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9.3.1 直线与直线所成的角


第 9章

立体几何

9.3 直线与直线、直线与平面、 平面与平面所成的角

9.3.1空间两直线所成的角
在如图所示的长方体中,直线 BC1和直线AD是异面直线,度量

?CBC1 和 ?DAD1,发现它们是相等的.
如果在直线AB上任选点P,那么过点P分别作直线 BC1与直线AD

的平行线,它们所成的角是否与 ?CBC1相等?

动脑思考

探索新知

两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角.

经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线, 这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.

异面直线所成的角
已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点O, 分别作 直线a' ∥a,b' ∥b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a、b所成的角(或夹角).
b a
?

b’ a’
O
?

b

O

?

a

a'

? ? (0,

?
2

]

如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这两条 异面直线互相垂直. 记作a ? b

巩固知识
例1 (1)

典型例题
AB1与 CC1.

?BAB 1 ? 30?,求下列异面直线所成的角: 如图所示的长方体中,

AB1与DC;

(2)

解 (1)因为DC∥AB,所以?BAB 1 为异面直线 AB1与DC所成的角. 即所求角为 30 ?. (2)因为CC1 ∥ BB1,所以 ?ABB 1 为异面直线AB1与CC1 所成的角.
?ABB 1 ? 90?,?BAB 1 ? 30?, 在直角△ ABB1 中,

A1

D1

C1 B1
C B

所以

?AB 1 B ? 90? ? 30? ? 60?,
A

D

即所求的角为 60 ?.

求角的一般步骤: 1)找(作)角; 2)求角(解三角形).

运用知识
P91

强化练习

在如图所示的正方体中,求下列各直线所成的角的度数:
° 90 1   DD 与 BC ?? 1 ° 45 ? 2  ?  AA1与BC1 (3)AC与BC1 60°

例2 如图, 正方体中(1)哪些棱所在直线与直线AA'垂直? (2)求直线BA' 分别和CC' 、 DC' 、AD' 的夹角的度数. D' 解:(1)与直线AA' 垂直的直线有: C' AB、BC、CD、DA、 A' B' 、B' C' 、 A' B' ' A' C' D' 、 D O (2)由BB ' ∥CC', 可知? B'BA'等于异面 '与CC'的夹角, 所以BA' 与CC' D 直线 BA C °. 的夹角为 45 A B BA'与DC' 的夹角为90°. BA' 与AD'的夹角为60°.

3. 如图, 在长方体ABCD-A' B'C' D'中, 已知AB ? 3 , AA? ? 1 求异面直线BA'与CC'所成角的度数. 60°
D' A' D A B B' C C'

D D' 1

C C'
E

1

A1

A'

B' B 1 F E D C B

A

小结
异面直线所成角

? ? (0,

?
2

]

求异面直线所成角的方法: 1)找(作)角; 2)求角. 定角一般方法有: (1)平移法(常用方法)(2)补形法

作 业
读书部分:阅读教材相关章节

书面作业:P96习题9.3 A组
1(2),2

(要抄题,画图)


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