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简单的三角恒等变换(3课时)



第一课时 3.2.1 简单的三角恒等变换 教学重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以推导积化和差,和差化积,半角公式为基 本训练,学习三角变换的内容,思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点, 提高推理,运算的能力。 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法推导变换过程的设计,不断提高从整 体上把握变换过程的能力。 教学过程: 一. 复习准备 1. 提问

:前面学过的倍角公式是什么?(学生说,老师板书) 2. 讨论: ? 与 二.讲授新课 1.通过讨论知道,? 是
?
2

?
2

有什么关系?(学生回答)

的二倍角,在复习的倍角公式中,让学生以 ? 代替 2 ? ,以

?
2

代替 ?

将公式进行改写。 (可以请两个学生板演,老师巡查整个教室,最后师生一起检查板演的作业) 2.出示例 1:老师将刚才的结果进行改写,即半角公式。 3.讨论:代数式的变换与三角变换有什么不同? 结论:代数式变换着眼于式子结构形式的变换;三角变换首先寻找式子所包含的各个角之间 的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点。 4.出示例 2 讨论:这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同? (如果记 sin ? co s ? ? x , co s ? sin ? ? y ,则有 x ? y ? sin (? ? ? ), x ? y ? sin (? ? ? ) 。只要 解上述方程组,就可以求出 x ,即求出 sin ? co s ? ) 结论: 把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点, 并在建立它们之间的联系进而消 除不同点上下功夫,这样不仅有利于深化对和(差)角公式的理解,而且还有利于这两题内在 联系的认识。 5.练习:1)求证 ta n
?
2 ? s in ? 1 ? cos ? 1 2 ? 1 ? cos ? s in ? ? ? ) ? s in (? ? ? ) ? (学生板演,老师讲解)

2)求证 c o s ? s in ? ?

? s in (?

6.小结:做证明题,要分析题意,明确思维起点;选择公式,把握思维方向;实施变换,运用 数学思想方法 三.巩固练习: 1.教材 P155 练习 2,3 题 2.作业:P156 习题 1 中(2) (3)

第二课时

3.2.2 简单的三角恒等变换

教学重点:更进一步理解三角恒等变换的内容,思路和方法, 熟练的进行三角恒等变换的应用 教学难点:三角恒等变换的应用 教学过程: 二. 复习准备: 1.提问: y ? A sin ? ? x ? ? ? 的周期?最大值?最小值?(学生回答,老师板书) 2.提问:两角和与差的正弦和余弦公式?(学生回答,老师板书) 二.讲授新课 1.讨论函数 y ? sin x ? 3 co s x 的周期,最大值,最小值? (学生回答,老师点评) 2.练习: y ?
3 co s 4 x ? sin 4 x (学生板演,老师评讲)

3.总结:对一般的 y ? a sin ? ? b co s ? ,周期,最大值,最小值?(教师给出) 4.练习: 求周期和最值:
y ? sin 2 x co s 2 x
y ? 2 co s
2

x 2

?

1

? ? ?? ? ? y ? s in ? ? 4 x ? ? c o s ? 4 x ? ? (师生共练) 6 ? ? 3 ? ?

5.出示 P154 例 4:学生讲思路,老师点评,然后师生一起写过程 对于例 4 ,还可以去掉“记 ? C O P ? ? ” ,结论改写成“求矩形 A B C D 的最大面积” 这 时 , 在 建 立 函 数 模 型 时 , 对 自 变 量 可 多 一 种 选 择 , 如 设 AD ? x , 则
? S ? x? 1 ? ? ?
2

x?

3 3

? ?x ? ?
2 2

三.巩固练习: 1.已知函数 y ? (sin x ? co s x ) ? 2 co s x (1)求它的递减区间; (2)求它的最大值和最小值 2.已知函数 f ? x ? ? co s x ? 2 sin x co s x ? sin x (1)求它的最小正周期
4 4

(2)当 x ? ? 0 ,
?

?

? ?

时,求它的最小值以及取得最小值时自变量的集合。 2? ?

四.课堂总结 通过三角变换,我们把形如 y ? a sin ? ? b co s ? 的函数转化为形如 y ? A sin ? ? x ? ? ? 的函 数,从而使问题得到简化,这个过程中蕴涵了化归思想。 作业:P157 A 组 5 P160A 组 10

第三章小结 一.教学重点

引导学生通过独立探索和讨论交流,导出两角和与差的三角函数的十一个公式,并了解它 们的内在联系;同时引导学生以已有的十一个公式为依据,以推导积化和差,和差化积 ,半角 公式作为基本训练,学习三角变换的内容,思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变 换的特点,提高推理和运算能力。 二.教学难点 两角差的余弦公式的探索和证明;认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换 过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力。 三.教学过程 1.本章知识结构框图

差 角 余 弦 公 式

和 差 公 式

倍 角 公 式

简单三角恒等变换 2.例题讲解 1.已知 s in ? ? c o s ? ? 2.已知 s in (? ?
?
3
1 5 , 0 ? ? ? ? ,求 sin ( 2 ? ?

?
4

) 值。

) ? s in ? ? ?

4 3 5

,?

?
2

? ? ? 0 ,求 co s ? 值。

3.若函数 f ? x ? ?

? ? ? 2 3 sin 2 x ? 2 co s x ? m 在区间 0 , 上的最大值是 6, 求常数 m 的值及 ? 2? ? ?

此函数当 x ? R 时的最小值,并求相应的 x 的取值集合 4.如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,P,Q 分别为 边 AB,DA 上的点。当 ? A B C 的周长为 2 时,求 ? P C Q 的大小。 3.巩固练习 1.已知 c o s ? ? c o s ? ? 2.已知 c o s ?
??
1 2 , sin ? ? sin ? ? 1 3
2

,求 co s(? ? ? ) 值。

s in 2 x ? 2 s in x 1 7? 7? ? 3 ? x ? ? x? ? , ,求 值 1 ? ta n x 12 4 ? 4 ? 5



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