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2013高考数学二轮复习课件专题二 第1讲三角函数的图象与性质



专题二 三角函数、解三角形、平 面向量
第1讲
【高考真题感悟】 (2011· 北京)已知函数 f(x)=4cos
? π? xsin?x+6 ?-1. ? ?

三角函数的图象与性质

(1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,4 ?上的最大值和最小值. ? ?

>
? π? 解 (1)因为 f(x)=4cos xsin?x+6 ?-1 ? ? ? 3 ? 1 ? =4cos x? sin x+ cos x? ?- 1 2 2 ? ?

= 3sin 2x+2cos2x-1 = 3sin 2x+cos 2x ? π? =2sin?2x+6 ?, ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6

考题分析

本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式

化简求解三角函数的解析式, 并求三角函数在给定区间上 的值域. 考查了考生分析问题与解决问题的能力和运算求 解能力.
易错提醒 (1)对三角恒等变换公式掌握不牢, 化简方向不 明确.(2)求 f(x)在给定区间上的值域,易忽视对函数单调 性的讨论.

主干知识梳理
1.任意角的三角函数 (1)设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x, y y),那么 sin α=y,cos α=x,tan α=x. (2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三 正切,四余弦.

2.诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α, tan(kπ+α)=tan α(k∈Z) sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α, tan(π+α)=tan α sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan α sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,

tan(π-α)=-tan α π π 公式五 sin(2-α)=cos α,cos(2 -α)=sin α π π 公式六 sin(2+α)=cos α,cos(2 +α)=-sin α

3.同角三角函数基本关系式 sin α sin α+cos α=1,tan α= (cos α≠0). cos α
2 2

4.正弦、余弦、正切函数的性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象 π {x|x≠ + 2 kπ,k∈Z}

定义域

R

R

值域 奇偶性 最小正周 期

[-1,1] 奇函数 2π

[-1,1] 偶函数 2π

R 奇函数 π

单调性

π π 在[- +2kπ, + 在[-π+2kπ, 在(-π+ 2 2 2 π 2kπ](k∈Z)上单调 2kπ](k∈Z)上 kπ, + 2 单调递增;在 π 递增;在[ +2kπ, 2 kπ)(k∈Z) [2kπ,π+ 3π +2kπ](k∈Z)上 2kπ](k∈Z)上 上单调递 2 增 单调递减 单调递减

π 当 x= +2kπ, 2 最值

当 x=2kπ,k∈Z

对称性

k∈Z 时,y 取得最 时, y 取得最大值 π 1; 当 x=π+2kπ, 无最值 大值 1;当 x=- 2 k∈Z 时,y 取得 +2kπ,k∈Z 时,y 最小值-1 取得最小值-1 π 对称中心: 对称中心:( + 2 对称中 (kπ,0)(k∈Z); kπ,0)(k∈Z); 心:(kπ, π 2 对称轴:x= + 对称轴: 2 0)(k∈Z) kπ(k∈Z) x=kπ(k∈Z)

5.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图 π 3π 设 z=ωx+φ,令 z=0, ,π, ,2π,求出 x 的值与 2 2 相应的 y 的值,描点、连线可得. (2)图象变换 向左(φ>0)或向右(φ<0) y=sin x—————————→y=sin(x+φ) 平移|φ|个单位
1 横坐标变为原来的 (ω>0)倍 ω ————————————→ y=sin(ωx+φ) 纵坐标不变

纵坐标变为原来的A(A>0)倍 ————————————→ y=Asin(ωx+φ). 横坐标不变

热点分类突破
题型一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 例 1 已知点 P(-3,4)是角 α 终边上的一点. ? ? 3π? ?3π sin?α+ 2 ?· sin? 2 -α?· tan2(2π-α)tan(π-α) ? ? ? ? 求: 的值. ?π ? ?π ? cos?2-α?· cos?2+α? ? ? ? ?
∵P(-3,4)是角 α 终边上的一点, 4 ∴tan α=- . 3 (-cos α)· (-cos α)· tan2α(-tan α) ∴原式= sin α· (-sin α) 4 =tan α=-3. 解

探究提高

在应用诱导公式时,需要先将角变形,有一定 ?π ? 3 π 技巧,如化 π+α 为 π+( +α)或 2π-?2-α?. 2 2 ? ?

3π 3π 变式训练 1 已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上, 4 4 且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为 π 3π 5π 7π A. B. C. D. 4 4 4 4
3 π cos4π -cos4 解析 tan θ= = =-1, 3 π sin4π sin4 3π 3π 又 sin 4 >0,cos 4 <0, ∴θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π), 7π ∴θ= 4 ,故选 D.

( D )

题型二

三角函数图象变换及函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

例2

π 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ) 2

的一段图象(如图所示),求其解析式.

