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凸多边形的三个组合趣题



1

9

8 4

年 第 四 期

凸 多 边 形 的 三 个 组 合 趣 题
张 先 觉
组 合 知 识 有许 多 广 泛而 有 趣 的 应 用


,



文 提 出 的有 关 凸 多 边 形 的 三 个 问 题 就 是 例 证 如果 一 个 多 边 形 的 内 部 任 意 两 点的 连 线

为此 固定 D 的 一 个顶 点 自 这 个 顶 点 引出 的 对 角 线是 n 一 3 条 D 一 共 有
少 条对 角 线
, , ,



顶 点 n 个 共 引出 n (n 一 3 ) 条对 角 线 这样 使 每 条 对 角 线 被 计 算 了 两次 因 此
,

,

,

但 实

全 部落 在 这个 多边 形 内 那 么 这 个 多 边 形 就 叫 做凸 多 边 形 现 在 假 设 在 一 个 凸 n (n ) 3 ) 边 形 D 的 内 部 它 的任 何 三 条 对 角 线 不 同 点 对 此 凸 : n 边形 D 我 们 提 出 三 个问 题 D 的 全 部 对 角 线 在 D 的 内 部有 问题 1 ? 多少 个 交 点
,


际上 D 共 有 对 角 线



n

(n



3

) 条



,



时 段 上
,

,

又 因 为 当D 的 一 条 对 角 线 上有 k 个 交 点 这 条 对 角 线 就被 这 k 个 交 点 分 成 k + 1
另一 方面 因此
,

,



.

每个 交 点 落在 两 条 对 角 线 由问 题 1 的 解 可 知 D 的 所 有 对
,
,

问题 2

.

D 的每 一 条 对 角 线被 交 点

角 线 一 共落 上 了
Z

Z

C

分成

个 交点 盘




所 有 D 的全

问 全 部 对 角 线 一 共 被 分 成 多 少段 ? D 的 全 部 对 角 线 将 D 分成 若 干 问题 3 互不 重 叠 的 区 域 问一 共 有 多 少 个 这样 的区 域? 不 难 看 出 这 三 个 问 题 是 紧 密相 关 步
若 干段
,
.

部 对 角 线 被 交 点 分成 了
e:
+

,


:

n

(n

3)

=

旦 旦 丝 )鱼 i 卫 卫士 些一 兰
12

(段 )

?

,



步 深入 的 间 题 1 的解 〔” 为 方便 计 , : 点 按 一定 方 向 依 次 记为 A A
: ,
,



问 题 3 的解 凸 n 边 形 D ( n 》 4 ) 可看 n 一 l 边 形 新增加 一 顶 点 和 两 条 边 而 成 由凸

,

将 D 的顶
,

一 A
,



.

设 B 是 D 的对 角 线 在 D 的 内 部的 一 个 交 点 由 于 D 内设 有 三条 对 角 线 共 点 故B 恰 为 两
,

刀卜

:

条 对 角 线 的 交点 2 A , 气, 4 的 交 点
,

,

A 是 : ‘ * , A , : A : A , 为 相交 的 对 角 线 故 以 A 顶 点 的 四 边 形 是 一 个凸 四 边 形 其 对 角 线 正 3 1 : 好 是 A : , A i 和A , : A * 现 不妨 设 1 < i
, , , ,



不妨 可 设 为A : 3 因 A ; A , 和A

, : , Z

A

i : i 4



‘ ,

得到 的
一 A
,
。 _



设 凸n
: ,



1 边 形的顶

占为 A
,
.

: ,

A


:

,

3 4 < 1 < 1

.

反 之 若 任 给 四 个顶 点 A
,

j:

,

A

j

:

,

A
A

j

。,

A
,
:

才:

A

旦j < j < J < j 则四 边 形 , j。 J‘ A A 为 凸四 边形 故其 对 角 线
s
‘ , ; Z 。 :
,

由 顶点 A 新增 加 的顶 点 为 A : ; : (其 A 一 A 出发 分 别 连 结 顶 点 A ; : n 一 3 A A ) 而 得到 中有 两边 A A 条


,

,

,

,





,



n



相 交于 此 四 边 形 内



,

因而也 在D 内
,
, ,



这 四点
,

; A j: A j。 的 其它 连 线 的 交点 就 是 A J A j 本身 由 以 上 分 析 可 以 得 知 D 的所 有 , 对 角 线 在 D 内 部 的交 点 个数 与 在 A A: … A 中 任 选 四 点 的 组 合 个数 相 同 即 为
,
,
, n

A A … A 人 对 角线 A A 这些 n 一 1 n 一 2 线 了 在 凸 边 形 增 对角 除 外部 新 加 个 三 角 形 外 还 将 在 凸n 一 1 边 形 内部 相 截 而 增 加 区 域 数 现 在 来计 算 凸 n 一 1 边 形
,

:

,



3 ,

,

n

。 _

:

.

