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第1课时 均值不等式



3.2 均值不等式
第1课时 均值不等式

服务员:电子秤坏了, 但有一架臂长不等的 天平.我有个好办法!

王大妈:我 买这包糖.

称得a(kg)

称得b(kg)

称得a(kg)

服务员: 把两次称得的质量

平均

一下肯定是您所买的糖的质
量,绝对不会错的! 称得b(kg)

a?b 即: = 糖果真正质量m 2
嗯,我真聪明,这样的难题都难不

倒我!

王大妈:对不对,我 会不会吃亏?让我好 好想一想! 真后悔高 中的时候没读好书 啊??

哦,这也难不倒我老人家,凡事多 问是我几十年的经验!现在高中的 同学们正在学习不等式比较大小, 就麻烦他们吧!同学们,赶快帮我 想一想,告诉我结果!

结论:物体的真实质量为:
a?b . 2

ab

,而a,b的平均值为

思考:这两者之间的关
系如何?本节课我们来

学习此内容

1.了解算术平均值与几何平均值的定义及它们的关 系. 2.理解均值不等式的证明过程,会用多种方法证明 均值不等式.(重点) 3.能利用均值不等式证明简单不等式.(难点)

探究点:均值不等式 定理:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”)

证明:a 2

? b ? 2ab ? (a ? b)
2

2

当 a ? b时, (a ? b) 2 ? 0 ? ?? 2 当 a ? b时, (a ? b) ? 0 ?

a ? b ≥2ab
2 2

1.指出定理适用范围: a , b ? 2.强调取“=”的条件:

R

a?b

均值定理:
如果a, b∈R+,那么

a?b ≥ ab. 2

(当且仅当a = b时,等号成立)

注意: 1.均值不等式 a>0,b>0 (1)均值不等式成立的条件:____________. a=b 时取等号. (2)等号成立的条件:当且仅当______

2.算术平均值与几何平均值

a?b 设a>0,b>0,则a,b的算术平均值为_________, 2
几何平均值为______ ab ,均值定理可表述为: 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何 _________________________________________

平均值 _______.

这个不等式,在证明不等式、求函数的最 大值、最小值时有着广泛的应用,因此我 们也称它为基本不等式.

3.几个重要的不等式 2ab (1) a2+b2≥ _______(a,b∈R).

b a ? 2 (2) ≥____(a,b同号 ). a b a?b 2 ) (a,b∈R). (3) ab≤( 2

a 2 ? b2 a ? b 2 ≥( ) (a,b∈R). (4) 2 2

从形的角度来看,基本不等式具有特定的几何意义; 从数的角度来看,基本不等式揭示了“和”与“积” 这两种结构间的不等关系.

引申:把

a?b 看做两个正数a,b的等差中项, 2
ab 看做正数a,b的等比中项,

那么上面不等式可以叙述为: 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 还有没有其他的证明方法证明上面的基本不等式呢?

几何直观解释: 令正实数a,b为两条线段的长,用几何作图的方法, 作出长度为 a ? b 和 两条线段的长.

2

ab 的两条线段,然后比较这

具体作图如下:
(1)作线段AB=a+b,使AD=a,DB=b;

(2)以AB为直径作半圆O; (3)过D点作CD⊥AB于D,交半圆于点C;

(4)连接AC,BC,OC,则

a?b ? ab , 当a≠b时,OC>CD,即 2 当a=b时,OC=CD,即 a ? b ? ab . 2 所以 a ? b ? ab , 当且仅当a=b 时,不等式中的等号 2

a?b OC ? , 2

CD ? ab ,

成立.

C
a+b ab

2

注:“均值不等式的 几何解释,我们通常 将其说成“半径不小 于半弦”.

A

aO

D

b

B

例.已知ab>0,求证: b

a ? ≥ 2 ,并推导出 式中等号成立的条件. a b

b a 证明:因为ab>0,所以 ? 0, ? 0 a b 根据均值不等式得
b a b a ? ≥ 2 ? ? 2, a b a b
b a 当且仅当 a ? b





b a ? ≥ 2. a b

,即a2=b2时式中等号成立,

因为ab>0,即a,b同号,所以式中等号成立
的条件是a=b.

变式练习(1)证明:a4+b4+c4+d4≥4abcd. 1 1 (2)已知a>0,b>0,a+b=1,求证: ? ≥4. a b 证明:(1)a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2

=2(a2b2+c2d2)≥2·2abcd=4abcd.
当且仅当a=b=c=d时,式中等号成立

原不等式得证.

(2)因为a>0,b>0,a+b=1,
1 1 a+b a+b b a 所以 + = + = 2+ + a b a b a b b a ≥2 + 2 ? = 4. a b
当且仅当
b>0,所以式中等号成立的条件是 a ? b ? 1 . 2
b a ? , 即a2=b2时式中等号成立.因为a>0, a b

所以原不等式成立.

1.下列结论中不正确的是

( B )

1 A. a ? 0时,a ? ≥2 a
C.a2+b2≥2ab

b a B. ? ≥2 a b 2 ( a ? b ) D. a 2 ? b 2≥ 2

2.若a>b>0,则下列不等式中总成立的是( C )

2ab a ? b A. < < ab a?b 2 a ? b 2ab B. ? ? ab 2 a?b a?b 2ab C. > ab> 2 a?b 2ab a ? b D. ab< < a?b 2

3.已知x>0,y>0,z>0.

y z x z x y 求证: ( + )( + )( + ) ≥8. x x y y z z

证明:因为x>0,y>0,z>0,
y z 2 yz x z 2 xz 所以 + ≥ > 0, + ≥ > 0, x x x y y y x y 2 xy + ≥ > 0, z z z y z x z x y 所以( + )( + )( + ) x x y y z z 8 yz xz xy ≥ = 8. xyz

当且仅当x=y=z时等号成立.

应用均值不等式需注意以下三点: (1)各项或各因式为正. (2)和或积为定值. (3)各项或各因式能取得相等的值,必要时做 适当变形,以满足上述前提,即“一正二定三 相等”.

预备十二分的力量,才能希望有十分 的成功. ——张太雷



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