思维启迪 先由图象求出函数的周期,从而求得 ω 的值, 再由关键点求 φ,最后将(0, 2)代入求 A 的值.
解 设函数的周期为 T, 3 7π π 3 则4T= 8 -8=4π, 2π ∴T=π,∴ω= =2. T π π π 又∵2×8+φ=2kπ+2 (k∈Z),∴φ=2kπ+4 (k∈Z), π π 又∵|φ|< ,∴φ= . 2 4

π ∴函数解析式为 y=Asin(2x+ ). 4 π 又图象过点(0, 2),∴Asin = 2, 4 2 ∴ A= 2,∴A=2. 2 π ∴所求函数的解析式为 y=2sin(2x+ ). 4

探究提高

(1)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象

求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低 点或特殊点求 A;由函数的周期确定 ω;由图象上的关键 点确定 φ. (2)求函数的周期时,注意以下规律:相邻的最高点与最低 点的横坐标之差的绝对值为半个周期,最高点(或最低点 ) 1 的横坐标与相邻零点差的绝对值为 个周期. 4

变式训练 2 (1)(2010· 天津)右图是函数 π 5π y =Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间[- , ] 6 6 上的图象.为了得到这个函数的图象,只 要将 y=sin x(x∈R)的图象上所有的点 ( ) π A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到 3 1 原来的 倍,纵坐标不变 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到 3 原来的 2 倍,纵坐标不变 π C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到 6 1 原来的 倍,纵坐标不变 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到 6 原来的 2 倍,纵坐标不变

5π π 解析 由图象可知 A=1,T= -(- )=π, 6 6 2π ∴ω= T =2. π 2π ∵图象过点( ,0),∴sin( +φ)=0, 3 3 2π ∴ +φ=π+2kπ,k∈Z, 3 π ∴φ= +2kπ,k∈Z. 3 π π ∴y=sin(2x+ +2kπ)=sin(2x+ ). 3 3 π 故将函数 y=sin x 先向左平移 个单位长度后,再把所得 3 1 各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,可得原函 2 数的图象.
答案 A

(2)(2011· 江苏)已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数, A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 6 f(0)的值是________ . 2 T 7π π π 解析 由题图知 A= 2, = - = , 4 12 3 4 2π ∴T=π,ω= =2. π π π ∴2× +φ=2kπ+π,∴φ=2kπ+ . 3 3 π 令 k=0,得 φ= . 3 ? π? ∴函数解析式为 f(x)= 2sin?2x+3?, ? ? π 6 ∴f(0)= 2sin = . 3 2

题型三

三角函数图象与性质的综合应用
2

3 例 3 已知函数 f(x)=2acos x+bsin xcos x- ,且 f(0) 2 ?π? 1 3 = ,f ?4 ?= . 2 ? ? 2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间; (3)函数 f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于 原点对称?

3 3 3 解 (1)由 f(0)= ,得 2a- = , 2 2 2 3 故 a= . 2 ?π? 1 3 b 3 1 ? ? 由 f 4 = ,得 + - = ,所以 b=1. 2 2 2 2 ? ? 2 3 2 可得 f(x)= 3cos x+sin xcos x- 2 ? π? 3 1 = cos 2x+ sin 2x=sin?2x+3?. 2 2 ? ? 2π 所以函数 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π 3π (2)由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 3 2 π 7π 得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 12 12

所以 f(x)的单调递减区间是 ?π ? 7π ? +kπ, +kπ? (k∈Z). 12 ?12 ? ? π? (3)因为 f(x)=sin2?x+6 ?,所以由奇函数 y=sin 2x 的图象 ? ? π 向左平移 个单位即得到 y=f(x)的图象,故函数 f(x)的图 6 π k π k 象向右平移 + π (k∈Z)个单位或向左平移 + π (k∈Z) 6 2 3 2 个单位后, 对应的函数即成为奇函数, 图象关于原点对称.

探究提高

(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判

断三角函数的奇偶性,往往是在定义域内,先化简三角函 数式, 尽量化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式, 然后再求解. (2)对于形如 y=asin ωx+bcos ωx 型的三角函数,要通过 a 2 2 引入辅助角化为 y= a +b sin(ωx+φ)(cos φ= 2 2, a +b b sin φ= 2 2)的形式来求. a +b

变式训练 3

已知函数 f(x)= 3sin(ωx+ φ)-cos(ωx+φ)

(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对 π 称轴间的距离为 . 2 ?π? (1)求 f?8 ?的值; ? ? π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到 6 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

(1)f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) ? 3 ? 1 ? =2? sin(ωx+φ)- cos(ωx+φ)? ? 2 ? 2 ? ? π? =2sin?ωx+φ-6 ?. ? ? 解 因为 f(x)为偶函数, 所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立, ? ? π? π? 因此 sin?-ωx+φ-6 ?=sin?ωx+φ-6 ?, ? ? ? ? ? ? π? π? 即-sin ωxcos?φ-6?+cos ωxsin?φ-6 ? ? ? ? ? ? ? π? π? =sin ωxcos?φ-6 ?+cos ωxsin?φ-6 ?, ? ? ? ? ? π? 整理得 sin ωxcos?φ-6 ?=0. ? ?

