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函数的应用本章复习



第三章

函数的应用

3.1函数与方程
3.2函数模型及其应用

学法指导
1.由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对 应的一元二次方程为突破口,探究方程的根与函数 的零点的关系,体会数形结合的数学思想,从特殊 到一般的归纳思想.

2.能借助计算器用二分法求方程的近似解,
并了解这一数学思想,为学习算法做准备.

3.能够借助信息技术,利用函数图象及数据 表格,对几种常见增长类型的函数的增长状况进 行比较,初步体会它们的增长差异性. 4.感受运用函数概念建立模型的过程和方法, 体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科 中的重要性,进一步感受运用函数概念建立函数 模型的过程和方法,对给定的函数模型进行简单

的分析评价.

知识要点
3.1.1方程的根与零点
1.函数零点的定义 2.三个等价关系 3.函数的零点或相应方程的 根的存在性以及个数的判断

4.确定方程f(x)=0的根存在性的方法
⑴若是一元一次或一元二次方程,用公式法, 且确定了根的值. ⑵图象法:函数y=f(x)图象与x轴有交点

方程f(x)=0有实数根.

⑶利用函数性质: 若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的一条曲线,且f(a)· f(b)<0,则函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点. 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0

的根.

勘根定理

3.1.2用二分法求方程的近似解
1.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0
的函数y=f(x),通过不断把函数f(x)的零点所在区 间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进 而得到零点近似值的方法叫二分法. 2.概括利用二分法求函数f(x)零点的近似值 的步骤

1.确定区间[a,b],验证 f(a) ? f(b) < 0 ,给定 精确度 2.求区间(a,b)的中点c 3.计算f(c)

ε

(1)若f(c)=0,则c 就是函数的零点 (2)若 f(a) ? f(b) < 0 ,则令b=0(此零点 x0 ? (a,c) )

(3)若f(c) ? f(b) < 0,则令a=0(此时零点x0 ? (c,b) )

4.判断是否达到精确度 ε :即若a - b < ε ,则得 到零点 近似值a(或b);否则重复步骤2-4.

3.2.1几类不同增长的函数模型
确定函数模型 图象讨论模型 利用数据表格、函数

体会直线上升、指数

爆炸、对数增长等不同类型函数的含义。

3.2.2函数模型的应用实例
建立函数模型的全过程:
抽象概括

实际问题

数学模型

推理 演算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解

收集数据 画散点图
选择函数模型
待定系数法

求函数模型 验证 检验模型
好 不好

用函数模型解决实际问题

高考热点
1. 函数零点与方程根之间的关系;函数在某 区间上存在零点的判定方法。

2. 怎样选择数学模型分析解决实际问题,将 实际问题转化为函数模型。 3. 利用给定的函数模型或建立确定性质的函 数模型解决实际问题,将实际问题转化为数学模 型,并对给定的函数模型进行简单的分析评价。

本章易错点
1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的一条曲线: (1) f(a)· f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点; ?

(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)· f(b)<0.

?

2.指数函数y=ax ,对数函数y=logax ,幂函数 y=xn在区间(0,+∞)上衰减的快慢情况,注意分两种 情况(a>1与0<a<1). 3.在用已知的函数模型刻画实际问题时候,由 于实际问题的条件与已知模型的条件不同,所以 往往需要对模型进行修正.



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