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铜陵三中2012-2013学年第二学期期中考试 高二年级数学试卷(文科)(圆锥曲线+导数)



铜陵三中 2012-2013 学年第二学期期中考试
高二年级数学试卷(文科)第一卷
班级: 姓名: 拟卷人:徐其城 审卷人:胡春林

一、选择题: (共 11 个小题,每小题 5 分,共 55 分,每个小题中有四个选项,其中有且只有一项是符合题目 要求的。 ) 1.双曲线的渐近线方程是 y ? ? x ,则其离心率是( A. ) D.

3 2
3

B. 2

C.

2 2

2 3


3) 2.曲线 y ? x ? 2 x ? 4 在点 (1, 处的切线的倾斜角为( A.30° B.45° C.60° D.120°

3.如果函数 y ? f ? x ? 的图像如右图,那么导函数 y ? f ? ? x ? 的图像可能是(



4.抛物线 y ? ax 的准线方程为 y ? 2 ,则 a 的值为(
2

) D. -8

A.

1 8

B. ?

1 8

C. 8

5.已知点 M (1,0) , N (?1,0) ,及动点 P ,满足 A .双曲线 B.一条射线

PM ? PN ? 2 ,则点 P 的轨迹是(
D.双曲线的一支 ) D.
e2 ? 2



C.两条射线

6.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ?A. e2?
9 4

B.2e2

C.e2

7.已知三次函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? mx ? 4 x ? 6 在 x ? (??,??) 上是增函数,则m的取值范围是 ( 3 2 A. m ? 4或m ? ?4 B. ?4 ? m ? 4 C. m ? 4或m ? -4 D.以上皆不是



8.福建炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时时,原油温度(单位: C ) 为

0

f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 8(0 ? x ? 5) ,那么,原油温度的瞬时变化率(原油温度的导函数)的最小值是( ) 3 20 A..8 B. C. ? 1 D. ? 8 3

9. 设椭圆的两个焦点分别为 F1 、F2 , F2 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交, 过 其中的一个交点为 P , ?F1 PF2 若 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )
第 1 页 共 9 页

A. 2 ? 1

B.

2 ?1 2

C. 2 2

D.

2 2

10.已知双曲线 的方程为(
2

x2 y2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 5 ,则该双曲线 2 a b
)

4 y2 x2 y2 A. 5 x ? ? 1 ? B. ? ?1 5 5 4

y2 x2 C. ? ?1 5 4

5 y2 ?1 D. 5 x ? 4
2

x2 y2 y2 2 11.已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x - =1 有公共的焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为 a b 4 直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( 13 A.a2= 2 1 C.b2= 2 B.a2=13 D.b2=2 )

二、填空题: (共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案填写在答题纸相应位置。 ) 12. 若 f ? x ? ? ex ln x ,则 f ?(1) =___________. 13.P是抛物线 y ? x 2 上的点,若P点处的切线与直线 y ? ? 14.已知双曲线 的距离是 15.过椭圆

1 x ? 1 垂直,则P点处的切线方程是____________. 2

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? 3 x , 则抛物线 y 2 ? 4ax 上一点 M ? 2, y0 ? 到该抛物线焦点 F a 3 .

x2 ? y 2 ? 1的右焦点作一条斜率为 1 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则 ?OAB 的 2

面积为____________. 16.如图是 y=f(x)导数的图象,对于下列四个判断:? ①f(x)在[-2,-1]上是增函数;? ②x=-1 是 f(x)的极小值点;? ③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数;? ④x=3 是 f(x)的极小值点.? 其中判断正确的是 .?

第 2 页 共 9 页

铜陵三中 2012-2013 学年第二学期期中考试
高二年级数学试卷(文科)第二卷
座位号 拟卷人:徐其城 审卷人:胡春林 一、选择题: (共 11 个小题,每小题 5 分,共 55 分,每个小题中有四个选项,其中有且只有一项是符合题目 要求的。 )

题号 1 答案


2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

二、填空题: (共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案填写在答题纸相应位置。 )



12.


13. 16.

14. .



15.



三、解答题: (本大题共 5 个小题,共 70 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)求适合下列条件的椭圆的标准方程:



(1)焦点在 x 轴上,短轴长为 6,离心率为

4 ; 5



班 级









线



x2 y 2 (2) 椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 M a b

?



2,1 ,且一个焦点为 F ? 2, 0 .

?

?

?

