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湖北省襄阳五中2015届高三上学期11月月考数学试卷(理科)



湖北省襄阳五中 2015 届高三上学期 11 月月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.湖北省襄阳市第五中学 1. (5 分)已知复数 z 满足 z= A. B. ﹣ (i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数的虚部是() C. D.﹣

2. (5

分)下列说法中,正确的是() A.命题“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是真命题 2 2 B. 命题“?x∈R,x ﹣x>0”的否定是“?x∈R,x ﹣x≤0” C. 命题“p∨q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 D.已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 3. (5 分)某班有 60 名学生,一次考试后数学成绩 ξ~N(110,102) ,若 P(100≤ξ≤110) =0.35, 则估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为() A.10 B. 9 C. 8 D.7 4. (5 分)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体的体积是()
2 2

A.3

B.

C. 2

D.

5. (5 分)2015 届高三毕业时,甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念,已知甲乙相邻, 则甲丙相邻的概率为() A. B. C. D.
*

6. (5 分) 在数列{an}中, 若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值 (n∈N ) , 且 a7=2, a9=3, a98=4, 则数列{an}的前 100 项的和 S100=() A.132 B.299 C.68 D.99 7. (5 分)若函数 d=() 的图象如图所示,则 a:b:c:

A.1:6:5:8

B.1:6:5: (﹣8) C.1: (﹣6) :5:8

D.1: (﹣6) :5: (﹣8)

8. (5 分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的 距离(单位:m)是() A.1+25ln5 B.8+25ln C.4+25ln5 D.4+50ln2

9. (5 分) 已知函数

的图象与直线 y=m 有三个交点的

横坐标分别为 x1,x2,x3(x1<x2<x3) ,那么 x1+2x2+x3 的值是() A. B. C. D.

10. (5 分)已知点 F1、F2 分别为双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲

线左支上的任意一点,若 A.2 B. 5

的最小值为 9a,则双曲线的离心率为() C. 3 D.2 或 5

二、填空题本大题共 4 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案天灾答题 卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14 题) 11. (5 分)设 ,则 的定义域为.

12. (5 分)已知集合 A={(x,y)|x +y =1},B={(x,y)|kx﹣y﹣2≤0},其中 x,y∈R.若 A?B,则实数 k 的取值范围是.

2

2

13. (5 分)菱形 ABCD 的边长为 2,∠A= 边界) ,则 ? 的最大值为.

,M 为 DC 的中点,若 N 为菱形内任意一点(含

14. (5 分)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c, d)的个数是.

(二)选考题【选修 4-1:几何证明选讲】 15. (5 分)如图,△ ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 做圆的切 线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的 长为.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 16.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直 线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程为 cos(θ﹣ ) .若圆

C 关于直线 l 对称,则 a 的值为.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出文字说明、证明过程或验算步骤) 17. (12 分)已知 f(x)= (Ⅰ)当 x∈[ , sinωx﹣2sin
2

(ω>0)的最小正周期为 3π.

]时,求函数 f(x)的最小值;
2

(Ⅱ)在△ ABC,若 f(C)=1,且 2sin B=cosB+cos(A﹣C) ,求 sinA 的值. 18. (12 分)每年 5 月 17 日为国际电信日,某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐 的客户进行优惠,优惠方案如下:选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户 可获得优惠 500 元,选择套餐三的客户可获得优惠 300 元.根据以往的统计结果绘出电信日 当天参与活动的统计图,现将频率视为概率. (1)求某两人选择同一套餐的概率; (2)若用随机变量 X 表示某两人所获优惠金额的总和,求 X 的分布列和数学期望.

19. (12 分) 如图, 在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 侧面 ADD1A1⊥底面 ABCD, D1A=D1D= 底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:A1O∥平面 AB1C; (Ⅱ)求锐二面角 A﹣C1D1﹣C 的余弦值.



20. (12 分)已知数列{an}满足:a1= ,a2= ,2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N ) ,数列{bn}满足: b1<0,3bn﹣bn﹣1=n(n≥2,n∈R) ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求证:数列{bn﹣an}为等比数列; (Ⅱ)求证:数列{bn}为递增数列; (Ⅲ)若当且仅当 n=3 时,Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围.

