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江西省九江一中2013-2014学年高一上学期期中考试 数学



九江一中 2013—2014 年度高一上学期期中考试 数学试题
命题人:高一数学备课组 审题人:江民杰

第Ⅰ卷

(选择题

共 50 分)

一、 选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 M ?

{?1,0,1} , N ? ?? 2,0,1?,则 M ? N =( )
A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{1} ) C. (5, ??) D. [5, ??) ( ) D.{0}

2.函数 y ? lg( x ? 5) 的的定义域是( A. (??,5] B. (??,5)

3.下列从集合 A 到集合 B 的对应关系 f 是映射的是

A
1 2 3

B
4 3 5 A
x

A
1 2 3 4 B
x

B

A
1

B
3 4 5

A
1 2 3 4 D ) .

B
1 2 3 4 e

5 2 6 C

4.若函数 f (3 ? 2) ? 3 ? x ? 2 ,则 f (3) 的值是( A.3
x

B.6

C.17 )

D.32

5. 函数 f ?x ? ? e ? x ? 2 的零点所在的一个区间是( A. ?? 2,?1? B. ?? 1,0? C. ?0,1?

D. ?1,2 ?

6.浔阳中心城区现有绿化面积为 1000 hm2,计划每年增长 4%,经过 x(x∈N*)年,绿化面 积为 y hm2,则 x,y 间的函数关系式为 ( A. y=1000x
4%

)

B.y=1000x4% (x∈N*) D.y=1000(1+4%)x (x∈N*) ( )

C. y=1000(1+4%)x
2

7. 已知函数 y ? ? x ? 4ax 在 [1,3] 是单调递减的, 则实数 a 的取值范围为 A、 ( ??, ]

1 2

B、 (??,1)

C、 [ , ]

1 3 2 2

D、 [ , ??)

3 2

1

8.设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? lg( x ? 1) ? a ( a 为常数) ,
x

则 f (?1) ? (



A. lg 2 ? 2 ? a

B.2 ? a ? lg 2

C. lg 2 ? 1


D.1 ? lg 2

9 .函数 f ? x ? ? lg x ? 1 的大致图象是(

?

?

2 10.设集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合, B ? {x | x ? ax ? 1 ? 0, a ? 0} 若 A ? B 中恰含
2

?

?

有一个整数,则实数 a 的取值范围是 ( A. (0, )



3 2

B. [ , )

3 8 2 3

C. [ ,?? )

3 2

D. (2,??)

第Ⅱ卷

(非选择题

共 90 分)

二. 填空题 (每小题 5 分, 25 分 ,请将答案填在答题卷的相应位置的 共 横线上)
11.若集合 M = x x ? 3 x ? 2 ? 0 , U = ?0,1,2,3,4,5,?, CU M =
2

?

?

? x 2 ? 1, x ? 1 ? , 则f [ f (1)] ? __________ 12. 设函数f ( x) ? ? 2 ? ,x ?1 ?x
13.当 x∈(0,+∞)时,幂函数 则实数 m 的值为 14.函数 y= log 1 ( x ? 5 x ? 6) 的单调增区间为
2 2

f ( x) ? (m 2 ? m ? 1) x ?5m?3 为减函数,

1 ? ?x ? , x ? 0 2 15. 已知函数 f ( x) ? ? ,则方程 f (2 x ? x) ? a ( a ? 2 )的根 x ? x 3 ? 3, x ? 0 ?
的个数可能为 ①1 个 ②2 个 (将正确命题的序号全部填入) ③3 个 ④ 4个 ⑤5 个 ⑥6 个

2

三 解答题: (共 75 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明或演算步骤)
16. (本小题满分 12 分,每小题 6 分) (1)计算: (3 2 ) ?
6

7 25 2 ? ( ) ? (?2013 ) 0 5 49

1

log (2)已知 log 7 3 ? a, 7 4 ? b,用a, b表示 log 49 48.

17.(本小题满分 12 分) 若集合 A ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 , B ? x ax ? 6 ? 0
2

?

?

?

?

