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2.3 变量间的相关关系



2.3 变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关
课标要求 1.理解两个变量的相关关系的概念. 2.会作散点图,并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关 系. 3.会求回归直线方程. 4.能利用回归方程由一个变量的变化去推测、 估计另一个变量的 变化. 学法指导 1.对照函数关系理解两个变量的相关关系. 2. 画出散点图分析两变量是否具有相关关系 , 培养识 图、用图的能力. 3.根据数据求回归方程,利用它估计另一变量.

新课导入——实例引领 思维激活 【实例】 (1)吸烟可导致肺癌. (2)y=x2+5(x∈R). (3)下表是某小卖部 6 天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表. 气温(℃) 杯数 25 18 18 30 12 37 10 35 4 50 0 54

想一想 1:吸烟一定可导致肺癌吗?吸烟与患肺癌有关吗?实例(2)中 x、y 间又是什么关系? (吸烟不一定患肺癌,但它们有一定的关系.y=x2+5(x∈R)中 x、y 是一种函数关系,是确定的) 想一想 2:实例(3)中小卖部卖出的热茶杯数与当天气温有关吗?两者之间是如何变化的? (两者间有关系;随着气温的降低卖出的热茶杯数增加) 想一想 3:实例(3)中,大体上看,随着气温的降低卖出的热茶杯数在增加,那么如何确定这一 关系的细节呢? (可以通过作统计图、表来直观观察研究它们的相关关系) 知识探究——自主梳理 思考辨析 1.相关关系与函数关系不同 函数关系中的两个变量间是一种确定性关系,相关关系是一种 性关系. 2.正相关和负相关 (1)正相关 在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域 ,对于两个变量的这种相关关系 ,我们就称它 为正相关. (2)负相关 在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域 ,对于两个变量的这种相关关系 ,我们就称它 为负相关. 3.回归直线方程 (1)回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 ,我们就称这两个变量 之间具有 关系,这条直线叫做回归直线. (2)回归方程:与回归直线对应的方程叫回归直线的方程,简称回归方程. (3)最小二乘法 求回归直线时使得样本数据的点到回归直线的 的方法叫做最小二乘法.
(4)求回归方程
? x+ a ? =b ? ,其 若两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则所求的回归方程为 y ? 为待定的参数,由最小二乘法得: ? ,b 中a

n ? xi ? x yi ? y ? ? ? ? i ?1 ?b ? ? n 2 ? xi ? x ? ? i ?1 ? ? . ? a ? y ? bx ? ?

?

??

? ? x y ? nx y
n i ?1 n i i

?

?

?x
i ?1

2 i

? nx

2

,

拓展提升:(1)回归直线的特征及意义 ①回归直线通过样本点的中心; ②回归直线“最贴近”已知的数据点,能更好地反映 x 与 y 之间的关系.实际上,求回归方程的关键是如何 用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.
? 的含义 (2)回归系数 b ? 代表 x 每增加一个单位,y 的平均增加单位数,而不是增加单位数.也就是说,此时对 y 的预测是平均预 ①b

测;
? >0 时,说明两个变量呈正相关关系,含义为 x 每增加一个单位,y 就平均增加 b ? 个单位数; ②当 b ? <0 时,说明两个变量呈负相关关系,含义为 x 每增加一个单位,y 就平均减少| b ? |个单位数. 当b

题型探究——典例剖析 举一反三

题型一 相关关系的判断
【例 1】 下面是随机抽取的 9 名 15 岁男生的身高、体重表: 编号 身高/cm 体重/kg 1 165 52 2 157 44 3 155 45 4 175 55 5 168 54 6 157 47 7 178 62 8 160 50 9 163 53

判断所给的两个变量是否存在相关关系. 名师导引:可以依靠经验或依据两变量的取值或画出散点图分析两变量是否存在相关关系. 解:法一 根据经验可知,人的身高和体重之间存在相关关系. 法二 观察表格数据可知 ,人的体重随着身高的增加而增加,因此人的身高和体重之间存在 相关关系. 法三 以 x 轴表示身高,以 y 轴表示体重,得到相应的散点图.