?

21. (13 分)分别过椭圆 E:

=1(a>b>0)左、右焦点 F1、F2 的动直线 l1、l2 相交于

P 点,与椭圆 E 分别交于 A、B 与 C、D 不同四点,直线 OA、OB、OC、OD 的斜率分别为 k1、k2、k3、k4,且满足 k1+k2=k3+k4,已知当 l1 与 x 轴重合时,|AB|=2 ,|CD|= .

(1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在定点 M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出 M、N 点坐标,若不存在, 说明理由.

22. (14 分) (1)当 x>0 时,求证:2﹣
x



(2)当函数 y=a (a>1)与函数 y=x 有且仅有一个交点,求 a 的值; |x| (3)讨论函数 y=a ﹣|x|(a>0 且 a≠1)的零点个数.

湖北省襄阳五中 2015 届高三上学期 11 月月考数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.湖北省襄阳市第五中学 1. (5 分)已知复数 z 满足 z= A. B. ﹣ (i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数的虚部是() C. D.﹣

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部即可得出. 解答: 解:复数 z 满足 z= = = = ,

则 z 的共轭复数为

,其虚部为



故选:D 点评: 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部等基础知识,属于基础题. 2. (5 分)下列说法中,正确的是() 2 2 A.命题“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是真命题 2 2 B. 命题“?x∈R,x ﹣x>0”的否定是“?x∈R,x ﹣x≤0” C. 命题“p∨q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 D.已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 考点: 命题的真假判断与应用. 2 分析: A 先写出逆命题再利用不等式性质判断;B 中“?x∈R,x ﹣x>0”为特称命题,否定时 为全称命题; C 命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题,只要有一个为真即可; D 应为必要不充分条件. 2 2 2 2 解答: A“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题是“若 a<b,则 am <bm ”,m=0 时不正确; 2 B 中“?x∈R,x ﹣x>0”为特称命题,否定时为全称命题,结论正确; C 命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题,只要有一个为真即可,错误; D 应为必要不充分条件. 故选 B.

点评: 本题考查命题真假的判断,问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及 特称命题、命题的否定、充要条件等,考查面较广. 3. (5 分)某班有 60 名学生,一次考试后数学成绩 ξ~N(110,102) ,若 P(100≤ξ≤110) =0.35, 则估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为() A.10 B. 9 C. 8 D.7 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据考试的成绩 ξ 服从正态分布 N(110,102) .得到考试的成绩 ξ 关于 ξ=110 对称, 根据 P(100≤ξ≤110)=0.35,得到 P(ξ≥120)=0.15,根据频率乘以样本容量得到这个分数段上 的人数. 解答: 解:∵考试的成绩 ξ 服从正态分布 N(110,102) . ∴考试的成绩 ξ 关于 ξ=110 对称, ∵P(100≤ξ≤110)=0.35, ∴P(ξ≥120)=P(ξ≤100)= (1﹣0.35×2)=0.15, ∴该班数学成绩在 120 分以上的人数为 0.15×60=9. 故选:B. 点评: 本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义,是一个基础题,解题的关键是考试 的成绩 ξ 关于 ξ=110 对称,利用对称写出要用的一段分数的频数,题目得解. 4. (5 分)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体的体积是()

A.3

B.

C. 2

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 根据已知中三视图及其标识的相关几何量,我们易判断这是一个直三棱柱,且底面 为直角边长分别等于 1 和 的直角三角形,高为 ,代入棱柱体积公式即可得到答案. 解答: 解:由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱, 底面为直角三角形, 两直角边长分别等于 1 和 , 棱柱高等于 , 故几何体的体积 V= ×1× 故选:D × = .

