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黑龙江省双鸭山市第一中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试题



高一数学(理)下学期期末考试题
(时间:120 分钟 总分:150 分)

一、选择题(包括 1--12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.若 l,m,n 是互不相同的空间直线, ?,? 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 ( ) A.若 ? / / ? , l ? ? , n ? ? ,则 l / / n C.若 l ? n

,m ? n ,则 l / / m B.若 ? ? ?,l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l / / ? ,则 ? ? ? )

B C 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 2. 在 ?A 若 A ? 600 , a ? 4 3, b ? 4 2 , 则 B ?(
A . 45 或135
0 0

B. 135

0

C. 45

0

D. 以上答案都不对 )

3.在空间直角坐标系 o ? xyz 中, P (1, 2, 3) ,在点 P 关于 xoz 面对称的点的坐标为( A. ( ?1, 2, 3) 4.不等式 | x |? B. (1, ?2, 3) C. (1, 2, ?3) ) C. (?1, 0) U (1, ??) D. (??, ?1) U (0,1) D. ( ?1, ?2, 3)

1 的解集是 ( x

A. (??, ?1) U (1, ??)

B. (??,0) U (1, ??)

?x ? y ? 7 ? 0 ? 5.设实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?3x ? y ? 5 ? 0 ?
A.10 B.8 C.3 D.2



6.已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为 则该锥体的俯视图可以是( )

2 3 , 3

7.四面体 ABCD 中,公共顶点 A 的三条棱两两相互垂直,且其长分别为 1, 6,3,若它的 四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( A. 3? B. 4? C. 3 3? ) D. 16?

8.已知等比数列数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , a1 ? a3 ? a5 ? 21,则 a3 ? a5 ? a7 ? ( A.21 B.42 C.63 D.84



9.如图所示,棱长皆相等的四面体 S ? ABC 中, D 为 SC 的中点, 则 BD 与 SA 所成角的余弦值是( ) A.

3 3

B.

2 3

C.

3 6

D.

2 6

10. 设 S n 是等比数列 {an } 的前 n 项和, S3 , S9 , S6 成等差数列,且

a2 ? a5 ? 2am ,则 m 等于 ( )
A. 6 B. 7 C.

8

D . 10

11.某人要作一个三角形,要求它的三条高的长度分别是 A.不能作出满足要求的三角形 C.作出一个直角三角形

1 1 1 , , ,则此人将 ( 13 11 5



B. 作出一个钝角三角形 D. 作出一个锐角三角形

12.圆锥 SO 的底面半径为 3 ,母线长 2, A, B 是底面圆周上两动点,过 S , A, B 作圆锥的截 面, 当 ?SAB 的面积最大时, 截面 SAB 与底面圆 O 所成的 (不大于 A.

? 6

B.

? 2

C.

? 3

D.

? 4

? 的) 二面角等于 ( 2



二、填空题(包括 13--16 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. 正方形 ABCD 的边长为 2 ,利用斜二测画法得到的平面直观图 A ' B ' C ' D ' 的面积为 ________. 14.设 x,y ?R ,且 x ? 0, y ? 0 ,则 ( x 2 ?

1 1 )( 2 ? 4 y 2 ) 的最小值为____________________. 2 y x

15.如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 30°,线段 AB ? ? . B ? l ,

?
.

?A
?

AB 与 l 所成的角为 60°.则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是
16.如图, ABCD ? A1B1C1 D1 为正方体,下面结论中正确的是 ________________________(把你认为正确的结论序号都填上)

?

B

① BD / / 平面 CB1 D1 ;② AC1 ? 平面 CB1 D1 ; ③ AC1 与底面 ABCD 所成的角的正切值是 2 ; ④二面角 C ? B1 D1 ? C1 的正切值是 2 ; ⑤过点 A1 与异面直线 AD 和 CB1 成 70 ? 角的直线有 2 条.

三、解答题(包括 17—22 小题,共 70 分)
17. (10 分)关于 x 的不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解为 ( ?
2

(1)求 a , b 的值;

1 1 , ) . 2 3 ax ? b ? 0 的解集. (2)求关于 x 的不等式 x?2

18. (本题 12 分)如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直圆 O 所在的平面, C 是圆 O 上的点. (1)求证: BC ? 平面 PAC ; (2)设 Q 为 PA 的中点, G 为 ?AOC 的重心, 求证:面 OQG / / 平面 PBC .

C ? 60? . 19. (本题 12 分) 已知 ?ABC 中,A, B, C 对边分别为 a , b, c ,AD 是 BC 边上的中线,
(1)若 a ? 6 且 b ? 2 ,求 AD 的长; (2)若 AD ? 2 ,求 S ?ABC 的最大值.

20. (本题 12 分)如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形,

D E 为 PC 的 中 点 , BA ? AD, CD ? AD, CD ? 2 AB, PA ? 底 面 A B C ,
PA ? AD ? AB ? 1
(1)证明: EB // 平面PAD ; (2)证明: BE ? 平面PDC ; (3)求三棱锥 B ? PCD 的体积 V .

21. (本题 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? n, 设 cn ?

? ?

Sn ? ? ?n ?N n?

*

? 在直线 3x ? y ?1 ? 0 上,

4 , Tn 是数列 ?cn ? 的前 n 项和。 an an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求使得 Tn ?