第 3 页 共 9 页

18.(本小题满分13分) 已知 f ( x) ? ax4 ? bx2 ? c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2 (1)求 y ? f (x) 的解析式; (2)求 y ? f (x) 的单调递增区间.

.

19. (本小题满分 14 分) 已知动点P与平面上两定点 A(? 2,0), B( 2,0) 连线的斜率的积为定值 ? (1)试求动点P的轨迹方程C; (2)设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线C 交于M、N两点,当|MN|=

1 . 2

4 2 时,求直线l的方程. 3

第 4 页 共 9 页

20.(本小题满分 15 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3



5 2 . 3
???? ???? 7 , 0) ,求证: MA ? MB 为定值. 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,点 M (?

.

第 5 页 共 9 页

21. (本小题满分 16 分) 设 a ≥ 0 , f ? x ? ? x ?1 ? ln2 x ? 2a ln x , ? x ? 0 ? . (1)令 F ? x ? ? xf ? ? x ? ,讨论 F ? x ? 在 ? 0,??? 内的单调性并求极值; (2)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .
2

密 封 线 内 不 要 答 题

第 6 页 共 9 页

铜陵三中 2012-2013 学年第二学期期中考试
高二年级数学试卷(文科)参考答案
一、选择题: (共 11 个小题,每小题 5 分,共 55 分,每个小题中有四个选项,其中有且只有一项是符合题目 要求的。 )

题号 1 答案 B

2 B

3 A

4 B

5 B

6 D

7 B

8 C

9 A

10 D

11 C

二、填空题: (共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案填写在答题纸相应位置。 )

12. 15.

e
2 3

13. 2 x ? y ? 1 ? 0 16.
② ③

14. .

3

三、解答题: (本大题共 5 个小题,共 70 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解(1)

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (2) ? ?1 25 9 4 2
? 3 10 ? ? 3 10 ? 5 4 9 2 x ? x ? 1 (2) 单调增区间为 ? ? ? 10 , 0 ? , ? 10 , ?? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

18.解: (1) f ( x) ?

19.解:(1)设点 P( x, y) ,则依题意有

y y 1 ? ?? , 2 x? 2 x? 2

整理得

x2 x2 ? y 2 ? 1. 由于 x ? ? 2 ,所以求得的曲线C的方程为 ? y 2 ? 1( x ? ? 2). 2 2

? x2 ? ? y 2 ? 1, (2)由 ? 2 消去y得 : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 0. ? y ? kx ? 1. ?
? 4k ( x1 , x 2 分别为M,N的横坐标). 1 ? 2k 2 4k 4 2 2 |? 2, 由 | MN |? 1 ? k | x1 ? x 2 |? 1 ? k | 2 3 1 ? 2k
解得x1=0, x2=

解得 : k ? ?1.
所以直线l的方程x-y+1=0或x+y-1=0.

x2 y 2 c 6 20.解: (1)因为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满足 a 2 ? b 2 ? c 2 , , ? a b a 3

第 7 页 共 9 页

x2 y 2 1 5 2 5 2 2 。解得 a ? 5, b ? ,则椭圆方程为 ? ?1 ? b ? 2c ? 5 5 2 3 3 3
(2)将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 y 2 ? ? 1 中得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 5 5 3
2 2

6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? ? ? 36k ? 4(3k ? 1)(3k ? 5) ? 48k ? 20 ? 0 知 x1 ? x2 ? ? 2 3k ? 1 3k 2 ? 1
4 2

所以 MA ? MB ? ( x1 ?

7 7 7 7 , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 3 3 3 3 7 7 7 49 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k2 3 3 3 9

???? ????

? (1 ? k 2 )

3k 2 ? 5 7 6k 2 49 ? ( ? k 2 )(? 2 ) ? ? k 2 2 3k ? 1 3 3k ? 1 9

2 ln x 2a ? ,x ? 0 , x x 2 x?2 ,x ? 0 , 故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 ,于是 F ?( x) ? 1 ? ? x x
21.解: (1)根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ? 列表如下:

x
F ?( x)

(0, 2)

2 0 极小值 F (2)

(2, ∞) ?

?
单减

?
单增

F ( x)

故知 F ( x) 在 (0, 内是减函数, (2, ∞) 内是增函数, 在 所以, x ? 2 处取得极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a . 在 2) ? (2)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0, ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . ?

? 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ∞) 内单调增加.
2 所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x ? 2a ln x ? 0 .

2 故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .(以上答案仅供参考,如有出入望请批评指正!)

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