点评: 本题考查的知识点是由三视图答案求体积,其中根据三视图判断几何体的形状,及 棱长等几何量,是解答的关键. 5. (5 分)2015 届高三毕业时,甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念,已知甲乙相邻, 则甲丙相邻的概率为() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 4 人排成一排,其中甲、乙相邻的情况有 12 种,其中甲丙相邻的只有 4 种,由此能 求出甲乙相邻,则甲丙相邻的概率. 解答: 解:4 人排成一排, 其中甲、乙相邻的情况有: (甲乙丙丁) 、 (甲乙丁丙) 、 (丙甲乙丁) 、 (丁甲乙丙) 、 (丙丁甲乙) 、 (丁丙甲乙) 、 (乙甲丁丙) 、 (乙甲丁丙) 、 (丙乙甲丁) 、 (丁乙甲丙) 、 (丙丁乙甲) 、 (丁丙乙甲) , 共计 12 种, 其中甲丙相邻的只有 4 种, ∴甲乙相邻,则甲丙相邻的概率为: p= = .

点评: 本题考查概率的求法,是基础题,解题时要注意列举法的合理运用. 6. (5 分) 在数列{an}中, 若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值 (n∈N ) , 且 a7=2, a9=3, a98=4, 则数列{an}的前 100 项的和 S100=() A.132 B.299 C.68 D.99 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意数列各项以 3 为周期呈周期变化,所以 a98=a2=4,a7=a1=2,a9=a3=3,进而 S100=33×(a1+a2+a3)+a1.由此能够求出 S100. * 解答: 解:∵在数列{an}中,若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值(n∈N ) , ∴an+3=an.即数列各项以 3 为周期呈周期变化 ∵98=3×32+2, ∴a98=a2=4,a7=a1=2,a9=a3=3, a1+a2+a3=2+3+4=9, ∴S100=33×(a1+a2+a3)+a100=33×(a1+a2+a3)+a1 =33×9+2=299. 故选 B 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用.
*

7. (5 分)若函数 d=()

的图象如图所示,则 a:b:c:

A.1:6:5:8

B.1:6:5: (﹣8) C.1: (﹣6) :5:8

D.1: (﹣6) :5: (﹣8)

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据图象可先判断出分母的分解析,然后利用特殊点再求出分子即可. 解答: 解:由图象可知,x≠1,5, ∴分母必定可以分解为 k(x﹣1) (x﹣5) , ∵在 x=3 时有 y=2, ∴d=﹣8k, ∴a:b:c:d=1: (﹣6) :5: (﹣8) . 故选:D. 点评: 本题主要考查了利用图象信息推导所给函数的系数和常数部分,属于中档题. 8. (5 分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的 距离(单位:m)是() A.1+25ln5 B.8+25ln C.4+25ln5 D.4+50ln2

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 令 v(t)=0,解得 t=4,则所求的距离 S= 解答: 解:令 v(t)=7﹣3t+
2

,解出即可.

,化为 3t ﹣4t﹣32=0,又 t>0,解得 t=4.

∴由刹车行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离 s= 故选 C. = =4+25ln5.

点评: 熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键.

9. (5 分) 已知函数

的图象与直线 y=m 有三个交点的

横坐标分别为 x1,x2,x3(x1<x2<x3) ,那么 x1+2x2+x3 的值是() A. B. C. D.

考点: 正弦函数的对称性;正弦函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 通过正弦函数的对称轴方程,求出函数的对称轴方程分别为 x= 可得 x1+x2=2× ,x2+x3 =2× ,从而求出 x1+2x2+x3 的值. 的图象取得最值有 2 个 x 值,分别 和 x= ,由题意

解答: 解:函数 为 x= 和 x= ,由正弦函数图象的对称性可得 x1+x2=2× = ,

=

,x2+x3 =2×

=



故 x1+2x2+x3=x1+x2+x2+x3=

故选:C. 点评: 本题主要考查三角函数 y=Asin(ωx+?)的对称性,考查计算能力.

10. (5 分)已知点 F1、F2 分别为双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲

线左支上的任意一点,若 A.2 B. 5

的最小值为 9a,则双曲线的离心率为() C. 3 D.2 或 5

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先利用双曲线的定义求出关系式,进一步利用 或 4a,此时 c=2a 或 5a,即可求出双曲线的离心率. 解答: 解:设|PF1|=m, (m≥c﹣a) 则根据双曲线的定义:|PF2|=2a+m, ∴ = = +m+4a 的最小值为 9a,确定 m=a



的最小值为 9a,

∴m=a 或 4a,此时 c=2a 或 5a, ∴双曲线的离心率为 2 或 5, 双曲线的离心率为 2 时,不满足. 故选:B. 点评: 本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率,考查学生的计算能力,属于中等题型. 二、填空题本大题共 4 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案天灾答题 卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14 题) 11. (5 分)设 ,则 的定义域为(﹣4,﹣1)∪(1,4) .

