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x2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心 a2 b2 原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程;

率为

3 ,以 2

(2)已知点 P(0,1),Q(0,2).设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同 两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T. 求证:点 T 在椭圆 C 上. 解:(1)由题意知椭圆 C 的短半轴长为圆心到切线的距离,即 b= c 3 b 因为离心率 e= = ,所以 = a 2 a 所以 a=2 2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 8 2 (2)证明:由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线 PM 的方程为 y= ① 直线 QN 的方程为 y= y0-2 x+2. ② -x0 y0-1 x+1, x0 c? 1 1-? ?a?2=2. 2 = 2. 2

设 T 点的坐标为(x,y). 3y-4 x 联立①②解得 x0= ,y0= . 2y-3 2y-3 x2 0 y2 0 1 x 1?3y-4? 因为 + =1,所以 ?2y-3?2+ ? 2=1. 8 2 8? ? 2?2y-3? ? - x2 整理得 + 8 2 =(2y-3)2,

x2 9y2 x2 y2 所以 + -12y+8=4y2-12y+9,即 + =1. 8 2 8 2 所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上. [典例4] x2 y2 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 C: + =1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合. 16 15 (1)求抛物线 D 的方程; (2)过椭圆 C 右顶点 A 的直线 l 交抛物线 D 于 M、N 两点. ①若直线 l 的斜率为 1,求 MN 的长; ②是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 MA 为直径的圆 E 所截得的弦长为定值?如果存在,求出 m 的方 程;如果不存在,说明理由. [解] (1)由题意,可设抛物线方程为 y2=2px(p>0).由 a2-b2=16-15=1,得 c=1. ∴抛物线的焦点为(1,0),∴p=2. ∴抛物线 D 的方程为 y2=4x. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2).

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? ?y=x-4, ①直线 l 的方程为:y=x-4,联立? ?y2=4x, ?

整理得 x2-12x+16=0. 则 x1+x2=12,x1x2=16, 所以 MN= - + - =4 10. ②设存在直线 m:x=a 满足题意,则圆心 E?

? ? 2 , 2 ?,过 E 作直线 x=a 的垂线,垂足为 H,设直线
x1+4 y1

m 与圆 E 的一个交点为 G.可得 GH2=EG2-EH2, 即 GH2=EA2-EH2= - +y2 1 ?x1+4 ? - 4 ? 2 -a?2

- - + 1 = y2 1+ +a(x1+4)-a2 4 4 =x1-4x1+a(x1+4)-a2=(a-3)x1+4a-a2. 当 a=3 时,GH2=3,此时直线 m 被以 MA 为直径的圆 E 所截得的弦长恒为定值 2 3. 因此存在直线 m:x=3 满足题意. 以探究“是否存在”为目标的开放性问题,是高考的一个热点,解决此类问题的方法类似于反证法,即先 假设存在并设出参数.建立方程,若有符合题意的解,则说明存在,否则说明不存在. [演练4] 已知椭圆 C 的离心率 e= 2 ,一条准线方程为 x=4,P 为准线上一动点,直线 PF1、PF2 分别与以原点 2

为圆心、椭圆的焦距 F1F2 为直径的圆 O 交于点 M、N. (1)求椭圆的标准方程; (2)探究是否存在一定点恒在直线 MN 上?若存在,求出该点坐标;若不存在,请说明理由. c 2 a2 解:(1)由题意得 = , =4,解得 c=2,a=2 2, a 2 c x2 y2 则 b2=a2-c2=4,所以椭圆的标准方程为 + =1. 8 4 (2)由(1)易知 F1F2=4,所以圆 O 的方程为 x2+y2=4. t 设 P(4,t),则直线 PF1 方程为 y= (x+2), 6 x2+y2=4, ? ? 由? 得(t2+36)x2+4t2x+4(t2-36)=0, t ? ?y=6 + , 解得 x1=-2,x2=- 所以 M?- - , t2+36

? ?

- 24t ? , ?, t2+36 t2+36?

第 7 页

同理可得 N?

? - , -8t ?. ? ? t2+4 t2+4?
- - = ,解得 t2=12,此时点 M,N 的横坐标都为 1,故直线 MN 过定 t2+36 t2+4

①若 MN⊥x 轴,则-

点(1,0); ②若 MN 与 x 轴不垂直,即 t2≠12, -8t 24t - t2+4 t2+36 -8t 此时 kMN= = , - - t2-12 + t2+4 t2+36 所以直线 MN 的方程为 y- - ? -8t -8t ? x- = , ? t2+4 ? t2+4 t2-12? ? -8t (x-1),所以直线 MN 过定点(1,0). t2-12

即 y=

综上,直线 MN 过定点(1,0). [专题技法归纳] (1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法.而对于双曲线和椭圆在不明确焦点 坐标的情况下可以统一设成 mx2+ny2=1(mn≠0),这样可以避免对参数的讨论. (2)求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定 a,b,c 的等量关系,然后把 b 用 a,c 代换,求 c 的值. a b2 (3)在双曲线中由于 e2=1+ ,故双曲线的渐近线与离心率密切相关. a2

1.(2012· 上海春招)抛物线 y2=8x 的焦点坐标为________. x2 y2 2.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是________;若该方程表示双 m-1 2-m 曲线,则 m 的取值范围是________. x2 y2 3.点 P 为椭圆 + =1(a>b>0)上一点,F1,F2 为椭圆的焦点,如果∠PF1F2=75° ,∠PF2F1=15° , a2 b2 则椭圆的离心率为________. x2 y2 5.(2011· 天津高考)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物 a2 b2 线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为________. 6.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且 BF =2 FD , 则 C 的离心率为________.
第 8 页

1? x2 y2 7.(2011· 江西高考)若椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上,过点? ?1,2?作圆 x2+y2=1 的切线,切点分别为 a2 b2 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________. x2 y2 x2 y2 8.已知双曲线 - =1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双 曲线的离心率是椭圆离心率 a2 b2 16 9 的两倍,则双曲线的方程为________. 解 x2 9.设 P 点在圆 x2+(y-2)2=1 上移动,点 Q 在椭圆 +y2=1 上移动,则 PQ 的最大值是________. 9 10.(2012· 辽宁高考)已知双曲线 x2-y2=1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥ PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________ x2 y2 11.(2011· 四川高考)过点 C(0,1)的椭圆 + =1(a>b>0)的离 a2 b2 与 x 轴交于两点 A(a ,0)、B(-a,0).过点 C 的直线 l 与椭圆交 与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (1)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; 心率为 3 .椭圆 2

于另一点 D, 并

OQ 为定值. (2)当点 P 异于点 B 时,求证: OP ·
x2 y2 2 12.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,一条准线 l:x=2. a2 b2 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点,M 是 l 上的点,F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆 D 交于 P,Q 两点. ①若 PQ= 6,求圆 D 的方程; ②若 M 是 l 上的动点,求证点 P 在定圆上,并求该定圆的方程.

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