(1) 若 B ? ? ,求实数 a 的值; (2) 若 A ? B ? A ,求实数 a 组成的集合 C.

18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

ax 2 ? 1 (a, b ? Z ? ) 满足 f (1) ? 2, f (2) ? 3. bx

(1)求 a,b 的值; (2)当 x ?

1 时,求出 f (x) 的值域 2

3

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? n 有两个零点 ? 1与 3
2

(1)求出函数 f (x) 的解析式,并指出函数 f (x) 的单调递增区间 (2)若 g ( x) ? f ( x ) 对任意 x1 , x2 ? ?t , t ? 1?, ,且 x1 ? x2 ,都有 立,试求实数 t 的取值范围。

g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? 0成 x1 ? x 2

20. (本小题满分13分) 已知 2 ? 256 且 log 2 x ?
x

1 , 2
x ? log 2 x 的最大值和最小值. 2

(1)求 x 的取值范围 (2)求函数 f ( x) ? log 2

2

21. (本小题满分 14 分)

a 2 x ? (t ? 1) (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数 设函数 f ( x) ? ax
(1)求 t 的值 (2)若 f (1) ? 0 ,求使不等式 f (kx ? x ) ? f ( x ? 1) ? 0 对一切 x ? R 恒成立的实数 k
2

的取值范围 ( 3 ) 若 函 数 f (x) 的 反 函 数 过 点 ( ,1) , 是 否 存 在 正 数

3 2

m

,且 m ?1 使函数

g ( x) ? log m [a 2 x ? a ?2 x ? mf ( x)] 在 [1, log 2 3] 上的最大值为 0 , 若存在求出 m 的
值,若不存在请说明理由.

4

: ………………………………………………装…………………………………订………………………………线…………………………………………

九江一中 2013—2014 年度高一上学期期中考试 数学答案
一:选择题 题号 答案 二:填空题 11: {0,3,4,5} 12: 1 13: 2 14: (??,2) 15: ④ ⑤ ⑥ 1 B 2 C 3 D 4 A 5 C 6 D 7 A 8 C 9 B 10 B

学号:

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

7 25 0 16. (1)计算: ( 2 ) ? ? ( ) 2 ? (?2013 ) 5 49
3 6

1

log (2)已知 log 7 3 ? a, 7 4 ? b,用a, b表示 log 49 48.
分析得(1) :原式=2 ………6 分(2) log 49 48 ? :

a ? 2b ……12 分 2

姓名:

17.若集合 A ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 , B ? x ax ? 6 ? 0
2

?

?

?

?

(1)若 B ? ? ,求实数 a 的值; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 组成的集合 C. 分析得: (1) a ? 0 ……………6 分(2) C ? {0,

3 ,?3} ………12 分(若漏了空集扣 2 分) 2

ax 2 ? 1 (a, b ? Z ? ) 满足 f (1) ? 2, f (2) ? 3. 18. 设函数 f ( x) ? bx
(1)求 a,b 的值; (2)当 x ? 解:(1)∵f(1)=1,f(2)<3,

1 时,求出 f (x) 的值域 2

高一(



?a+1=2, b ∴? 4a+1 ? 2b <3

………………………………………3 分

?a=2b-1, ? 2b-3 3 ??4a+1 ? <0,∴0<b< .又 a,b∈Z,∴a=b=1.……………6 分 2b 2 ? 2b <3 ?
(2)由(1)得 f ( x) ? x ?

1 ………………………………………8 分 x

5

x?

1 时 f ( x) ? [2,??) ………………………………………12 分 2

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? mx ? n 有两个零点 ? 1与 3
2

(1)求出函数 f (x) 的解析式,并指出函数 f (x) 的单调递增区间 (2)若 g ( x) ? f ( x ) 对任意 x1 , x2 ? ?t , t ? 1?, ,且 x1 ? x2 ,都有 立,试求实数 t 的取值范围。 解: (1)

g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? 0成 x1 ? x 2

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,………………………………………3 分

增区间为 [1,??) ………………………………………6 分 (2) t ? ?1或t ? 1 ………………………………………12 分(若漏了 t ? 1 扣 2 分) 20. (本小题满分13分) 已知 2 ? 256 且 log 2 x ?
x

1 , 2
x ? log 2 x 的最大值和最小值. 2

(1)求 x 的取值范围 (2)求函数 f ( x) ? log 2 分析得: (1) 2 ? 256
x

2

? x?8

………………………………………3分

log 2 x ?