考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 对数的真数大于 0,求出定义域,然后使 即可. 解答: 解:要使函数有意义,则 解得 x∈(﹣2,2) 有意义建立方程组,解答

要确保两个式子都要有意义,则

?x∈(﹣4,﹣1)∪(1,4)

故答案为: (﹣4,﹣1)∪(1,4) 点评: 本题考查对数函数的定义域,考查学生发现问题解决问题的能力,是基础题. 12. (5 分)已知集合 A={(x,y)|x +y =1},B={(x,y)|kx﹣y﹣2≤0},其中 x,y∈R.若 A?B,则实数 k 的取值范围是 .
2 2

考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 数形结合. 分析: 由题意可得:集合 A 和 B 均为点的集合,故只需作出函数的图象用数形结合求解即 可. 解答: 解:由题意可得:集合 A 为单位圆上的点,集合 B 表示恒过点(0,﹣2)的直线一 侧的区域, 若 A?B,如下图所示:当直线 kx﹣y﹣2=0 与圆相切时,k=± , 故 k 的范围为[﹣ , ], 故答案为:[﹣ , ]

点评: 本题考查集合的关系问题,注意数形结合思想的运用是解决问题的关键,属基础题.

13. (5 分)菱形 ABCD 的边长为 2,∠A= 边界) ,则 ? 的最大值为 9.

,M 为 DC 的中点,若 N 为菱形内任意一点(含

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 先以点 A 为坐标原点建立直角坐标系,求出其它各点的坐标,然后利用点的坐标表 示出 ,把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可.

解答: 解: :以点 A 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系, 由于菱形 ABCD 的边长为 2,∠A= ,M 为 DC 的中点,

故点 A(0,0) ,则 B(2,0) ,C(3, ) ,D(1, ) , M(2, ) . 设 N(x,y) ,N 为平行四边形内(包括边界)一动点, 对应的平面区域即为平行四边形 ABCD 及其内部区域. 因为 =(2, ) , =(x,y) ,则 =2x+ y, )时,

结合图象可得当目标函数 z=2x+ z=2x+ y 取得最大值为 9, 故答案为:9.

y 过点 C(3,

点评: 题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用,是对 基础知识和基本思想的考查,属于中档题. 14. (5 分)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c, d)的个数是 6. 考点: 集合的相等. 专题: 计算题;集合. 分析: 利用集合的相等关系,结合①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的, 即可得出结论. 解答: 解:由题意,a=2 时,b=1,c=4,d=3;b=3,c=1,d=4; a=3 时,b=1,c=4,d=2;b=1,c=2,d=4;b=2,c=1,d=4; a=4 时,b=1,c=3,d=2; ∴符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 6 个. 点评: 本题考查集合的相等关系,考查分类讨论的数学思想,正确分类是关键. (二)选考题【选修 4-1:几何证明选讲】 15. (5 分)如图,△ ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 做圆的切 线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6,BD=5,则线段 CF 的 长为 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆.

分析: 利用切割线定理求出 EB,证明四边形 AEBC 是平行四边形,通过三角形相似求出 CF 即可. 解答: 解:如图由切角弦定理得∠EAB=∠ACB,又因为,AB=AC,所以∠EAB=∠ABC, 所以直线 AE∥直线 BC,又因为 AC∥BE,所以是平行四边形. 因为 AB=AC,AE=6,BD=5,∴AC=AB=4,BC=6. △ AFC∽△DFB,

即: CF= ,



故答案为: .

