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江苏省无锡市2016届高三上学期期中考试数学试卷(缺附加题) Word版含答案



无锡市 2015 年秋学期高三期中考试试卷

数 学
命题单位:江阴市教研室 制卷单位:无锡市教育科学研究院 注意事项及说明: 本卷考试时间为 120 分钟, 全卷满分为 160 分. 一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上 . ) . 1.已知集合 M ? x 0 ? x

? 2 , N ? x x ? 1 ,则 M ? N = 2.设

?

?

?

?

▲ .



3?i ? a+bi(i 为虚数单位,a,b∈R) ,则 a+b= 1? i



3.若函数 y ?

4x ? a 的图象关于原点对称,则实数 a 等于 2x





4.已知角 ? 的终边经过点 P ?10, m ? ,且 tan ? ? ?

4 ,则 m 的值为 5

▲ ▲

. .

5.某人抛掷质地均匀的骰子,其抛掷两次的数字之和为 7 的概率是 6.执行如图所示的程序框图,则输出的 z 的值是 开始 ▲ .

x←1, y←2

z← xy

z<20 是 x← y



输出 z

y← z

结束

7.已知函数 f ( x) ? ?

?2? x , x ? ? 1, ?3x ? 3, x ? ?1,

则满足 f (a ) ? 4 的实数 a 的取值范围是





8.如图,在△ABC 中,

??? ? ??? ? ??? ? CD AE 1 ? ? ,若 DE ? ?CA ? ?CB ,则 ? ? ? ? DA EB 2
A E D





B

C

? x ? 2 y ? 4, ? 9.设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? 2 …0, ?





10.已知数列 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,若 a6 是 a7 和 a8 的等比中项,则 S6 =___ ▲ ___. 11. 若函数 f ( x) ? ln x ? a 则实数 m 的最大值等于 12.若 ? ? ?

(a ? R) 满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) , 且 f ( x) 在 ? ??, m? 单调递减,
▲ . ▲ .

?? ? , ? ? ,且 3cos 2? ? sin( ? ? ? ) ,则 sin 2? 的值为 4 ?2 ?

13.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x)= ?

x ? 0, ? log 2 (3 ? x), 则 f (11)= ? f ( x ?1) ? f ( x ? 2), x ? 0,
x





14.已知函数 f ( x) ? 2 x2ex 与 g ( x) ? 3xe ? a 的图象有且只有两个交点,则实数 f ( x) 的取 值范围是 ▲ .

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0 , 0 ? ? ? 两条对称轴间的距离为

?
2

)的图象经过点 0, 3 ,且相邻

?

?

? . 2

(1)求函数 f ( x) 的单调增区间; (2) 若将 f ( x) 的图象向左平移 上的最大值和最小值.

? ? ?? 个单位, 得到函数 g ( x) 的图象, 求函数 g ( x) 在区间 ? 0, ? 4 ? 2?

16. (本小题满分 14 分)

如图,在五面体 SABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,AD⊥平面 SAB. (1)若 SA=3,AB=4,SB=5,求证:SA⊥AC; D (2)若点 E 是 SB 的中点,求证:SD∥平面 ACE.

C

A
17. (本小题满分 14 分)

B E

S

? ? ? ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知向量 a ? (2,0),b ? (0, 1).设向量 x ? a ? ?1 ? cos ? ? b ,
? ? ? ? ? y ? ?ka ? sin2 ? ? b ,其中 0 ? ? ? . 2 ? ? ? π (1)若 x ∥ y ,且 ? ? ,求实数 k 的值; 3 ? ? ? (2)若 x ⊥ y ,求实数 k 的最大值,并求取最大值时 cos ? 的值.

18. (本小题满分 16 分) 如图, 某自行车手从 O 点出发, 沿折线 O–A–B–O 匀速骑行, 其中点 A 位于点 O 南偏东 45
?

且与点 O 相距 20 2 千米.该车手于上午 8 点整到达点 A,8 点 20 分骑至点 C,其中点 C 位

(45 ? ?) 于点 O 南偏东 (其中 sin ? ?
?

