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高中数学必修4:平面向量的坐标运算例题精析 新人教版



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平面向量的坐标运算、线段的定比分点·典型例题精析

例1

平面内有三个已知点 A(1, -2), B(7, 0), C(-5, 6), 求







/>


,2





-3



【分析】 本题涉及向量的坐标表示、向量的加法、减法、实数与向量的 积的坐标运算,均需正确掌握其运算法则. 【解】∵A(1,-2),B(7,0),C(-5,6), ∴ =(7-1,0+2)=(6,2),

=(-5-1,6+2)=(-6,8),



=(6-6,2+8)=(0,10),



=(6+6,2-8)=(12,-6),





=

=(7+5,0-6)=(12,-6).

=(12,4)+(-3,4)=(9,8). -3 =(6,2)-3(-6,8)

=(6,2)-(-18,24) =(6+18,2-24) =(24,-22),

用心

爱心

专心



-3

=(6,2)-3(-6,8)

=(6,2)+(18,-24) =(6+18,2-24) =(24,-22). 例2 用坐标法证明 + + =0.

【证明】

设 A(a1,a2),B(b1,b2),C(c1,c2),则

=(b1-a1,b2-a2),

=(c1-b1,c2-b2),

=(a1-c1,a2-c2),







=(b1-a1,b2-a2)+(c1-b1,c2-b2)

+(a1-c1,a2-c2) =(b1-a1+c1-b1+a1-c1,b2-a2+c2 -b2+a2-c2) =(0,0). ∴ + + =0.

【说明】 这个证明过程完全是三个点坐标的计算, 无需考虑三个点 A, B, C 是共线还是不共线的位置关系.同时,对这个结论的更一般形式,即几个向量 顺次首尾相接,组成一条封闭的折线,其和为零向量,也就不难理解了:

用心

爱心

专心

例3 的值.

已知 M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y),且



,求 y

【分析】

先由已知点坐标分别求出向量



的坐标,再由向量平

行的充要条件求解 y. 【解法一】 利用向量平行充要条件的坐标表达式.

∵M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y), ∴ =(-1,1), =(-1,y-1),







∴(-1)×(y-1)-1×(-1)=0. 解得 y=2. 利用向量共线的定理. ∥ ,故有且仅有一个实数λ ,使 =λ .

【解法二】 由已知

∵M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y). ∴ =(-1,1), =(-1,y-1),

∴(-1,y-1)=λ (-1,1), (-1,y-1)=(-λ ,λ ).

解得 ∴y=2.

λ =1,y=2.

例4 已知△ABC 的三个顶点的坐标为 A(0,0),B(4,0),C(3,6),边 AB, BC,CA 的中点分别为 D,E,F,且△ABC 的重心为 G,求:
用心 爱心 专心

【分析】 解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点 D,E,F 的 坐标, 再利用三角形重心 G 的坐标公式求得 G 的坐标,最后利用平面向量坐标表 示及运算法则计算所求的向量. 【解】∵ A(0,0),B(4,0),C(3,6),且 D,E,F 分别为 AB,BC,CA 的中点,G 为△ABC 的重心,

用心

爱心

专心

【说明】 本题中的(3),(4)具有一般性,我们将在例 5 中作一般结论的 推证,另外结论(3)与(4)本身有着必然的联系,因为 G 为△ABC 的

例5

如图 5-2-2,在△ABC 中,D,E,F 分别为 AB,

【证明】

必要性.

用心

爱心

专心

充分性.



(m-k)

+(l+m)

=0.

由于



是不共线的,故 m-k=0,且 l=m=0,

∴m=k=l.

用心

爱心

专心

更为简捷:

例6

如图 5-2-3,在△ABC 中,D,E,F 分别为边 BC,

【分析】 要证△ABC 与△DEF 的重心相同,实际上是证表示重心的两点重 合,一种方法是利用向量相等,另一种方法是证明两个重心的坐标相同.

【证法一】设△ABC 的重心为 G,△DEF 的重心为 G′,且设

用心

爱心

专心

则对于平面内的任意一点 O,有

∴G 与 G′重合. 故△ABC 与△DEF 的重心相同. 【证法二】 设△ABC 三点的坐标分别为 A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2), 其重心 G 的坐标为(g1, g2). △DEF 三个顶点的坐标分别为 D(d1, d2), E(e1, e2), F(f1,f`2),其重心 G′的坐标为(g′1,g′2),则

用心

爱心

专心

同理 d2+e2+f2=a2+b2+c2.

∴G 与 G′重合. 故△ABC 与△DEF 的重心相同. 【证法三】利用例 5 的结论. 设 G 为△ABC 的重心,则

设 G′为△DEF 的重心,则

据例 5 的结论,可知

用心

爱心

专心

∴△ABC 与△DEF 的重心相同. 【说明】 证法一使用的是线段定比分点的向量式.证法二使用的是线段 定比分点的坐标公式.而证法三,利用了三角形中两个重要的结论:G 为△ABC 重心 + + =0;

CA,AB 上的点). 例7 如图 5-2-4,在△ABC 中,D 为边 BC 上的点,且 =l ,延长 BE 交 AC 于 F,求 F 分有向线段 =k ,E 的比λ .

为 DA 上一点,且

故由此可解得λ .

【解】



=a,

=c,分别将











线性组合表示. ∵ =k ,
用心 爱心 专心



=l



又由 F 分有向线段

的比为λ ,即



,可知

又 ∴

B,E,F 三点共线, =t ,t∈R.

由于 a,c 为不共线向量,故

用心

爱心

专心

两式相除,消去 t,得

用心

爱心

专心



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