点评: 本题考查圆的切割线定理,三角形相似,考查逻辑推理能力与计算能力. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 16.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直 线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程为 cos(θ﹣ ) .若圆

C 关于直线 l 对称,则 a 的值为 2. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,消去参数 t 可得 x+ay+a﹣5=0.圆 C

的极坐标方程为

cos (θ﹣

) , 展开并把

代入即可得出直角坐标方程. 由

于圆 C 关于直线 l 对称,可得圆心 C 在直线 l 上. 解答: 解:直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,消去参数 t 可得 x+ay+a﹣5=0.
2

圆 C 的极坐标方程为

cos (θ﹣

) 展开化为 ρ =




2

代入可得 x +y =2x+2y.
2

2

2

化为(x﹣1) +(y﹣1) =2.圆心 C(1,1) . ∵圆 C 关于直线 l 对称, ∴圆心 C 在直线 l 上, ∴1+a+a﹣5=0, 解得 a=2. 则 a 的值为 2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了直线的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、圆的对 称性,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出文字说明、证明过程或验算步骤) 17. (12 分)已知 f(x)= (Ⅰ)当 x∈[ , sinωx﹣2sin
2

(ω>0)的最小正周期为 3π.

]时,求函数 f(x)的最小值;
2

(Ⅱ)在△ ABC,若 f(C)=1,且 2sin B=cosB+cos(A﹣C) ,求 sinA 的值. 考点: 三角函数的最值;三角函数的恒等变换及化简求值;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象 确定其解析式. 专题: 综合题. 分析: 先利用二倍角公式的变形形式及辅助角公式把函数化简为 y=2sin(ωx+ 据周期公式可求 ω,进而求 f(x) (I)由 x 的范围求出 (II)由
2

)﹣1,根

的范围,结合正弦函数的图象及性质可求 及 f(C)=1 可得, ,结合已知 C

的范围可求 C 及 A+B,代入 2sin B=cosB+cos(A﹣C) ,整理可得关于 sinA 的方程,解方程 可得 解答: 解: = =

依题意函数 f(x)的最小正周期为 3π,即 所以 (Ⅰ)由 所以,当 得 时, ,

,解得



(Ⅱ)由 而 在 Rt△ ABC 中, ∴sin A+sinA﹣1=0,解得
2

及 f(C)=1,得 ,所以
2

,解得 ,2sin B=cosB+cos(A﹣C)2cos A﹣sinA﹣sinA=0, ∵0<sinA<1,
2

点评: 以三角形为载体,综合考查了二倍角公式的变形形式,辅助角公式在三角函数化简 中的应用,考查了三角函数的性质(周期、单调区间、最值取得的条件)时常把 ωx+φ 作为一 个整体. 18. (12 分)每年 5 月 17 日为国际电信日,某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐 的客户进行优惠,优惠方案如下:选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户 可获得优惠 500 元,选择套餐三的客户可获得优惠 300 元.根据以往的统计结果绘出电信日 当天参与活动的统计图,现将频率视为概率. (1)求某两人选择同一套餐的概率; (2)若用随机变量 X 表示某两人所获优惠金额的总和,求 X 的分布列和数学期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其 分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由题意利用互斥事件加法公式能求出某两人选择同一套餐的概率. (2)由题意知某两人可获得优惠金额 X 的可能取值为 400,500,600,700,800,1000.分 别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和数学期望. 解答: 解: (1)由题意可得某两人选择同一套餐的概率为: . (2)由题意知某两人可获得优惠金额 X 的可能取值为 400,500,600,700,800, 1000. , , ,

, , , 综上可得 X 的分布列为: X 400 500 600 700 P X 的数学期望 .

800

1000

点评: 本小题主要考查学生对概率知识的理解,通过分布列的计算,考查学生的数据处理 能力. 19. (12 分) 如图, 在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 侧面 ADD1A1⊥底面 ABCD, D1A=D1D= 底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:A1O∥平面 AB1C; (Ⅱ)求锐二面角 A﹣C1D1﹣C 的余弦值. ,

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;与二面角有关的立体几何综 合题. 专题: 空间位置关系与距离;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ)连接 CO,AC,由题设条件推导出四边形 A1B1CO 为平行四边形,由此能够 证明 A1O∥平面 AB1C. (Ⅱ)以 O 为原点,OC,OD,OD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,Z 轴建立如图所示的坐标系, 利用向量法能求出锐二面角 A﹣C1D1﹣C 的余弦值. 解答: (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:如图,连接 CO,AC, 则四边形 ABCO 为正方形, ∴OC=AB=A1B1,且 OC∥AB∥A1B1 ∴四边形 A1B1CO 为平行四边形, ∴A1O∥B1C, 又∵A1O?平面 AB1C,B1C?平面 AB1C, ∴A1O∥平面 AB1C.…(6 分) (Ⅱ)∵D1A=D1D,O 为 AD 的中点,

