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第二章基本初等函数、导数及其应用第3课时



第二章

基本初等函数、导数及其应用

第3课时 函数的单调性与最值

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

教材回扣夯实双基
基础梳理
1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

目 导引

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基本初等函数、导数及其应用

增函数 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I.如 果对于定义域I内某个区间D上的任 意两个自变量x1,x2,当x1<x2时, 都有 定义 f(x1)<f(x2) , f(x )>f(x ) ___________ 1 2 ____________ ,那 那么就说函数 么就说函数f(x)在区 f(x)在区间D上 间D上是减函数 是增函数

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基本初等函数、导数及其应用

(2)单调性、单调区间的定义 增函数 或 若函数f(x)在区间D上是________ 减函数 ,则称函数f(x)在这一区间上 ________ 区间D 叫做 具有 ( 严格的 ) 单调性, ________ f(x)的单调区间.

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基本初等函数、导数及其应用

思考探究
1 .函数 f(x) 在区间 [a , b] 上单调递增 ,

与函数 f(x) 的单调递增区间为 [a , b] 含
义相同吗?

提示:不相同,f(x)在区间[a,b]上单
调递增并不能排除f(x)在其他区间单调

递增,而f(x)的单调递增区间为[a,b]意
味着f(x)在其他区间不可能单调递增.
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2.函数的最值 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 前提 在实数M满足

(1)对于任意x∈I,(1)对于任意x∈I, f(x)≤M ;都有__________ 都有__________ f(x)≥ M ; 条件 (2)存在x0∈I,使 (2)存在x0∈I,使 f(x0)=M f(x0)=M 得___________ 得___________
结论 M为最大值 M为最小值
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基本初等函数、导数及其应用

思考探究 2.函数的最值与函数值域有何关系? 提示:函数的最值与函数的值域是关 联的,求出了闭区间上连续函数的值 域也就有了函数的最值,但只有了函 数的最大(小)值,未必能求出函数的 值域.
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基本初等函数、导数及其应用

课前热身
1 .已知函数 y= f(x) 是定义在 R上的

增函数,则f(x)=0的根(
A.有且只有一个 C.至多有一个

)

B.有2个 D.以上均不对

解析:选C.作出符合条件的函数f(x)= 2x,f(x)=2x-1的图象易知.
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基本初等函数、导数及其应用

2.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞) 上是减函数,则( 1 A.k> 2 1 C.k>- 2 )

1 B.k< 2 1 D.k<- 2

1 解析:选 D.只须 2k+1<0,即 k<- . 2

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基本初等函数、导数及其应用

3.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1, x2 ∈ (0 , + ∞) , 当 x1<x2 时 , 都 有 f(x1)>f(x2)”的是( ) 1 A.f(x)= x B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=e
x

D.f(x)=ln(x+1)

答案:A
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4.(2012· 福州调研)函数 y= x2-5x-6 的单调增区间为________.

答案:[6,+∞)

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基本初等函数、导数及其应用

1 5.函数 f(x)= 在[2,3]上的最小值为 x- 1 ________,最大值为________.

1 答案: 2

1

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基本初等函数、导数及其应用

考点探究讲练互动
考点突破 函数单调性的判断与证 明
函数的单调性用以揭示随着自变量的
增大,函数值的增大与减小的规律. ①在定义区间上任取x1、x2,且x1<x2

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基本初等函数、导数及其应用

的条件下,②判断并证明 f(x1)<f(x2) 或 f(x1)>f(x2) ,③得出增减性的结论.这 一过程就是实施不等式的变换过程. 尤其重视这三者,由任二者推第三者 的具体应用.

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基本初等函数、导数及其应用

例1

a 已知 a>0, 函数 f(x)=x+x(x>0),

证明函数 f(x)在(0, a]上是减函数,在 [ a,+∞)上是增函数.

【思路分析】

利用定义进行判断,

主要判定f(x2)-f(x1)的正负.

