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河北省唐山市2012届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 word版



河北省唐山市
2011—2012 学年度高三年级第二次模拟考试

数学(理)试题
说明: 一、本试卷共 4 页,包括三道大题,24 道小题,共 150 分,其中 1.~(21)小题为必做题, (22)~(24)小题为选做题. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需 改动,用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案, 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回, 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的标准差;

s?

1 [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ?( xn ? x) 2 ],其中x 为样本平均数; n

柱体体积公式: V ? Sh, 其中S为底面面积、h 为高;

1 Sh, 其中 S为底面面积 , h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4?R , V ? ?R , 其中 R 为球的半径。 3
锥体体积公式: V ? 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. 1.已知

z =2+i,则复数 z 的共轭复数为 1? i
B.-3+i
6

A.-3-i
2

C.3+i

D.3-i

2. ( x ? ) 的展开式中的常数项为 A.-15 B.15 C.-20 D.20 3.己知命题 p:“a>b”是“2a>2b”的充要条件;q: ?x ∈R,lx+l l≤x,则 A. ? p ? q 为真命题 B.p ? ? q 为假命题 C.p ? q 为真命题 D. p ? q 为真命题 4.已知 ? 是第三象限的角,且 tan ? =2,则 sin( ? + A. ?

1 x

? )= 4
D.

3 10 10

B.

3 10 10

C. ?

10 10

10 10

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? x ? y ? 1, ? 5.设变量 x、y 满足 ? x ? y ? 0, 则目标函数 z=2x+y 的最小值为 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
A.6 6.把函数 y=sin(2xA.x=0 B.4 C.2 D.

? ? )的图象向左平移 个单位后,所得函数图象的一条对称轴为 6 6 ? ? ? B.x= C.x=— D.x= 12 6 2

3 2

7.执行如图所示的算法,若输出的结果 y≥2,则输入的 x 满足

A.x≤一 l 或 x≥4 B.x≤-l C.-1≤x≤4 D.x≥4 8.已知某几何体的三视图如图所示,则其体积为 A.1 B.

4 3

C.

5 3

D.2 的

9.奇函数 f(x) 、偶函数 g(x)的图象分别如图 1、2 所示,方程 f(g(x))=0、g(f(x) )=0 实根个数分别为 a、b,则 a+b= A.14 B.10 C.7 D.3

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x2 y 2 10.直线 l 与双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ?) 交于 A、B 两点,M 是线段 AB 的中 点,若 l a b
与 OM (O 是原点)的斜率的乘积等于 1,则此双曲线的离心率为 A. 2 11.曲线 y= B. 3 C.2 D. 3

x ?1 与其在点(0,一 1)处的切线及直线 x=1 所围成的封闭图形的面积为 x ?1

A.1-ln2 B.2-2n2 C. ln2 D.2ln2-1 12. 把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内, 使皮球的 表面与 8 根铁丝都有接触点,则皮球的半径为 A.l0 3 cm C.10 2 cm B.10 cm D.30cm

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.函数 y=

1 10 x ? 2

的定义域为



2 14. 向圆(x 一 2) + (y— 3 ) =4 内随机掷一点, 则该点落在 x 轴下方的概率为

2



15.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A、B 两点,若|AF| =2|BF|=6,则 p= 。 16.在△ ABC 中, ( AB ? 3AC) ? CB, 则角 A 的最大值为

??? ?

??? ?

??? ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足:

1 2 n 3 2n ? ??? ? (3 ? 1), n ? N * . a1 a2 an 8

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 bn ? log 3

an 1 1 1 ,求 ? ??? . n b1b2 b2 b3 bn bn ?1

18. (本小题满分 12 分) 某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下:

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(I)比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小; (II)以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过 15 分的频率作为概率,假设甲、乙两名 队员在同一场比赛中得分多少互不影响,预测在本赛季剩余的 2 场比赛中甲、乙两名队 员得分均超过 15 分次数 X 的分布列和均值. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB= 2AD =2CD =2.E 是 PB 的中点. (I)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (II)若二面角 P-A C-E 的余弦值为

6 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 3

20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,长为 2 ? 1 的线段的两端点 C、D 分别在 x 轴、y 轴上滑动,

??? ? ??? ? CP ? 2 PD .记点 P 的轨迹为曲线 E.
(I)求曲线 E 的方程; ( II)经过点(0,1)作直线 l 与曲线 E 相交于 A、B 两点, OM ? OA ? OB, 当点 M 在 曲线 E 上时,求 cos ? OA, OB ? 的值.

???? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ?

1 2 x ? a 2 ln x, a ? 0 . 2

(I)求函数 f(x)的最小值;

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( II) (i)设 0 ? t ? a, 证明 : f (a ? t ) ? f (a ? t ); (ii)若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且 x1 ? x2 , 证明: x1 ? x2 ? 2a.