∴D1O⊥AD,又侧面 ADD1A1⊥底面 ABCD, ∴D1O⊥底面 ABCD,…(7 分) 以 O 为原点,OC,OD,OD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,Z 轴, 建立如图所示的坐标系, 由题意得:C(1,0,0) ,D(0,1,0) , D1(0,0,1) ,A(0,﹣1,0) ,…(8 分) ∴ , =(0,﹣1,﹣1) , 设 =(0,﹣1,1) , =(1,﹣1,0) ,

为平面 CDD1C1 的一个法向量,



,∴



令 Z=1,则 y=1,x=1,∴ 设

,…(10 分) 为平面 AC1D1 的一个法向量,



,∴

,令 Z1=1, , ,

则 y1=﹣1,x1=﹣1,∴ ∴

∴所求锐二面角 A﹣C1D1﹣C 的余弦值为 .…(12 分)

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要注意向量 法的合理运用.

20. (12 分)已知数列{an}满足:a1= ,a2= ,2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N ) ,数列{bn}满足: b1<0,3bn﹣bn﹣1=n(n≥2, n∈R) ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求证:数列{bn﹣an}为等比数列; (Ⅱ)求证:数列{bn}为递增数列; (Ⅲ)若当且仅当 n=3 时,Sn 取得最小值,求 b1 的取值范围. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知得{an}是等差数列, an+1= 公比的等比数列. (Ⅱ)由
1=

?

,bn+1﹣ 为首项,以 为

=

.由此能证明{bn﹣an}是以

.得当 n≥2 时,bn﹣bn﹣ .由此能证明{bn}是单调递增数列.

(Ⅲ)由已知得

,由此能求出 b1 的取值范围.
?

解答: 解: (Ⅰ)∵2an=an+1+an﹣1(n≥2,n∈N ) , ∴{an}是等差数列. 又∵a1= ,a2= , ∴ ∵ ∴bn+1﹣an+1= = = 又∵ ∴{bn﹣an}是以 = . , 为首项,以 为公比的等比数列. , , (n≥2,n∈N ) ,
*

(Ⅱ)∵bn﹣an=(b1﹣ )?( )

n﹣1





∴ 当 n≥2 时,bn﹣bn﹣1= 又 b1<0,∴bn﹣bn﹣1>0. ∴{bn}是单调递增数列. (Ⅲ)∵当且仅当 n=3 时,Sn 取最小值.

. .



,即



∴b1∈(﹣47,﹣11) . 点评: 本题考查等比数列的证明,考查增数列的证明,考查数列的首项的取值范围的求法, 解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.

21. (13 分)分别过椭圆 E:

=1(a>b>0)左、右焦点 F1、F2 的动直线 l1、l2 相交于

P 点,与椭圆 E 分别交于 A、B 与 C、D 不同四点,直线 OA、OB、OC、OD 的斜率分别为 k1、k2、k3、k4,且满足 k1+k2=k3+k4,已知当 l1 与 x 轴重合时,|AB|=2 ,|CD|= .

(1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在定点 M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出 M、N 点坐标,若不存在, 说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1) 由已知条件推导出|AB|=2a=2 , |CD|= , 由此能求出椭圆 E 的方程.