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基本初等函数、导数及其应用

【证明】 设 x1、x2 是任意两个正数, 且 x1<x2, ? ? a? a? ? ? ? ? x + x + 则 f(x1) - f(x2) = ? 1 x ? - ? 2 x ? = ? ? 1? 2? x1-x2 (x x -a). x1x2 1 2 当 0<x1<x2≤ a时,0<x1x2<a,又 x1-

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x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2), 所以函数 f(x)在(0, a]上是减函数; 而当 a≤x1<x2 时, x1x2>a, 又 x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),所以 函数 f(x)在[ a,+∞)上是增函数.

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【名师点评】 的一般步骤:

用定义证明函数单调性

(1)取值:即设x1,x2是该区间内的任意
两个值,且x1<x2. (2)作差:即f(x2)-f(x1)(或f(x1)-f(x2)), 并通过通分、配方、因式分解等方法, 向有利于判断差的符号的方向变形.
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(3)定号:根据给定的区间和x2-x1的 符号,确定差f(x2)-f(x1)(或f(x1)-

f(x2))的符号.当符号不确定时,可以
进行分类讨论.

(4)判断:根据定义得出结论.

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基本初等函数、导数及其应用

互动探究 1.本例条件“x>0”改为“x<0”,试判断 f(x)的单调性.并请画出函数f(x)在R 上的大致图象.

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基本初等函数、导数及其应用

a 解:因 f(x)=x+x为奇函数,如图易知 f(x)在区间(-∞,- a]上为增函数,在 [- a,0)上为减函数.

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基本初等函数、导数及其应用

求函数的单调区间
在求函数的单调区间(即判断函数的单
调性)时,一般可以应用以下方法:(1)

图象法;(2) 作差法(定义法);(3) 作商
法(比值法);(4)复合函数法;(5)利用

导数法等.

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基本初等函数、导数及其应用

例2

求下列函数的单调区间:

(1)y=-x2+2|x|+3; (2)y=2 【思路分析】 用复合函数法. . (1)利用图象法,(2)利

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【解】

(1)∵y=-x2+2|x|+3

?-x2+2x+3?x≥0? =? , 2 ?-x -2x+3?x<0? ?-?x-1?2+4?x≥0? 即 y=? . 2 ?-?x+1? +4?x<0?

由图知,单调递增区间是: (-∞,- 1] 和[0,1]. 单调递减区间是:(-1,0)和(1,+∞).

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(2)由于t=-x2+4x-3的单调递增区 间是(-∞,2),单调递减区间是(2, +∞),又底数大于1,所以此函数的单

调递增区间是(-∞,2),单调递减区
间是(2,+∞).

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基本初等函数、导数及其应用

【误区警示】

确定函数的单调区间

时应注意:
(1) 函数的单调区间是其定义域的子集,

因此,讨论函数的单调性,必须先确
定函数的定义域.

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基本初等函数、导数及其应用

(2)对于同增(减)的不连续的单调区间 不能写成并集,只能分开写. (3)函数的单调区间,往往需要借助函 数图象和有关结论,才能求解.

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基本初等函数、导数及其应用

求函数的最值
函数的最值求法:

(1)若函数是二次函数或可化为二次函
数型的函数,常用配方法.

(2) 利用函数的单调性求最值:先判断
函数在给定区间上的单调性,然后利

用函数的单调性求最值.
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基本初等函数、导数及其应用

(3)基本不等式法:当函数是分式形式 且分子、分母不同次时常用此法.

(4)导数法:当函数较复杂(如指数、对
数函数与多项式结合)时,一般采用此

法.
(5)数形结合法:画出函数图象,找出 坐标的范围或分析条件的几何意义, 在图上找其变化范围.
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1 1 例3 已知函数 f(x)=a-x(a>0,x>0). (1)求证: f(x)在 (0,+∞)上是单调递增 函数; 1 1 (2)若 f(x)在[ ,2]上的值域是[ ,2],求 2 2 a 的值.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】 (1)利用函数单调性定义 证明. (2)由 f(x)在
?1 ? ? x∈? ,2? ?上的最大值、最小 ?2 ?

值,建立 a 的等式,求 a 的值.