1 ? ? , 0 ? ? ? 90 )且与点 O 相距 5 13 千米(假 26

设所有路面及观测点都在同一水平面上) . (1)求该自行车手的骑行速度; (2)若点 O 正西方向 27.5 千米处有个气象观测站 E,假定以点 E 为中心的 3.5 千米范围 内有长时间的持续强降雨.试问:该自行车手会不会进入降雨区,并说明理由. 北
B


E O

C A

19. (本小题满分 16 分)

已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 是正项数列, ?an ? 为等差数列, ?bn ? 为等比数列, ?bn ? 的前 n 项和为

Sn ? n ? N ? ? ,且 a1 =b1 ? 1, a2 =b2 +1, a3 =b3 —2.
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)令 cn ? (3)设 d n ?

bn ?1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ; S n ? S n ?1

an 2 ,若 d n ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围. bn ?1

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ? x ? ? x ? m ln x ?1,其中 n ?N , n ≥2,且 m ?R.
n
?

(1)当 n ? 2 , m ? ?1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2) 当 n ? 2 时, 令 g ? x ? ? f ? x ? ? 2x ? 2 , 若函数 g ? x ? 有两个极值点 x1 ,x2 , 且 x1 ? x2 , 求 g ? x2 ? 的取值范围; (3)当 m ? ?1 时,试求函数 f ? x ? 的零点个数,并证明你的结论.

无锡市 2015 年秋学期高三期中考试试卷

数学参考答案

一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上 . ) . 1. x 1 ? x ? 2

?

?
? ? 1? ?

2. 1

3. ?1

4.? 8

5.

1 6

6.32

7. ? ?2, ? 3

8.

2 3

9.3

10.-38

11.3

17 12. ? 18

13. 2

? ?3 ? 14. ? ?e,0? ? ?9e 2 ? ? ?

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15. (本小题满分 14 分) 解:(1) ∵ f ? x ? 的图象过点 0, 3 ,∴ sin ? ? 又0 ?? ?

?

?

?
2

,∴ ? ?

?
3

3 , 2
…………………3 分



又∵ 相邻两条对称轴间的距离为

? ,∴周期为 ? , 2
…………………5 分



2?

?? ? ? ? , ? ? 2 ,∴ f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? . ? 3? ?
?
? 2k? 剟2 x ?

令?

?
3

?
2

2 5? ? k? 剟 x 则? 12

? 2k? ,其中 k ? Z ,

?

12

? k? , 其中 k ? Z ,

∴函数 f ? x ? 的单调增区间是 ? ? (2)由已知,得: g ? x ? ? f ? x ? 即 g ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ? 5? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z .………………7 分 12 ? 12 ?
? ? ?? ?? ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? , 4? 4 ? 3? ? ?

? ?

??

? ?

?
2

?

??

? =2cos(2 x ? ) . 3? 3

?

…………………9 分

? ? 4? ? ?? , ? , 3 ?3 3 ? ? ? ?? ? 故当 2 x ? ? ? 即 x ? 时, g ? x ?min ? g ? ? ? ?2 ; 3 3 ?3?
a ? b ? c ? 3 ,∴ 2 x ?
当 2x ?

?

…………………11 分

?
3

?

?
3

即 x ? 0 时, g ? x ?max ? g ?

?? ? ? ?1. ?3?

…………………14 分

16. (本小题满分 14 分) 证明: (1) 因为 AD⊥平面 SAB, SA ? 平面 SAB,所以 SA⊥AD, 又 SA=3,AB=4,SB=5, 所以 SA ? AB ? SB ,即 SA⊥AB,
2 2 2

…………………2 分

…………………4 分

又 AB、AD ? 平面 ABCD,AB ? AD=A,所以 SA⊥平面 ABCD, 又 AC ? 平面 ABCD, 所以 SA⊥AC. (2)连结 BD,设 AC ? BD=O,连接 OE, 因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 BO=OD, 又 BE=ES,所以 SD∥OE, 又 SD ? 平面 ACE,OE ? 平面 ACE, 所以 SD∥平面 ACE. 17. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 ? ? ………………………9 分 …………………11 分 …………………14 分 …………………7 分

? ? 3? ? ? ? π 3? 时, x ? ? 2, ? , y ? ? ?2k , ? , 3 4? ? 2? ?

…………………2 分

因为 x ∥ y ,所以 2 ? 所以 k ? ?

