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8.3 椭圆的性质6


1.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3,0) ,离心率为 e . a2 b2

(1)若 e ?

3 ,求椭圆的方程; 2

(2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若坐标原点 O 在以

MN 为直径的圆上,且

2 3 ,求 k 的取值范围. ?e? 2 2

?c ? 3 ? 解: (Ⅰ)由题意得 ? c 3 ,得 a ? 2 3 . ? ? 2 ?a
结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12 , b ? 3 .
2 2 2 2

………………2 分

2

………………3 分

所以,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 12 3

………………4 分

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)由 ? a 2 b 2 得 (b ? a k ) x ? a b ? 0 . ? y ? kx, ?
? a 2b 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 2 , b ? a2k 2
依题意, OM ? ON , 易知,四边形 OMF2 N 为平行四边形, 所以 AF2 ? BF2 , 因为 F2 A ? ( x1 ? 3, y1 ) , F2 B ? ( x2 ? 3, y2 ) , 所以 F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? 9 ? 0 . 即 ………………7 分 ………………6 分

???? ?

???? ?

???? ? ???? ?

………………8 分

?a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ? 9 ? 0, a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)
2

………………9 分

将其整理为 k ?

a 4 ? 18a 2 ? 812 81 ? ?1 ? 4 . 4 2 ?a ? 18a a ? 18a 2

………………10 分

因为

2 3 2 ?e? ,所以 2 3 ? a ? 3 2 , 12 ? a ? 18 . 2 2
2

………………11 分

所以 k ?

1 2 2 ]? ( , ??] . ,即 k ? (??, ? 8 4 4

………………13 分

2.已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 .过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 I 交椭圆 G 于 A,B 两点. 4

(I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以 c ?

a 2 ? b 2 ? 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3,0), ( 3,0)

离心率为 e ?

c 3 ? . a 2

(Ⅱ)由题意知, | m |? 1 .

当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为 (1, 当 m=-1 时,同理可得 | AB |?

3 3 ), (1,? ), 此时 | AB |? 3 2 2

3

当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m),

? y ? k ( x ? m), ? 由 ? x2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ? 1. ?4
设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 )(x2 , y 2 ) ,则

4k 2 m 2 ? 4 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
又由 l 与圆 x ? y ? 1相切, 得
2 2

8k 2 m

| km | k ?1
2

? 1,即m 2 k 2 ? k 2 ? 1. 64 k 4 m ? 4( 4 k 2 m 2 ? 4) ? 4 3 | m | . ? ] m2 ? 3 (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2

所以 | AB |?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[

由于当 m ? ?3 时, | AB |? 3, 所以 | AB |?

4 3|m| , m ? (?? ,?1] ? [1,?? ) . m2 ? 3

因为 | AB |?

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.

3.已知椭圆 E 经过点 A(2,3) ,对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 e ? (1)求椭圆 E 的方程; (2)求 ?F1 AF2 的角平分线所在直线 l 的方程;

1 . 2

(3)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.

解: (I)设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

1 c 1 ,即 ? , a ? 2c, 得b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3e 2 , 2 a 2 x2 y2 ? 椭圆方程具有形式 2 ? 2 ? 1. 4c 3e 由e ?
将 A(2,3)代入上式,得

1 3 x2 y2 ? ? 1, 解得 c ? 2, ? ? 1. ∴椭圆 E 的方程为 c2 c2 16 12

(II)解法 1:由(I)知 F 1 (?2,0), F 2 (2,0) ,所以

3 ( x ? 2), 即3x ? 4 y ? 6 ? 0, 4 直线 AF2 的方程为: x ? 2.
直线 AF1 的方程为: y ? 由点 A 在椭圆 E 上的位置知,直线 l 的斜率为正数. 设 P( x, y)为l 上任一点,则

| 3x ? 4 y ? 6 | ?| x ? 2 | . 5
若 3x ? 4 y ? 6 ? 5x ? 10, 得x ? 2 y ? 8 ? 0 (因其斜率为负,舍去). 所以直线 l 的方程为: 2 x ? y ? 1 ? 0. 解法 2:

???? ???? ? ? A(2,3), F1 (?2, 0), F2 (2, 0),? AF1 ? (?4, ?3), AF2 ? (0, ?3). ???? ???? ? AF1 AF2 1 1 4 ? ? (?4, ?3) ? (0, ?3) ? ? (1, 2). ? ???? ? ???? 3 5 | AF1 | | AF2 | 5 ? k1 ? 2,? l : y ? 3 ? 2( x ? 1), 即2 x ? y ? 1 ? 0.
(III)解法 1: 假设存在这样的两个不同的点 B( x1 , y1 )和C ( x2 , y2 ),

? BC ? l ,? k BC ?

y2 ? y1 1 ? . x2 ? x1 2 x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 , 2 2


设BC的中点为M ( x0 , y0 ), 则x0 ?

由于 M 在 l 上,故 2 x0 ? y0 ? 1 ? 0.

又 B,C 在椭圆上,所以有

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1与 2 ? 2 ? 1. 16 12 16 12

两式相减,得

2 2 x2 ? x12 y2 ? y12 ? ? 0, 16 12



( x1 ? x2 )( x2 ? x1 ) ( y1 ? y2 )( y2 ? y1 ) ? ? 0. 16 12

将该式写为 ?

1 x1 ? x2 y2 ? y1 1 y1 ? y2 ? ? ? ? 0, 8 2 x2 ? x1 6 2

并将直线 BC 的斜率 k BC 和线段 BC 的中点,表示代入该表达式中, 得

1 1 x0 ? y0 ? 0, 即3x0 ? 2 y0 ? 0. 8 12



①×2—②得 x2 ? 2, y0 ? 3 ,即 BC 的中点为点 A,而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的点 B 和 C. 解法 2: 假设存在 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 )两点关于直线l 对称 , 则 l ? BC ,? k BC ? ? .

1 2

1 x2 y 2 设直线BC的方程为y ? ? x ? m, 将其代入椭圆方程 ? ? 1, 2 16 12
得一元二次方程 3x ? 4(?
2

1 x ? m) 2 ? 48, 即x 2 ? mx ? m2 ? 12 ? 0, 2

则 x1与x2 是该方程的两个根, 由韦达定理得 x1 ? x2 ? m,

1 3m ( x1 ? x2 ) ? 2m ? , 2 2 m 3m ). ∴B,C 的中点坐标为 ( , 2 4
于是 y1 ? y2 ? ? 又线段 BC 的中点在直线 y ? 2 x ? 1上,?

3m ? m ? 1, 得m ? 4. 4

即 B,C 的中点坐标为(2,3) ,与点 A 重合,矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点.



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