因为 ω>0,且 x∈R,所以

π π 又因为 0<φ<π,故 φ- = . 6 2 ? π? 所以 f(x)=2sin?ωx+2 ?=2cos ωx. ? ? 2π π 由题意得 ω =2·,所以 ω=2. 2 故 f(x)=2cos 2x. ?π? π ? ? 因此 f 8 =2cos = 2. 4 ? ?

? π? cos?φ-6 ?=0. ? ?

π (2)将 f(x)的图象向右平移 个单位后, 6 ? π? 得到 y=f ?x- 6?的图象, 再将所得图象横坐标伸长到原来 ? ? ?x π? 的 4 倍,纵坐标不变,得到 y=f ?4-6 ?的图象. ? ?

所以 g(x)=f
?x π? =2cos?2-3 ?. ? ?

?x π ? ? ?x π?? ? - ?=2cos?2? - ?? ?4 6 ? ? ?4 6 ??

x π 当 2kπ≤ - ≤2kπ+π (k∈Z), 2 3 2π 8π 即 4kπ+ ≤x≤4kπ+ (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3 因此 g(x)的单调递减区间为 ? 2π 8π? ?4kπ+ ,4kπ+ ? (k∈Z). 3 3? ?

规律方法总结
1.求函数 y=Asin(ωx+ φ)(或 y= Acos(ωx+φ),或 y= Atan(ωx+φ))的单调区间 (1)将 ω 化为正. (2)将 ωx+φ 看成一个整体,由三角函数的单调性求解. 2.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解 析式 ymax-ymin ymax+ymin (1)A= ,B= . 2 2 2π (2)由函数的周期 T 求 ω,ω= T . (3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求 φ.

3.函数 y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点 或最低点. 4.求三角函数式最值的方法 (1)将三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式, 进而 结合三角函数的性质求解. (2)将三角函数式化为关于 sin x,cos x 的二次函数的形 式,进而借助二次函数的性质求解.

名师押题我来做
1.关于函数 f(x)=sin 2x-cos 2x 有下列命题: π ①y=f(x)的周期为 π;②x= 是 y=f(x)的一条对称轴; 4 ?π ? ③?8 ,0?是 y=f(x)的一个对称中心;④将 y=f(x)的图象 ? ? π 向左平移 个单位,可得到 y= 2sin 2x 的图象,其中正 4 确命题的序号是 ______(把你认为正确命题的序号都写 上). 押题依据
本小题以多项选择的形式考查了三角函数的

性质、三角函数式的化简.重点突出,形式新颖,难度适 中,是高考的热点,故押此题.
押题级别 ★★★★★

解析

由 f(x)=sin 2x-cos 2x=

2π 得 T= =π,故①对; 2 ?π? π ? ? f 4 = 2sin ≠± 2,故②错; 4 ? ? ?π? f ?8 ?= 2sin 0=0,故③对; ? ? π y=f(x)的图象向左平移 个单位, 4 ? ? ? π? π ? π? ? ? ? 得 y= 2sin?2 x+4 ?- ?= 2sin?2x+ 4?, ? 4? ? ? ? ? 故④错.故填①③.
答案 ①③

? π? 2sin?2x-4 ?, ? ?

2.求函数

?π ? ? π? y=sin?3+4x?+cos?4x-6?的周期、单调区间及 ? ? ? ?

最大、最小值.
押题依据 将三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,再求 其周期、单调区间、最值等,一直是高考的热点考向,也 是三角函数的重要内容.本题考查内容重点突出,难度适 中,故押此题. 押题级别 ★★★★

?π ? ?π ? π 解 ∵?3+4x?+?6 -4x?= , ? ? ? ? 2 ? ?π ? π? ∴cos?4x-6 ?=cos?6 -4x? ? ? ? ? ?π ?π ?? ?π ? =cos? -?3+4x??=sin?3+4x?. ?2 ? ?? ? ? ? π? 2π π ? ? 4 x + ∴y=2sin 3 ?,周期 T= 4 = 2 . ?

π π π 当- +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数递增, 2 3 2 ? 5π kπ π kπ ? ∴函数的递增区间为?-24+ 2 ,24+ 2 ? (k∈Z). ? ? π π 3π 当 +2kπ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数递减, 2 3 2 ?π kπ 7π kπ? ∴函数的递减区间为?24+ 2 ,24 + 2 ? (k∈Z). ? ? π kπ 当 x= + (k∈Z)时,ymax=2; 24 2 5π kπ 当 x=- + (k∈Z)时,ymin=-2. 24 2

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