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基本初等函数、导数及其应用

【解】

(1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-

x1>0,x1x2>0. ∵f(x2)-f(x1) 1 1 1 1 =(a- )-(a- ) x2 x1 1 1 = - x1 x2 x2-x1 = >0, x1x2
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基本初等函数、导数及其应用

∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的. ?1 ? ?1 ? ? ? ? , 2 , 2 (2)∵f(x)在? 上的值域是 ? ? ? ?, 2 2 ? ? ? ? ?1 ? ? 又 f(x)在?2,2? ?上单调递增, ? ? ?1? 1 ? ? ∴f?2?= ,f(2)=2, 2 ? ? 2 易得 a= . 5
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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

(1) 求一个函数的最值

时,应首先考虑函数的定义域.
(2) 函数的最值是函数值域中的一个取

值 , 是自变量 x 取了某个值时的对应值 ,
故函数取得最值时,一定有相应的x的

值.

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基本初等函数、导数及其应用

函数单调性的应用
抽象函数通常是指没有给出函数的具体 解析式,只给出了其他一些条件(如函数 的:定义域、单调性、奇偶性、解析递

推式)的函数问题.它的单调性往往是根
据定义去判断,利用函数的单调性解题

时,容易犯的错误是忽略函数的定义域.

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基本初等函数、导数及其应用

例4

定义在R上的函数y=f(x),

f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意

的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)· f(b).
(1)求证:f(0)=1;

(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)是R上的增函数;

(4)若f(x)· f(2x-x2)>1,求x的取值范围.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

抽象函数问题要充分

利用“恒成立”进行“赋值”,从关键等
式和不等式的特点入手.

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基本初等函数、导数及其应用

【解】 (1)证明:令 a=b=0,则 f(0)= [f(0)]2. 又 f(0)≠0,∴f(0)=1. (2)证明:当 x<0 时,-x>0, ∴f(0)=f(x)· f(-x)=1. 1 ∴f(-x)= >0.又 x≥0 时 f(x)≥1>0, f?x? ∴x∈R 时,恒有 f(x)>0.

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基本初等函数、导数及其应用

(3)证明:设x1<x2,则x2-x1>0. ∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)· f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. 又f(x1)>0,∴f(x2-x1)· f(x1)>f(x1). ∴f(x2)>f(x1).∴f(x)是R上的增函数.

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基本初等函数、导数及其应用

(4)由f(x)· f(2x-x2)>1,f(0)=1,
得f(3x-x2)>f(0).

又f(x)是R上的增函数,∴3x-x2>0.
∴0<x<3.

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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

解本题的关键是灵活

应用题目条件,尤其是 (3) 中“f(x2) = f[(x2-x1)+x1]”是证明单调性的关键 , 这里体现了向条件化归的策略.

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基本初等函数、导数及其应用

变式训练 2.已知函数 f(x)的定义域为[-1,1],且 对于任意的 x1,x2∈[-1,1],当 x1≠x2 f?x1?-f?x2? 时,都有 >0. x1-x2 (1)试判断函数 f(x)在区间[-1,1]上是增 函数还是减函数,并证明你的结论; (2)解不等式 f(5x-1)<f(6x2).

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基本初等函数、导数及其应用

解:(1)当 x1,x2∈[-1,1],且 x1<x2 时, f?x1?-f?x2? 由 >0,得 f(x1)<f(x2), x1-x2 所以函数 f(x)在区间[-1,1]上是增函数. (2)因为 f(x)在[-1,1]上是增函数. 所以由 f(5x-1)<f(6x2)知,

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基本初等函数、导数及其应用

?-1≤5x-1≤1, ? ?-1≤6x2≤1, ? 2 ?5x-1<6x

2 ? ?0≤x≤ , 5 ? ? 6 6 ? ? - ≤x≤ , 6 6 ? ? 1 1 ?x< 或x> , ? 3 2

1 所以 0≤x< ,所求不等式的解集为 3 ? ? ? ? 1 ?x|0≤x< ?. ? 3? ? ?

