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3.1.2数系的扩充和复数的概念(二)



3.1数系的扩充和 复数的概念(二)

? 复习引入

我们知道,实数与数轴上的点一一 对应,因此,实数可用数轴上的点来表 示.
实数 (数 )
一一对应

数轴上的点 (形 )

类比实数的几何意义,复数的几何意 义是什么呢?

学习目标: 1、理解复数的

几何意义。 2、能用复数的几何意义解决相 关问题。

自主学习: 用两分钟默读课本52页的第一段 和第二段。

1、借用什么图形来描述复数?
2、用什么在图形上刻画复数?

? 讲授新课 复平面,复数与点的一一对应:

复数 z=a+bi 可用点 Z(a, b) 来表示. 这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫复平面,x轴叫做 y 实轴,y轴叫做虚轴. Z:a+bi 实轴上的点都表示实数; b
除了原点外,虚轴上的 点都表示纯虚数.
O

a

x

? 讲授新课 例如 复平面内点的原点 (0,0)表示 实数0, 实轴上的点 (2,0)表示 实数2, 虚轴上的点 (0,-1)表示 纯虚数-1, y 点 (-2 ,3)表示 Z:a+bi b 复数 -2+3i.
O

a

x

? 讲授新课 每一个复数,有复平面内唯一的一个 点和它对应;反过来,复平面内的每一个 点,有唯一的复数和它对应.

复数集C和复平面内所有的点所组成 的集合是一一对应的,即 复数 z=a+bi
一一对应

复平面内的 点Z(a, b)

例1.辨析: 1.下列命题中的假命题是(D) (A)在复平面内,对应于实数的点都在实 轴上; (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在 虚轴上; (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复 数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。

2.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是 A 纯虚数”的( )。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 3.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所 C 对应的点在虚轴上”的( )。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件

? 新课探究用三分钟讨论下面问题 1、平面直角坐标系中,点 A 、点 B ??? ? 与向量 AB 有怎样的联系? 2、复数z=a+bi能否对应一个点坐标? ??? ? 3、任何一个平面向量 AB ,都可以用一个 有序实数对表示,我们需要借助什么 y 才能用向量表示 Z:a+bi 复数z=a+bi? b a x

O

? 讲授新课

设复平面内的点Z表示复数z=a+bi, 连结OZ,显然向量 OZ 由点Z唯一确定; 反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由 向量 OZ 唯一确定. y 因此,复数集C与 Z:a+bi 复平面内的向量所成的 b 集合也是一一对应的 (实数0与零向量对应), 即 O a x

? 讲授新课 复数 z=a+bi 一一对应 平面向量 OZ

y
练习: 课本55页A组 第四题(1)、(2) b Z:a+bi

O

a

x

例2. 实数m分别取什么数值时,复数 z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是: ①对应点在x轴上方②对应点在直线x+y+5=0上.

解:(1)复数z对应点在x轴上方; 须满足由m2-2m-15>0, 得知m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方 ( 2)复数z对应点在直线x+y+5=0上. 由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0, 得知: m= -3+ 41 或m= -3- 41
4 4

z的对应点在直线x+y+5=0上.

? 讲授新课

?复数的模
向量 OZ 的模r叫做复数z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么 z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a| (就是a的绝对值).由模的定义可知:

|z|=|a+bi|=r= a 2 ? b 2 (r≥0,r∈R).

例3 求下列复数的模:
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考: (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个? (2)满足|z|=5(z∈C)的复数,这些 复 数对应的点在复平面上构成 怎样的图形?
小结

y

满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形? –5 设z=x+yi(x,y∈R)
| z |? x ? y ? 5
2 2

5

5 O x

即:x ? y ? 25
2 2

–5

满足|z|=5的复数, 在以原点为圆心,半径为5的圆上。

复数的几何意义
复数z=a+bi
一一对应

一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应

??? ? 平面向量 OZ

??? ? 说成向量 OZ ,并且规定,

我们常把复数z=a+bi说成点Z或 相等的向量表示同一个复数.

? 讲授新课 ? 共轭复数 当两个复数实部相等,虚部互为相 反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.

z1=a+bi

z2= a - bi

若z1,z2是共轭复数,那么在复平面 内,它们所对应的点有怎样的位置关系?

关于x轴对称

例4. 若复数 z1 ? 1 ? 2i , z2 ? 2 ? 3i , z3 ? 3 ? 2i , z4 ? ?2 ? i 在复平面内
对应的点分别为 z1 , z2 , z3 , z4 , 试判 断这4个点是否在同一个圆上?并证 明你的结论.
解: z1 = 1 ? 2 = 5,
2 2 2 2

z 2 = ( 2) ? ( 3)= 5,
2 2 2 2

z 3 = ( 3) ? (- 2)= 5, z 4 = (-2) ? 1 = 5, 四个复数在复平面内的对应点在以原点为圆心, 5为半径的圆上,即公圆。

课堂练习 1.说出图中复平面内各点所表示的复数 y (每个小正方格 子边长为1):
G C F O D H B

A
E

x

课堂练习 2. 在复平面内,描出下列各复数的点: y ⑴ 2+5i; ⑴ ⑵ -3+2i; ⑶ 2-4i; ⑷-3-i



O




⑸ 5;
⑹ -3i.

x



课堂练习
1. 下列命题,其中正确的个数是( B ) (1)互为共轭复数的两个复数的模相等 (2)模相等的两个复数互为共轭复数 (3)若与复数z=a+bi对应的向量在虚轴 上,则a=0,b≠0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

课堂练习

2 2. 当 ? m ? 1时,复数z ? (3m ? 2) ? (m ? 1)i 3 在复平面上对应的点位于 ( D )
A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

课堂练习

3. 设 z ? 3 ? 2i,z ? z 在复平面内对应 的点分别为A和B,O为坐标原点,则 ?AOB的面积为

6

.

课堂练习
4. 设z=(2t2 +5t-3)-(t2+2t+2)i(t∈R) 则( C )

A. z对应的点在第一象限 B. z一定不为纯虚数 C. z对应的点在实轴下方 D. z一定为实数

课堂练习
5. 设z=log2(m2-3m-3)+ilog2(m-3)

(m∈R),若z对应的点在x-2y+1=0
上,则m=______________________. 15

6. 若复数z满足|z-3i|=5,求|z+2| 的最大值和最小值.

解:复数|z-3i|=5表示复平面上到(0,3) 距离为5的点,所构成的图形为 以(0,3)为圆心,5为半径的圆 |z+2|表示复平面上点到(-2,0)的距离, 又因为圆心到(-2,0)的距离为√((-2)?+3?)=√13 所以|z+2|最大值加上一个半径,为√13+5 最小值减去一个半径,为√13-5

? 课后作业

自主学习丛书第43页 《复数的几何意义》
书面作业: 课本55页A组第五题



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