(2)焦点 F1、F2 坐标分别为(﹣1,0) , (1,0) ,当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为 (﹣1,0)或(1,0) ,当直线 l1,l2 斜率存在时,设斜率分别为 m1,m2,设 A(x1,y1) ,B (x2,y2) ,由 ,得 ,由此利用韦达

定理结合题设条件能推导出存在点 M,N 其坐标分别为(0,﹣1) 、 (0,1) ,使得|PM|+|PN| 为定值 2 . 解答: 解: (1)当 l1 与 x 轴重合时,k1+k2=k3+k4=0, 即 k3=﹣k4, ∴l2 垂直于 x 轴,得|AB|=2a=2 解得 a= ,b= , ,|CD|= ,

∴椭圆 E 的方程为



(2)焦点 F1、F2 坐标分别为(﹣1,0) , (1,0) , 当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为(﹣1,0)或(1,0) , 当直线 l1,l2 斜率存在时,设斜率分别为 m1,m2, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由 ,











=

=

=



同理 k3+k4= ∵k1+k2=k3+k4, ∴ 由题意知 m1≠m2, ∴m1m2+2=0, 设 P(x,y) ,则



,即(m1m2+2) (m2﹣m1)=0,





,x≠±1,

由当直线 l1 或 l2 斜率不存在时, P 点坐标为(﹣1,0)或(1,0)也满足, ∴点 P(x,y)点在椭圆 上,

∴存在点 M,N 其坐标分别为(0,﹣1) 、 (0,1) , 使得|PM|+|PN|为定值 2 . 点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查是否存在定点 M,N,使得|PM|+|PN|为定值的判断与 证明,对数学思维的要求较高,有一定的探索性,解题时要注意函数与方程思想、等价转化思 想的合理运用.

22. (14 分) (1)当 x>0 时,求证:2﹣
x



(2)当函数 y=a (a>1)与函数 y=x 有且仅有一个交点,求 a 的值; |x| (3)讨论函数 y=a ﹣|x|(a>0 且 a≠1)的零点个数. 考点: 函数零点的判定定理;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: (1) 令f (x) = g(x)= , g (x) = , 利用导数法可得 f (x) = ; ≥ 0,

≤0,在当 x>0 时恒成立,进而得到 2﹣
x

(2)令 h(x)=a ﹣x, (a>1) ,可得当 x=loga(logae)时,h(x)取最小值 logae﹣loga(logae) , x x 若函数 y=a (a>1)与函数 y=x 有且仅有一个交点,则 h(x)=a ﹣x 有且仅有一个零点,则 logae﹣loga(logae)=0,进而求得 a 值; (3)结合(2)的结论,分当 a>
|x|

时、当 a=

时、当 1<a<

时、当 a<1 时四种情况,

可得函数 y=a ﹣|x|(a>0 且 a≠1)的零点个数. 解答: 证明: (1)当 x>0 时, 令 f(x)= ,

则 f′(x)= ﹣

=



当 x∈(0,e)时,f′(x)<0,当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0, 故当 x=e 时,f(x)取最小值 0, 即 f(x)= 即 , , , ≥0,

令 g(x)= 则 g′(x)= ﹣ =

当 x∈(0,e)时,g′(x)>0,当 x∈(e,+∞)时,g′(x)<0, 故当 x=e 时,g(x)取最大值 0, 即 g(x)= 即 , ≤0,

综上可得:当 x>0 时, (2)令 h(x)=a ﹣x, (a>1) , x 则 h′(x)=a lna﹣1, 令 h′(x)=0,
x

则 x=loga(logae) , 当 x∈(0,loga(logae) )时,h′(x)<0,当 x∈(loga(logae) ,+∞)时,h′(x)>0, 故当 x=loga(logae)时,h(x)取最小值 logae﹣loga(logae) , x 若函数 y=a (a>1)与函数 y=x 有且仅有一个交点, x 则 h(x)=a ﹣x 有且仅有一个零点, 则 logae﹣loga(logae)=0, 则 e=logae,即 a= (3)由(2)可得: 当 a> 当 a= 时,h(x)=a ﹣x 无零点,此时函数 y=a ﹣|x|无零点, 时,h(x)=a ﹣x 有且仅有一个零点,此时函数 y=a ﹣|x|有且仅有两个零点, 时,h(x)=a ﹣x 有两个正零点,此时函数 y=a ﹣|x|有四个零点,
x |x| x |x| x |x| x |x|

当 1<a<

当 a<1 时,h(x)=a ﹣x 有一个正零点,此时函数 y=a ﹣|x|有两个零点. 点评: 本题考查的知识点是利用函数单调性证明不等式,函数零点的判定定理,利用导数 求函数在闭区间上的最值,是函数,不等式与导数的综合应用,属于难题.



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