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,BC 边上的点 D 满足 BD=2DC,以 BD 为直径作圆 O 恰与 CA 相切于点 A,过点 B 作 BE⊥CA 于点 E,BE 交圆 D 于点 F. (I)求∠ABC 的度数: ( II)求证:BD=4EF.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点, 极轴为 z 轴的正半轴, 两种坐标系的长度单位 相同,己知圆 C1 的极坐标方程为 p=4(cos ? +sin ? ,P 是 C1 上一动点,点 Q 在射线 OP 上且满 足 OQ=

1 OP,点 Q 的轨迹为 C2。 2

(I)求曲线 C2 的极坐标方程,并化为直角坐标方程; ( II)已知直线 l 的参数方程为 ? 且只有一个公共点,求 ? 的值.

? x ? 2 ? t cos ? , (t 为参数,0≤ ? < ? ) ,l 与曲线 C2 有 ? y ? t sin ?

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24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f(x)=|x|+2|x-a|(a>0) . (I)当 a=l 时,解不等式 f(x)≤4; ( II)若 f(x)≥4 恒成立,求实数 a 的取值范围

唐山市 2011—2012 学年度高三年级第二次模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:AABCB B 卷:CBDAC 二、填空题: CDDCB BACBA CB DB (15)4 ? (16) 6

(13)(lg 2,+∞)

1 3 (14) 6 - 4?

三、解答题: (17)解: 1 3 (Ⅰ)a = 8 (32-1)=3, 1 当 n≥2 时, n-1 n 1 2 n 1 2 ∵a = a +a +…+a - a +a +…+ an-1 n 1 2 n 1 2 3 2n 3 2n-2 - = 8 (3 -1)- 8 (3 -1)=32n 1, n - 当 n=1,a =32n 1 也成立, n n 所以 an= 2n-1. 3 an (Ⅱ)bn=log3 n =-(2n-1), 1 1 1 1 1 = = - , bnbn+1 (2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴b b +b b +…+ = 1- 3 + 3 - 5 +…+ - bnbn+1 2 2n-1 2n+1 1 2 2 3 1 1 n = 2 1- = . 2n+1 2n+1 (18)解: 1 (Ⅰ)x 甲= 8 (7+9+11+13+13+16+23+28)=15,

…1 分

(

) (

)

…5 分

…6 分 …7 分

(

)

[(

) (

)

(

)]

…10 分 …12 分

(

)

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1 x 乙= 8 (7+8+10+15+17+19+21+23)=15, 1 2 s甲 = 8 [(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75, 1 2 s乙 = 8 [(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25. …4 分 3 1 (Ⅱ) 根据统计结果, 在一场比赛中, 甲、 乙得分超过 15 分的概率分别为 p1= 8 , p2= 2 , 3 两人得分均超过 15 分的概率分别为 p1p2=16, k 13 2-k 3 k 3 依题意,X~B 2,16 ,P (X=k)=C2 …7 分 16 16 ,k=0,1,2, X 的分布列为 X 0 1 2 169 78 9 P …10 分 256 256 256 3 3 X 的均值 E (X)=2×16= 8 . …12 分 (19)解: (Ⅰ)∵PC⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴AC⊥PC, ∵AB=2,AD=CD=2,∴AC=BC= 2, ∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC, 又 BC∩PC=C,∴AC⊥平面 PBC, ∵AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC. …4 分 甲、乙两名队员的得分均值相等;甲的方差较大(乙的方差较小) .

(

)

( )( )

(Ⅱ)如图,以 C 为原点,→ DA 、→ CD 、→ CP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正向,建立空间直角坐标系,则 C (0,0,0),A (1,1,0),B (1,-1,0). 设 P (0,0,a)(a>0) , 1 1 a 则 E 2 ,- 2 , 2 , …6 分

z P

(

)

E

→ CA =(1,1,0),→ CP =(0,0,a),
1 1 a → CE =( ,- , ), 2 2 2 取 m=(1,-1,0),则
y D C A

x B

m·→ CA =m·→ CP =0,m 为面 PAC 的法向量.

设 n=(x,y,z)为面 EAC 的法向量,则 n·→ CA =n·→ CE =0, ?x+y=0, 即? 取 x=a,y=-a,z=-2,则 n=(a,-a,-2), ?x-y+az=0, |m·n| a 6 依题意,|cos ?m,n?|= = 2 = 3 ,则 a=2. |m||n| a +2 于是 n=(2,-2,-2),→ PA =(1,1,-2). 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ, |→ PA ·n| __________ 2 → 则 sin θ=|cos ? PA ,n?|= → = , | PA ||n| 3

…10 分

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2 即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 3 . (20)解: (Ⅰ)设 C (m,0),D (0,n),P (x,y). 由→ CP = 2→ PD ,得(x-m,y)= 2(-x,n-y), ?m=( 2+1)x, ? ?x-m=- 2x, ? 2+1 ∴? 得? ?y= 2(n-y), n= y, ? ? 2 ? 由|→ CD |= 2+1,得 m2+n2=( 2+1)2, ( 2+1)2 2 2 2 ∴( 2+1) x + y =( 2+1)2, 2 y2 整理,得曲线 E 的方程为 x2+ 2 =1.