,



,

C


问题
2

.

内部 新 增 加 的区 域数 由附 图 可 知 由A k 引 出的 每 一 条 对 角 线 A A ( 2 ( k ( n 一 2 ) 。 k 上 的 交 点 数 (不 计 A A 两 点 ) 正 与 该对
, 。 。




的解

:

我 们 首 先 计 算 D 一 共有 多

角 线在 凸n



1

边 形 内被 截成 的 线 段 数 相

?

44

.











,

而 每 条线 段 恰好 把 原 来 凸 n
,
,



1

边 形内


x



一 x

, ‘一

:

=

某 一 个 区域 划 分 成 两 个
因此 点数 在凸n


即增加 一个 区 域


C 几:


+

n 一

2

1


边 形 内 新增 加 的 区 域 数 就
k

将 上 列 各式 左 右 相 加
X
n

,


十 一十 考+ C 合 +

是 所有 对 角 线 A A
,

( 2 镇k 蕊 n
n

2 )

的交
C

一 X

3

=

C 孟+ C
4 +


这个 交 点 数 显 然 就 是 凸 边 形 D 的 所 有 对 角线 交点 数 比 凸 n 一 1 边 形 的所 有 对 角
线 交 点数 所 增 加 的 数 目
,





;

+

2 +

3 +



(n
-



2

)

由问 题
.

1

的解

,





个数 目 就 是
一 C盖 C

C
1

(旦 二旦 )旦
2





,

=

C





,

考虑 到
x

x





故得
n

现 记 凸 n 边 形 内 由 全 部对 角 线 分 成 的 互 不 重 2 叠 的 区 域数 为 x 对 于n = 1 根 本不 x , = x : = o X 3 = 1 可能形成 区域 故 有
。 ,




=

C

六+
+

(n

一 3

,


n
Z




-

)



+

1

,

,

.

3n

+

2

由 上 述分 析
x


,

有下 列 递 推 关 系


一 x





,

C之


,

+

n 一
,

2
,

.

=

e

+ 盖

C 盖,


如 果 分别令 n
x x x
4

=

4
=

,

5

,

6



就得 到



x





C

盖+
:

C 乏1

一 x

:

+ C 喜

2
3 4

(作 者 单 位

四 川 省 蓬 溪 县 教 师 进 修 学校 )




,

.

s

一 x

4

=

C C

+



一 x

s

=

参 考 文 献
〔1 〕 柯 召
,



魏 万迪
,

:

《组合 论 》
PP 3 4
.

上册

,

科学

出版 社

19 8 1

,

~

35

平 均 不 等 式 的 一 个 归 纳 证 法
我 们 给 出平 均 不 等式
a
l

此 刻 对 于n

=

2

,

(1 ) 是成 立 的
,



假定 对

,

+

a

Z

+


n
Z ,

+

a

n

)
a
a
n

粼a

,

a

Z

…a

,、

(1 )


,

n



1

结 论成 立


因 为数

a

Z ,

a

: ,

a

n



:

(其 中

a

, :

,

a
=


=

,

且 仅 当a 纳 证法


a

Z


:



是正 数 而 等 式 当 时 成 立 ) 的 一个 归
, ,

: 和 a + a 一 A 的算 术 平 均是 A 设 我 们有

,

由归 纳 法 假


A

n





)
n

a

Z

a

:

…a
:

。 一 :

(a

:

+ a



A)

.

设 A 是 给 定 的 数 的算 术 平 均


即 (
a
:

1 )
。 ,

) 可见 从 (2
A >
a
:

a

( …( 的 左边 又 设 ( 且 那 么 显然 a , < A < a 是 于
a a


a

n

<

…a

n



a

,

,

n

,

(广 东省 潮 州 市 韩 山 师 专 林 立 聪 译 自

A


(a


:

+

a





A)


一 a

:

a


n

A m (2 )

e r

.

M a th M o
. 。

n

th ly

.

,

V

o

l 83
.

,



.

5

.

(a

:

A ) (A

一 a

)> 0

( 19 7 6 ) )



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