我们会发现,随着身高的增高 ,体重基本上呈增加趋势.图中点的趋势表明体重与身高之间存 在相关关系,并且是正相关. 题后反思 散点图在分析两个变量之间的相关关系时 ,具有较强的说服力,如果发现点的分 布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的 ,注意不要受个别点的 位置的影响. 跟踪训练 1-1:设某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表: 年收入 x(万元) 年饮食支出 y(万元) 2 0.9 4 1.4 4 1.6 6 2.0 6 2.1 6 1.9 7 1.8 7 2.1 8 2.2 10 2.3

(1)将上表数据制成散点图;

(2)从图中判断年饮食支出与年收入成什么关系. 题型二 求回归直线方程 【例 2】 5 个学生的数学和物理成绩(单位:分)如表:
学生 学科 数学 物理 A 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62

画出散点图,判断它们是否具有相关关系,若相关,求出回归方程. 由散点图可知,两者之间具有相关关系,且为线性相关. 列表,计算
i xi yi xiyi 1 80 70 5600 6400 2 75 66 4950 5625 3 70 68 4760 4900 4 65 64 4160 4225
i i

5 60 62 3720 3600

xi2

x =70, y =66,
? x+ a ? =b ? ,则由上表可得 设所求回归方程为 y

?x
i ?1

5

2 i

=24750,

?x y
i ?1

5

=23190

? = b

?x y
i ?1 5 i

5

i

? 5x y ? 5x
2

?x
i ?1

=

2 i

9 =0.36, 25

? =40.8. ? = y - bx a
? =0.36x+40.8. ∴所求回归方程为 y

题后反思

用公式求回归方程的一般步骤

(1)列表:求 xi,yi, xi2 ,xiyi; (2)计算 x , y , ? xi2 , ? xi yi ;
i ?1 i ?1 n n

?= (3)代入公式 b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

? ,计算 b ?,a ? = y - bx ? 的值; ,a

2 i

(4)写出线性回归方程。
跟踪训练 2 1:已知变量 x、y 有如下对应数据:
x y 1 1 2 3 3 4 4 5

(1)作出散点图; (2)用最小二乘法求关于 x,y 的回归直线方程.

题型三 利用回归方程对总体进行估计 【例 3】 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试 销,得到如下数据: 单价 x(元) 销量 y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

? x+ a ? =-20, a ? ; ? =b ? ,其中 b ? = y - bx (1)求回归直线方程 y

(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是 4 元/件,为使工厂获得最大 利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)

解:(1)由于 x =
y=

1 (x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5, 6

1 ? =-20, (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80.又 b 6

? =80+20×8.5=250, ? = y - bx 所以 a
? =-20x+250. 从而回归直线方程为 y

(2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) 2 =-20x +330x-1000 =-20(x-8.25) +361.25. 当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值. 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.
? ,由于 a ? 的计算量大,所以计算时要仔 ? 、b ? 、b 求回归直线方程,关键在于正确地求出回归系数 a ?或a ? ,则可以借助于回归直线过样本点的中心 ( x , y )求出另一个参数,写出回 细,避免计算错误,若已知 b
2

题后反思

归直线方程.利用所求的回归方程去估计总体的变化情况,这是函数与方程思想的主要表现.

跟踪训练 3-1:某数学老师身高 176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm,170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身 高为 cm.
解析:设父亲身高为 x cm,儿子身高为 y cm,由题意可列表格如下:
x y 173 170
3 3

170 176

176 182

由表格中数据得 x =173, y =176, ? xi yi =91362,
i ?1

?x
i ?1

2 i

=89805,

? =176-1×173=3, ? ? 91362 ? 3 ? 173 ? 176 =1, a ? = y - bx 则b 89805 ? 3 ? 1732
? =x+3,当 x=182 时, y ? =185. ∴y

【例题】 一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会缺损,按不同转速生产出来的零件有缺损的统计 数据如下表:
转速 x(转/秒) 每小时生产缺损零件数 y(件) 16 11 14 9 12 8 8 5

(1)作出散点图; (2)如果 y 与 x 线性相关,求出回归直线方程; (3)若实际生产中,允许每小时生产的产品中有缺损的零件最多为 10 个,那么机器的运转速度应控制在什么 范围? 2.(2014 甘肃高台一中高一期末)已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:
x y 0 0 1 2 2 5 3 7

? x+ a ? =b ? 必过点( 则 y 与 x 的线性回归方程 y

)

(A)(1,2) (C)(
3 15 , ) 2 4

(B)(2,6) (D)(3,7)

? =5x+250,当施肥量为 80 kg 时,预计水稻产量约为 4.若施肥量 x(kg)与水稻产量 y(kg)的线性回归方程为 y

kg.



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