?

? ?

3 3 ? ?2 k ? , 4 2
…………………6 分

1 . 2 ? ? ? 2 (2)依题意, x ? ? 2,1 ? cos? ? , y ? ? ?2k ,sin ? ? .
因为 x ⊥ y , 所以 4k ? sin 令 y ? sin
2 2

?

? ?

? ?1 ? cos ? ? ,即 k ? sin 2 ? ?1 ? cos ? ? .

1 4

………………8 分

? ?1? cos? ? ,即 y ? ?1 ? cos 2 ? ? ?1 ? cos ? ? ,其中 0 ? ? ?

?
2

.

令 cos? ? t ? ? 0,1? ,则 y ? ?t 3 ? t 2 ? t ? 1 , t ? ? 0,1? . 则 y? ? ?3t ? 2t ? 1 ? ? ?t ? 1??3t ?1? .
2

令 y ? ? 0 ,则 t ?

1 , 3

…………………10 分

∴当 t ? ? 0, ? 时, y ? ? 0 ,即 y ? ?t 3 ? t 2 ? t ? 1在 ? 0, ? 上单调递增;

? 1? ? 3?

? ?

1? 3?

当 t ? ? ,1? 时, y? ? 0 ,即 y ? ?t 3 ? t 2 ? t ? 1 在 ? ,1? 上单调递减;

?1 ? ?3 ?

?1 ? ?3 ?

故当 t ?

1 8 1 32 ,即 cos ? ? 时, ymax ? ,此时实数 k 取最大值 .…………14 分 3 27 3 27

18. (本小题满分 16 分) 解: (1)由题意,知:OA=20 2 ,OC=5 13 ,∠AOC= ? , sin ? ?

1 . 26

由于 0? ? ? ? 90? ,所以 cos ? = 1 ? (

1 2 5 26 . ) ? 26 26

…………………3 分

由余弦定理,得 AC= OA2 ? OC2 ? 2OA ? OC ? cos? ? 5 5 . 所以该自行车手的行驶速度为

…………………5 分

5 5 . ? 15 5 (千米/小时) 1 3

…………………6 分

(2)如图,设直线 OE 与 AB 相交 B 于点 M. 在△AOC 中, 由余弦定理, 得:

OA2 ? AC 2 ? OC 2 cos ?OAC ? 2OC ?AC

H E M

O

3 10 202 ? 2+52 ? 5 ? 52 ?13 , = = 10 2 ? 20 2 ? 5 5
从而 sin ?OAC ? 1 ? cos2 ?OAC = 1 ? 在△AOM 中,由正弦定理,得:

C

A

9 10 . ? 10 10

…………………9 分

10 20 2 ? OA sin ?OAM 10 = ? 20 . OM ? ? sin(45 ? ?OAM ) 2 3 10 10 ( ) 2 10 10
过点 E 作 EH ? AB 于点 H,则 EH 为点 E 到直线 AB 的距离. 在 Rt△EHM 中,

…………………12 分

由于 OE=27.5>40 = OM,所以点 M 位于点 O 和点 E 之间,且 ME=OE-OM=7.5.

EH ? EM ? sin ?EMH =EM ? sin ?EMH

=EM ? sin(45? ? ?OAC) ? 7.5 ?
所以该自行车手会进入降雨区. 19. (本小题满分 16 分)

5 3 5 ? ? 3.5 . 5 2
…………………16 分

解: (1)设公差为 d ,公比为 q ,由已知得 a1 =b1 ? 1, d =q , 2d =q ? 3 ,
2

解之得: d ? q ? 3 , an ? 3n ? 2 .又因 bn >0,故 bn ? 3n?1 .

…………………4 分

(2) Sn ?

b1 ?1 ? q n ? 1? q

?

1 ? 3n 3n ? 1 , ? 1? 3 2
…………………………8 分

所以 cn ?

4? 3n 1 1 ?2 ( n ? n ?1 ) , n n ?1 ? 3 ? 1?? 3 ? 1? 3 ? 1 3 ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 2( ? ? ? ? ? ? n ? n ?1 ) ? 2( ? n ?1 ) . ……………………10 分 2 8 8 26 3 ?1 3 ?1 2 3 ?1
an 2 ? 3n ? 2 ? ? , bn ?1 3n
2

(3) d n ?

d n?1 ? d n ?

