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高二9月月考试卷



秭归一中 2005—2006 学年度高二 9 月月考


时间:120 分钟






命题人:周宗圣

满分:150 分

第Ⅰ卷(选填题)
一、选择题(10×5=50 分,每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求

的, 将正确结论的代号填入后面答题卡中。 ) 1、 x >4 是

1 1 ? 的( x 4

) B、充要条件 D、既不充分又不必要条件

A、必要不充分条件 C、充分不必要条件 ( ) A、-3 3、不等式组 ? B、1

2 、如直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3 ,与 l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 互相垂直,则 a 的值为

C、0 或 ?

2 3


D、1 或-3

?x ? 3 y ? 6 ? 0 表示的平面区域是( ?x ? y ? 2 ? 0
y y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A、

B、

C、

D、

4.已知直线 2x+y-2=0 和 mx-y+1=0 的夹角为 A、

1 ? 或?3 3

B、 或 3

1 3

? ,那么 m 的值为( ) 4 1 1 C、 ? 或3 D 、 或?3 3 3

5、已知点 A、B 分别在 x 轴, y 轴上滑动,且 AB ? a ,则线段 AB 的中点的轨迹方程为 ( ) A、 x ? y ? a
2 2 2

B、 x ? y ?
2 2

a2 C、 x ? y ? a ? 0 4

D、 x ? y ? 2a ? 0

6、如果直线 l 将圆: x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 平分,且不过第四象限,则 l 的斜率取值范围是
2 2



) B、 (0,2) D、 (-∞,0)∪[2,+∞]

A、 [0,2] C、 (-∞,0)∪(2,+∞)

7、下列函数中,最小值是 4 的是( A、 y ? x ?

) B、 y ?

4 x

x2 ? 2 ?

2 x ?2
2

C、 y ? sin x ? 4 csc x, x ? (0,
2 2

?
2

]

D、 y ? 2(7 x ? 7 ? x ) ) )

8. 如 P(2,-1)为圆(x-1) +y = 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程( A、 x-y-3=0 B、 2x+y-3=0 B、 x ? y ? 0 C、 x+y-1=0 C、 x ? y ? 1 ? 0 D、 2x-y-5=0 9、已知点 P (a, b) 与 Q(b ? 1, a ? 1) 是一对轴对称点,则对称轴方程为( A、 x ? y ? 0

D、 x ? y ? 1 ? 0

10.已知圆的方程为 x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0。在 ?k / k ? R且k ? ?1? 中,k 任意取两 个不同的值时,两圆的位置关系是( A、 相交 B、外切 ) C、内切 D、内切或外切

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填写在答题卡的横线上) 11、两圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 10y ? 24 ? 0 , C2 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 的公共弦 长为____________。 12、 如能由 a ? b 推导出 a ?

1 1 b 应满足的充要条件是______________。 ?b? , 则a、 a b

13、过点(-2,-3) ,且在坐标轴上截距相等的直线方程为_________________。 14、下列四个命题: ①两直线重合的充要条件是这两条直线的斜率相等。 ②两直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0。 ③ 过 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0( AB ? 0) 外 一 点 M ( x0 , y0 ) , 与 l 平 行 的 直 线方 程是

A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0
(4) 是: 两 直 线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 平 行 的 充 要 条 件

A1 B1 A C ? 且 1 ? 1 A2 B2 A2 C 2
以上命题中,正确的有 (只填序号) 15、已知点 M(3,5) ,在直线 l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0 和 y 轴上各找一点 P、A ,当△PMA

的周长最小时,点 P,A 的坐标分别为__________________。 三、简答题(本大题共 6 小题,17 题、18 题、21 题各 13 分,其余各题 12 分,共计 75 分)要求写出解题过程。 16、 已知两条直线 l1 : (m ? 1) y ? x ? m ? 2 ? 0, l 2 : 2mx ? 4 y ? ?16 , 当且仅当 m 为何 值时, l1 与 l 2 有以下关系?①相交 ②平行 ③重合.

17.配制 A,B 两种药剂,需要甲乙两种原料,已知配 A 种药需要甲原料 3 毫克, 乙原料 5

毫克;配 B 种药需要甲原料 5 毫克, 乙原料 4 毫克,今有甲原料 20 毫克, 乙原料 25 毫克,若 A,B 两种药至少各配一剂,如何配才能使配的药剂数目最多? 18、设 a ? R ,解关于 x 的不等式 1 ?