…12 分

…2 分

…5 分

(Ⅱ)设 A (x1,y1),B (x2,y2),由→ OM =→ OA +→ OB ,知点 M 坐标为(x1+x2,y1+y2). 设直线 l 的方程为 y=kx+1,代入曲线 E 方程,得(k2+2)x2+2kx-1=0, 2k 1 则 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . …7 分 k +2 k +2 4 y1+y2=k(x1+x2)+2= 2 , k +2 (y1+y2)2 由点 M 在曲线 E 上,知(x1+x2)2+ 2 =1, 4k2 8 即 2 + =1,解得 k2=2. …9 分 (k +2)2 (k2+2)2 3 这时 x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k(x2+x2)+1=- 4 , 2 2 2 2 2 2 2 2 (x2 1+y1)(x2+y2)=(2-x1)(2-x2)=4-2(x1+x2)+(x1x2) 33 =4-2[(x1+x2)2-2x1x2]+(x1x2)2=16, x1x2+y1y2 33 cos ?→ OA ,→ OB ?= …12 分 2 2 2 2 =- 11 . (x1+y1)(x2+y2) (21)解: a2 (x+a)(x-a) (Ⅰ)f ?(x)=x- x = . …1 分 x 当 x∈(0,a)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减; 当 x∈(a,+∞)时,f ?(x)>0,f (x)单调递增. 1 当 x=a 时,f (x)取得极小值也是最小值 f (a)= 2 a2-a2ln a. …4 分 (Ⅱ) (ⅰ)设 g (t)=f (a+t)-f (a-t),则 当 0<t<a 时, a2 a2 2at2 g ?(t)=f ?(a+t)+f ?(a-t)=a+t- +a-t- =2 <0, …6 分 a+t a-t t -a2 所以 g (t)在(0,a)单调递减,g (t)<g (0)=0,即 f (a+t)-f (a-t)<0, 故 f (a+t)<f (a-t). …8 分 (ⅱ)由(Ⅰ) ,f (x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增, 不失一般性,设 0<x1<a<x2, 因 0<a-x1<a,则由(ⅰ) ,得 f (2a-x1)=f (a+(a-x1))<f (a-(a-x1))=f (x1)=f (x2), …11 分
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又 2a-x1,x2∈(a,+∞), 故 2a-x1<x2,即 x1+x2>2a. (22)解: (Ⅰ)连结 OA、AD. ∵AC 是圆 O 的切线,OA=OB, ∴OA⊥AC,∠OAB=∠OBA=∠DAC, 又 AD 是 Rt△OAC 斜边上的中线, ∴AD=OD=DC=OA, E ∴△AOD 是等边三角形,∴∠AOD=60?, F 1 故∠ABC= 2 ∠AOD=30?. …5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, B O 在 Rt△AEB 中,∠EAB=∠ADB=60?, 1 1 3 3 ∴EA= 2 AB= 2 × 2 BD= 4 BD, 3 3 3 3 EB= 2 AB= 2 × 2 BD= 4 BD, …7 分 由切割线定理,得 EA2=EF×EB, 3 3 ∴16BD2=EF× 4 BD, ∴BD=4EF. (23)解: (Ⅰ)设点 P、Q 的极坐标分别为(ρ0,θ)、(ρ,θ),则 1 1 ρ= 2 ρ0= 2 ·4(cos θ+sin θ)=2(cos θ+sin θ), 点 Q 轨迹 C2 的极坐标方程为 ρ=2(cos θ+sin θ), 两边同乘以 ρ,得 ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ), C2 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2. (Ⅱ)将 l 的代入曲线 C2 的直角坐标方程,得 (tcos φ+1)2+(tsin φ-1)2=2,即 t2+2(cos φ-sin φ)t=0, t1=0,t2=sin φ-cos φ, 由直线 l 与曲线 C2 有且只有一个公共点,得 sin φ-cos φ=0, ? 因为 0≤φ<?,所以 φ= 4 . (24)解: ?2-3x,x<0, ? (Ⅰ)f (x)=|x|+2|x-1|=?2-x, 0≤x≤1, ? ?3x-2,x>1. 2 当 x<0 时,由 2-3x≤4,得- 3 ≤x<0; 当 0≤x≤1 时,1≤2-x≤2; 当 x>1 时,由 3x-2≤4,得 1<x≤2. 2 综上,不等式 f (x)≤4 的解集为 - 3 ,2 . ? ?2a-3x,x<0, (Ⅱ)f (x)=|x|+2|x-a|=?2a-x,0≤x≤a, ?3x-2a,x>a. ? 可见,f (x)在(-∞,a]单调递减,在(a,+∞)单调递增. 当 x=a 时,f (x)取最小值 a.

…12 分

…2 分

A

D

C

…10 分

…3 分 …5 分 …7 分

…10 分

…2 分

[

]

…5 分 …7 分

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所以,a 取值范围为[4,+∞).

…10 分

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