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基本初等函数、导数及其应用

利用函数的最值求参数 的取值范围
例5

x +2x+a 已知函数 f(x)= ,x∈ x

2

[1,+∞).若对任意 x∈[1,+∞),f(x) >0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

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基本初等函数、导数及其应用

【思路分析】

欲求参数a的取值范围,

应从x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立的具
体情况开始.

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基本初等函数、导数及其应用

x2+2x+a 【解】 ∵f(x)= > 0 在区间 [1 , x +∞)上恒成立; 2 ∴x +2x+a>0 在区间[1,+∞)上恒成 立; ∴x2+2x>-a 在区间[1,+∞)上恒成 立. ∵函数 y=x2+2x 在区间[1,+∞)上的 最小值为 3, ∴-a<3,即 a>-3
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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

这里利用了分离参数

的方法,将问题转化为求函数的最值.
记住以下常见结论:

a>f(x)恒成立?a>f(x)max,即大于时大
于函数f(x)值域的上界.

a<f(x)恒成立?a<f(x)min,即小于时小
于函数f(x)值域的下界.
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基本初等函数、导数及其应用

方法感悟
方法技巧 1.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的增 减区间都是其定义域的子集;其次掌 握一次函数、二次函数等基本初等函

数的单调区间.常用方法有:根据定
义,利用图象和单调函数的性质,还 可以利用导数的性质.
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基本初等函数、导数及其应用

2.复合函数的单调性 对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在 区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在 区间(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上是

单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调
性相同(同时为增或为减),则y=

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基本初等函数、导数及其应用

f[g(x)]为增函数;若t=g(x)与y=f(t)的单 调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.简称 为:同增异减.

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失误防范 1.函数的单调区间是指函数在定义 域内的某个区间上单调递增或单调递 减.单调区间要分开写,即使在两个 区间上的单调性相同,也不能用并集 表示.

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基本初等函数、导数及其应用

2.两函数 f(x)、g(x)在 x∈(a,b)上都是 增(减)函数,则 f(x)+g(x)也为增(减)函 1 数,但 f(x)· g(x), 等的单调性与其正 f?x? 负有关,切不可盲目类比.

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考向瞭望把脉高考
命题预测 从近几年的高考试题来看,函数单调 性的判断和应用以及函数的最值问题 是高考的热点,题型既有选择题、填

空题,出现在解答题的难度都属中等
偏高,大都为压轴导函数题.客观题
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基本初等函数、导数及其应用

主要考查函数的单调性、最值的灵活 确定与简单应用,作为后续导函数的 基础部分应充分重视并加以训练.主 观题在考查基本概念、重要方法的基 础上,又注重考查函数方程、等价转

化、数形结合、分类讨论的思想方法.

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基本初等函数、导数及其应用

预测2013年福建高考仍将以利用导数 求函数的单调区间,研究单调性及利 用单调性求最值或求参数的取值范围

为主要考点,重点考查转化与化归思
想及逻辑推理能力.

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基本初等函数、导数及其应用

规范解答


(本题满分13分)(2011· 高考北京卷)

已知函数f(x)=(x-k)ex.

(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 【解】 (1)f′(x)=(x-k+1)ex.令f′(x)=0,

得x=k-1. f(x)与f′(x)的变化情况如下:
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基本初等函数、导数及其应用

x f′ (x) f(x)

(- ∞, k- 1) k- 1 - 0 -e
k- 1

(k- 1,+ ∞) +

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所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k- 1);单调递增区间是(k-1,+∞).6分 (2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1] 上单调递增. 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)= - k; 8分 当0<k-1<1,即1<k<2时.
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由(1)知f(x)在[0,k-1)上单调递减, 在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区

间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1
;10分 当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1] 上单调递减;13分 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1) =(1-k)e.
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基本初等函数、导数及其应用

【名师点评】

此题的题型很常规,

属中档题.主要考查利用导数研究函

数的单调性与极值、最值的问题,考
查分类讨论的思想和转化与化归的能

力.本题考生极易入手,失分原因主
要:一是解题不规范、不全面;二是

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求导过程出错;三是不会在区间 [0,1]
上讨论极点的位置,或讨论不全面,

进而求出最小值.

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