1 ? a. x

19.已知圆 C: x2+y2-2ax-2(2a-1)y+4(a-1)=0 (a ? R ). (1)求证:圆 C 过定点. (2)当 a 变化时,求圆心的轨迹方程 (3)求面积最小的圆 C 的方程及最小面积. 20、已知 a ,b,c 都是正数, a +b+c=1,求证: a ? b ? c ? 3 (文科考生做). 设 a >0,b>0,2c> a +b.求证: (1)c2> a b; (2) c- c 2 ? ab < a <c+ c 2 ? ab (理科考生 做). 21.如图,两根带有滑道的铁杆,分别绕着定点 A 和 B( AB =2a)在平面内转动,并且转动时 两杆总保持交角为 45 ,求两杆交点 P 的轨迹方程.
?

P

A

B

高二 9 月月考数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 C 5 B 6 A 7 D 8 A 9 D 10 D

二、填空题 11、 2 5 14、②③ 三、解答题 16、解:当 m=-1 时,l1 : x ? 3 如 m≠-1 时,l1 : y ? ? 12、 ab ? 0 或 ab ? ?1 15、 A(0, ), P( , ) 13、 3x ? 2 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0

7 2

5 9 2 4

l2 :x ? 2y ? 8 ? 0

l1 , l 2 相交

(1 分) (2 分)

1 2?m x? , 1? m 1? m

1 l 2 : y ? ? mx ? 4 2

1 ? 1 ? m ? ?m ? ?2或m ? 1 ?1 ? m 2 ?? l1 ∥ l 2 ? ? ?m ? ?2 ? 2 ? m ? ?4 ? ?1 ? m

∴当且仅当 m=1 时, l1 ∥ l 2

(6 分)

1 ? 1 ? m ? ?m ? ?2或m ? 1 ?1 ? m 2 ?? , l1 、 l 2 重合 ? ? ?m ? ?2 ? 2 ? m ? ?4 ? ?1 ? m
∴当且仅当 m=-2 时, l1 、 l 2 重合 , 当 m≠1 且 m≠-2 时, l1 与 l 2 相交。 17、解:设今配 A、B 两种药剂分别为 x 、 y , 由 甲 乙 A 3 5 B 5 4 限额 ≤20 ≤25 (10 分) (12 分)

?3 x ? 5 y ? 20 ? 则数目 Q= x ? y ,且 x 、 y 满足 ?5 x ? 4 y ? 25 ? x ? 1, y ? 1, 且x、y ? z ?
如图:可行域应在四边形 ABCD 内部作 l0:x ? y ? 0
Y

,

(3 分)

,

(6 分)

将 l0: 平移致过定点 C( l ? )位置时,Q 有最大值,
5X+4Y=25

B C 3X+5Y=20 A O D
r?x? = -x

此时 C ?
Y=1 X

?3x ? 5 y ? 20 135 25 , ) C( 39 13 ?5 x ? 4 y ? 25
135 25 210 ? ? ? 5.4 ,调整 l ? 移 l ?? 时, 39 13 13
(11 分)

Q?

X=1

使 l ?? : x ? y ? 5

经检验(3,2),(4,1)均符合条件,故 A 配 3 剂,B 配 2 剂或 A 配 4 剂,B 配 1 剂. (13 分) 18、解:思路Ⅰ:公式法 若 a ? 0, x ? ? , (2 分)

? (1 ? a) x ? 1 ? 0.......... ...(1) ? 1 ? x 若a ? 0, 原不等式 ? ?a ? 1 ? ? a ? ? x ? (1 ? a) x ? 1 ? 0.......... ...(2) ? x ?
由(1)可得,x<0 或 x>

,

(6 分)

1 . 1? a

由(2)可得 如 0<a<1 时,0<x<

1 1 ;如 a=1 时,x>0;如 a>1 时,x< 或 x>0. 1? a 1? a

由(1)(2)可得: a ? 0 , x ? ? .

? 1 1 ? ?x? 0 ? a ? 1, x ? ?x ? , (8 分) 1? a ? ? 1? a

1? ? a ? 1 , x ? ?x x ? ? , 2? ? 1 1 ? ? a ? 1 , x ? ?x x ? 或x ? ?. 1? a 1? a? ?
思路Ⅱ:转化 当 a ? 0, x ? ? .