K * 对所有的 n ? N 都成立的最小正整数 K ; 9

(3)是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的 值; 若不存在,请说明理由.

22. (本题 12 分)如图,已知正三棱柱 ABC — A1 B1C1 的底面边长是 2 , D 是侧棱 CC1 的中 点, 直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 45? . (1)求此正三棱柱的侧棱长; (2)求二面角 A ? BD ? C 的平面角的正切值; (3)求点 C 到平面 ABD 的距离.

A

A1

B
C

B1
D

C1

高一数学期中考试答案
一、选择题(5 分×12=60 分) 1 2 3 4 题号 答案 D C B A 5 B 6 C 7 A 8 C 9 B 10 D 11 A 12 B

二、填空题(5 分×4=20 分) 13、-2n+4 14、6 15、

N1 N

16、 b1b2 ?bn ? b1b2 ?b17?n

三、解答题(70 分) 17、 (10 分) 18、 (12 分) (1)增区间: (? 2, 2) ,减区间: (??, ? 2) ? ( 2, ??) (2) f ( x ) max ? f ( 2 ) ? ( 2 2 ? 2)e ; f ( x ) min ? f ( ?1) ? ?
2

3 e

19、 (12 分)

20、 (12 分) (1)直线的直角坐标方程为: x ? 3 y ? 2 ? 0 ; 曲线的直角坐标方程为: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ; (2)距离最大值为 1.5,最小值为 0

21、 (12 分)22、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? n, (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记 bn ? an ? 2
n?1

? ?

Sn ? * ? ?n ?N ? 在直线 3x ? y ? 1 ? 0 上。 n?

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

m 4 * , M n 是数列 ?cn ? 的前 n 项和,求使得 M n ? 对所有的 n ? N 都成 9 an an ?1 立的最小正整数 m 。 Sn ? 3n ? 1 ,即 Sn ? 3n2 ? n ,故 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 2, d ? 6 解: (1)由题意得, n an ? 2 ? 6(n ?1) ? 6n ? 4 ? 2 ?3n ? 2?
(3)设 cn ? (2) bn ? an ? 2n?1 ? 2 ?3n ? 2? ? 2n?1 ? ?3n ? 2? ? 2n

Tn ? 1? 21 ? 4 ? 22 ? ?? ?3n ? 2? ? 2n ? 0 2Tn ? 0 ?1? 22 ? 4 ? 23 ??? ?3n ? 2? ? 2n?1
1 2 ??Tn ? 1? 2 ? 3 ??? ? 2 1 1 2 ? ? 3 ? 2? ? 2? ? ? 2 n? 2 n?1 ?Tn ? ?5 ? 3 n? ? 2 ? 1,从而 0 Tn ? ?3n ? 5? ? 2n?1 ?10 n

2 ? ? ? ? n3

n

? ? ?2

n ? ?3 ?

?n

2 ?1 2

4

(3) cn ?

4 4 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? an an?1 4 ? 3n ? 2 ?? 3n ? 1? ? 3n ? 2 ?? 3n ? 1? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ? M n ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 3 ?? 1 4 ? ? 4 7 ? ? 3n ? 2 3n ? 1 ? ? 3 ? 3n ? 1 ? m 1 ? ? 又 M n ? 恒成立,则 m ? 10M n ? 3 ?1 ? ? 恒成立,所以 m ? 3 9 ? 3n ? 1 ?

22. 17. 【解析】 : (1)设正三棱柱 ABC — A1 B1C1 的侧棱长为 x .取 BC 中点 E ,连 AE .

Q ?ABC 是正三角形,? AE ? BC .
又底面 ABC ? 侧面 BB1C1C ,且交线为 BC .
H

A

A1

? AE ? 侧面 BB1C1C .
连 ED ,则直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 ?ADE ? 45? .

B
E

G F C

I

B1
D

C1

在 Rt ?AED 中,

tan 45? ?

AE ? ED

3 1? x 2 ,解得 x ? 2 2 . 4

? 此正三棱柱的侧棱长为 2 2 . ……………………………………4 分
注:也可用向量法求侧棱长. (2)[传统法]:过 E 作 EF ? BD 于 F ,连 AF ,

Q AE ? 侧面 BB1C1C , ? AF ? BD .
? ?AFE 为二面角 A ? BD ? C 的平面角. 在 Rt ?BEF 中, EF ? BE sin ?EBF ,又

BE ? 1,sin ?EBF ?
又 AE ? 3,

CD 2 3 3 ? ? , ? EF ? . 2 2 BD 3 2 ? ( 2) 3

? 在 Rt ?AEF 中, tan ?AFE ?

AE ?3. EF
……………………………………9 分

故二面角 A ? BD ? C 的平面角的正切为 3.

[向量法]: (见后) (3)解法 1:由(2)可知, BD ? 平面 AEF ,? 平面 AEF ? 平面 ABD ,且交线为 AF ,? 过 E 作 EG ? AF 于 G ,则 EG ? 平面 ABD .

在 Rt ?AEF 中, EG ?

AE ? EF ? AF
点 ,

3?

3 3 3 2 ) 3
C

?

( 3) 2 ? (

30 . 10
平 面

Q

E



BC



?





ABD









2 EG ?

2 30 . ……………………………………14 分 10



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