1 ? x ? 2 ………………………………………6分 2

2 ? x ? 8 ………………………………………7分
(2) f ( x) ? (log 2 x ? 1)(log 2 x ? 2) 其中 2 ? x ? 8 …………………………10分

1 f max ( x) ? 2 f min ( x) ? ? ………………………………………13分 4
21. (本小题满分 14 分)

a 2 x ? (t ? 1) (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数 设函数 f ( x) ? ax
(1)求 t 的值 (2)若 f (1) ? 0 ,求使不等式 f (kx ? x ) ? f ( x ? 1) ? 0 对一切 x ? R 恒成立的实数 k
2

的取值范围 ( 3 ) 若 函 数 f (x) 的 反 函 数 过 点 ( ,1) , 是 否 存 在 正 数

3 2

m

,且 m ?1 使函数

g ( x) ? log m [a 2 x ? a ?2 x ? mf ( x)] 在 [1, log 2 3] 上的最大值为 0 , 若存在求出 m 的
6

值,若不存在请说明理由. 分析得 (1) t ? 2 …………………………………………4 分 (2) ? 3 ? k ? 1…………………………………………8 分 (3)假设存在正数 m ,且 m ? 1 符合题意 由函数 f (x) 的反函数过点 ( ,1) 得 a ? 2 则 g ( x) ? log m [a
2x

3 2

? a ?2 x ? mf ( x)] = log m [2 2 x ? 2 ?2 x ? m(2 x ? 2 ? x )]

? log m [( 2 x ? 2 ? x ) 2 ? m(2 x ? 2 ? x ) ? 2]
设t ? 2 ? 2
x ?x

则 (2 ? 2 ) ? m(2 ? 2 ) ? 2 ? t ? mt ? 2
x x 2

?x 2

?x

3 8 ? x ? [1, log 2 3] ?t ? [ , ] 记 h(t ) ? t 2 ? mt ? 2 …………………………………10 分 2 3

?函数 g ( x) ? log m [a 2 x ? a ?2 x ? mf ( x)] 在 [1, log 2 3] 上的最大值为 0
3 8 ?(ⅰ)若 0 ? m ? 1 时,则函数 h(t ) ? t 2 ? mt ? 2 在 [ , ] 有最小值为 1 2 3 m 1 3 17 3 13 由于对称轴 t ? ? ? hmin (t ) ? h( ) ? ? m ? 1 ? m ? ,不合题意 2 2 2 4 2 6 3 8 2 (ⅱ)若 m ? 1 时,则函数 h(t ) ? t ? mt ? 2 ? 0 在 [ , ] 上恒成立,且最大值为 1,最小 2 3
值大于 0

25 ? 1 m 25 ? ? 2 ? 2 ? 12 ?1 ? m ? 6 73 ? ? ?? ?m? ①? 8 24 ?h(t ) ?m ? 73 max ? h( ) ? 1 ? ? 3 24 ? ?
又此时

m 73 ? 3 8 ? 73 ? ? ? , ? , 又h(t ) min ? h( ) ? 0 故 g (x) 在 [1, log 2 3] 无意义 2 48 ? 2 3 ? 48

所以 m ?

73 应舍去 ……………………………………………………12 分 24

25 ? ? m 25 ?m ? 6 ? 2 ? 12 ? ? ?? ? m 无解 ②? 3 ?h(t ) ?m ? 13 max ? h( ) ? 1 ? ? 2 6 ? ?
综上所述: 故不存在正数 m ,使函数 g ( x) ? log m [a
2x

? a ?2 x ? mf ( x)] 在 [1, log 2 3] 上的

最大值为 0 ……………………………………………………14 分

7



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