(10 分)

(13 分)

x ?1 当 a ? 0 原不等式 ? ? a 2 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? a 2 x 2 ( x ? 0) x
? (1 ? a 2 ) x 2 ? 2x ? 1 ? 0 ? [(1 ? a) x ? 1]{(1 ? a) x ? 1] ? 0 , x1 ?
若 a ? 1, x ?

2

1 1 , x2 ? 1? a 1? a

1 , 2

1 1 , ) 1? a 1? a 1 1 )?( ,?? ) . 若 a ? 1 时, x ? (?? , 1? a 1? a
若 0 ? a ? 1 时, x ? ( 19、解:①令

a ? 0, x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0.....( 1) ? ? ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0.....(3). 将(3)代入(1) 2 2 a ? 1, x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0....(2)? ?

2 ? x?? ? ?x ? 2 ? 5 得5 y 2 ? 6 y ? 0得? , ? ?y ? 0 ?y ? 6 ? 5 ?
2 6 2 ) 分别代入 x 2 ? y ? 2ax ? 2(2a ? 1) y ? 4(a ? 1) ? 0 中, 5 5 2 6 均恒成立,故曲线恒过定点 A(2,0),B(- , ). 5 5
将点 A (2, 0) , B (- , ②圆 c : ( x ? a) ? [ y ? (2a ? 1)] ? 5a ? 8a ? 5
2 2 2

设圆心( x, y )则 ?

?x ? a ? y ? 2 x ? 1, 故圆心轨迹是一条直线 ? y ? 2a ? 1

(8 分)

③由①可知:AB 应为公共弦,当圆的直径为 AB 时,其面积最小,则 AB 中点 D(

4 3 , ) , 5 5

1 1 2 6 3 5 , AB ? r ? (2 ? ) 2 ? ( ) 2 ? 2 2 5 5 5
∴方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

4 5

3 5

9 5

面积 S ? hr ?
2

9 ? 5

(12 分)

20、证明:(1)、因为 a 、 b 、 c 均为正数,欲证 a ? b ? c ? 3 , 只需证 ( a ? b ? c )2 ? 3 .

a ? b ? c ? 1 ,只需证 2 ab ? 2 ac ? 2 bc ? 2 .
∵ a ? b ? c ? 1 ? 2a ? 2b ? 2c ? 2 ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ac 所以原不等式成立。 (2)、 a ? 0, b ? 0,2c ? a ? b ? 0 ? 4c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? 4ab , ∴ c ? ab
2

c ? c2 ? ab ? a ? c ? c2 ? ab ? c2 ? ab ? a ? c ? c2 ? ab
? a ? c ? c 2 ? ab ? (a ? c)2 ? c2 ? ab ? a2 ? 2ac ? ab ? 0

? a(a ? 2c ? b) ? 0 ? (a ? b ? 2c) ? 0 ,由已知可知,原不等式成立。
(注:第(2)问证法较多) 21、解:以 AB 的中点 O 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立如图所示坐标系,(1 分) 则 A( ? a ,0) B( a ,0),设 P(x,y), (2 分) 依题意: 若 P 在 x 轴上方,则 PA 到 PB 的角为 45O ,

y y ? kPB ? kPA ? 1 , 故 1= x ? a x ? a ? x 2 ? ( y ? a) 2 ? 2a 2 ( y ? 0) , (6 分) y y 1 ? kPB ? kPA 1? ? x?a x?a
检验,k 不存在时, (?a,2a).(a,2a) 也满足①式。(7 分)
p(x,y) y

如 P 在 x 轴下方,PB 到 PA 的角为 45

O
B

y y ? kPA ? kPB tan 45O ? ? x?a x?a y y 1 ? kPA? kPB 1? ? x?a x?a 2 2 2 ? x ? ( y ? a) ? 2a .( y ? 0)
同理可验证,k 不存在时也成立。(12 分)

A

C

x

(-a,0)

(a,0)

由上可知,点轨迹方程应为 x2 ? ( y ? a)2 ? 2a2 ( y ? 0)或x2 ? ( y ? a)2 ? 2a2 ( y ? 0) . (13 分)



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