(3n ? 1) 2 (3n ? 2) 2 ? 18n 2 ? 42n ? 11 ? ? 3n ?1 3n 3n ?1

…………………………12 分

当 n ? 1, 2 时, dn ? dn?1 , 当 n ? 3,n ? N 时, dn ? dn?1 ,
?

………………………………………………14 分

又因为 d1 ?

1 16 49 100 ? 49 ? , d 2 ? , d3 ? , d4 ? ,所以 m 的取值范围为 ? ,?? ? .……16 分 3 9 27 81 ? 27 ?

20. (本小题满分 16 分) 解: (1)依题意得, f ? x ? ? x ? ln x ?1, x ? ? 0, ??? ,
2



f ? ? x ? ? 2x ?

1 2 x2 ?1 ? . x x

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 则函数 f ? x ? 在 ? 0,

2 2 ;令 f ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? .…………………………2 分 2 2

? ? ?

? 2 ? 2? , ?? ? 上单调递减,在 ? ? ? ? ? 上单调递增. …………………4 分 2 ? ? 2 ?
2

(2)由题意知: g ? x ? ? x ? 2x ? 1 ? m ln x . 则 g? ? x ? ? 2x ? 2 ?

m 2 x2 ? 2x ? m ? , x x

…………………5 分

令 g? ? x ? ? 0 ,得 2 x ? 2 x ? m ? 0 ,故方程 2 x ? 2 x ? m ? 0 有两个不相等的正数根 x1 ,
2 2

?? ? 4 ?1 ? 2m ? ? 0, 1 ? ,则 ? m 解得 0 ? m ? . x2 ( x1 ? x2 ) 2 ? ? 0, ?2
由方程得 x2 ?

1 1+ 1 ? 2m ,且 ? x2 ? 1 . 2 2

…………………………7 分

2 2 由 2x2 ? 2x2 ? m ? 0 ,得 m ? ?2x2 ? 2x2 .
2 2 g ? x2 ? ? x2 ? 2 x2 ? 1 ? ? ?2 x2 ? 2 x2 ? ln x2 ,

1 ? x2 ? 1 .……………8 分 2

1? ?1 ? ? ,即函数 g ? x2 ? 是 ? ,1? 上的增函数, g? ? x 2 ? ? ?4 ? x 2? 2? 0 ? ln x 2? ?2 ? ?
所以

1 ? 2 ln 2 ? 1 ? 2ln 2 ? ? g ? x2 ? ? 0 ,故 g ? x2 ? 的取值范围是 ? , 0 ? .………10 分 4 4 ? ?
n

(3)依题意得, f ? x ? ? x ? ln x ?1, x ? ? 0, ??? ,



f ? ? x ? ? nx n ?1 ?

1 nx n ? 1 ? . x x
n

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 nx ? 1 ? 0 ,∴ x0 ?
n

1 ,∵ n …2 , n

∴函数 f ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ?? ? 上单调递增, ……………11 分 ∴ f ? x0 ? ?

1 1 1 1 1 ? ln n ? 1 ? ? ln n ? 1 ? ?1 ? ln n ? n ? . n n n n n
1 ?1 ? 0 , x

……………12 分

令 p ? x ? ? ln x ? x ? 1( x ? 2 ) ,则 p? ? x ? ? ∴ p ? x ? ? p ? 2? ? ln 2 ?1 ? 0 , ∴ ln n ? n ? 1 ? 0 ,即 f ? x0 ? ? 0 . ∵ x0 ?

…………………13 分

n

1 ? 1 ? 2 ,∴ f ? 2? ? f ?1? ? 0 , n
n

……………14 分

又∵ x0 ?

1 1 1 ? ? , n n ne

∴f?

1 ? 1? ? 1? ? 1? ? ? ? ? ? ln ? 1 ? ? ? ? ln n ? 0 , ne ? ne ? ? ne ? ? ne ?

n

n

……………15 分 ……16 分

根据零点存在性定理知函数 f ? x ? 在 ? 0, x0 ? 和 ? x0 , ?? ? 各有一个零点.



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