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正、余弦函数图象和性质


余弦函数图象和性质
一、知识点梳理:
1.正、余弦函数图象和性质表
函数 定义域 正弦函数

y ? sin x, x ? R
(??,??) [?1,1]
时, y max ? 1 时, y min ? ?1 当x 当x

余弦函数

y ? cos x, x ? R
(??,??)

[?1,1]
当x 值域 当x 周期性 奇偶性

? ?

? ?

时, y max ? 1 时, y min ? ?1

是周期函数,最小正周期 T 奇函数,图象关于 在[

?
对称

是周期函数,最小正周期 T 偶函数,图象关于 在[ 在[

?

对称

], (k ? Z ) 上是增函数 ], (k ? Z ) 上是减函数 , (k ? Z ) ( , ) (k ? Z )

], (k ? Z ) 上是增函数 ], (k ? Z ) 上是减函数 , (k ? Z ) ( , ) (k ? Z )

单调性

在[

对称轴 对称 中心

x?

x?

2 .利用“五点法”作函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R ( 其中 A ? 0, ? ? 0 ) 的简图,是将 ?x ? ? 看着一个整体,先令

?x ? ? ? 0,

3? ,2? 列表求出对应的 x 的值与 y 的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期内的图象。 2 2 3.研究函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0 )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?x ? ? 看着整体并与 ,? ,
2? |? |

?

基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期 T ? 4.图象变换 (1)振幅变换
y ? sin x, x ? R

?1)或缩短 (0? A ?1)到原来的A倍 ?所有点的纵坐标伸长 ?????(A ? ??????? ?? y ? A sin x, x ? R

(2)周期变换
? ?????????????? ?? y ? sin?x, x ? R
1 所有点的横坐标缩短 (? ?1) 或伸长 (0 ?? ?1) 到原来的 倍

y ? sin x, x ? R

(3)相位变换
y ? sin x, x ? R
(? ?0)或向右 (? ?0) 平移|? |个单位长度 ?所有点向左 ??? ?????????? y ? sin( x ? ? ), x ? R

二、习题训练
1、要得到函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象沿 x 轴( A.向右平移 )个单位

?
4

B.向左平移

?
4

C.向右平移

?
2

D.向左平移 ( )

?
2

2、已知 x ? (o,2? ),函数y ? sin x ? ? cos x 的定义域是

1

A. [0, ? ] 3、如果 cos x ?

? 3? B. [ , ] 2 2

C. [ , ? ] 2 )

?

D. [

3? ,2? ] 2

m?4 4 m

有意义,则 m 的取值范围是( B. m ? 4 C. m ? 4

A. m ? 4

D. m ? 4 ( )

4、若 f ( x) sin x 是周期为 ? 的奇函数,则 f ( x) 可以是 A. sin x B. cos x C. sin 2 x

D. cos 2 x

5、对于函数 y ? A sin(?x ? ? ), (A,?, ? 均为不等于 0的常数) ,有下列说法: ①最大值为 A ; ④由 2k? ? ②最小正周期为 |

2?

?
2

? ?x ? ? ? 2k? ?

?
2

?

| ; ③在 [0, ? ] 至少有一个 x ,使得 y ? 0 ;
( )

(k ? Z ) 解得 x 的区间即为原函数的递增区间。其中正确的说法是
C.② D.②④ ( )

A.①②③ 6、与函数 y ? sin( 3 x ? A. y ? sin 3x

B.①②

?
4

) 的图象完全相同的一个函数是 7? ? 3x) 4
C. y ? sin( 3 x ? .

B. y ? sin(

3? ) 4

D. y ? sin( 3 x ?

7? ) 4

7、下列命题中是真命题的序号是

① y ? sin | x | 与 y ? sin x 的图象关于 y 轴对称;② y ? cos(? x)与y ? cos x 的图象重合; ③ y ?| sin x | 与 y ? sin | x | 的图象关于 x 轴对称;④ y ? sin( x ? 8、 y ? x ? cos x, x ?[2k? , (2k ? 1)? ], k ? Z 上的最大值是 9、关于函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
2

) 与 y ? cos x 的图象重合。
.

?
3

), x ? R 有下列命题:

① f ( x) 的表达式可以改写为 y ? 3 cos( 2 x ? ③ f ( x) 的图象关于点 ( ? 其中正确命题的序号是 10、函数 y ? sin

?
6

) ;② f ( x) 的最小正周期为 2? ;
④ f ( x) 的图象关于直线 x ? ?

?
6

,0) 对称;
.

?
6

对称

x ?1 ? 的单调递增区间是 2

.

11、关于 x 的方程 3 sin 2 x ? cos2 x ? k ? 1在 [0,

?
2

] 内有相异实根,则 k 的取值范围是

.

12、函数 y ?

1 3 ? 2 sin x

,当

时,y 取到最大值

; 当

时,y 取到最小值



13、做函数 y ? sin ? ? x ?

? ?

?? 1

? ? 简图,并写出它的振幅、周期、单调递增区间。 3? 2

2


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