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北师大版选修2-1课件 第2章 空间向量与立体几何 2.1 从平面向量到空间向量



高中数学
北师大版 ·选修2-1

哪个更痛苦,努力还是后悔?

第二章
空间向量与立体几何

向量发展史:

向量(或矢量),最初被应用于物理
学.很多物理量如力、速度、位移以及 电场强度、磁感应强度等都是向 量.“向量”一词来自力学、解析几何 中的有向线段.最先使

用有向线段表示 向量的是英国大科学家牛顿. 从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并 未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间

的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通
性的数学体系.

18世纪末,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表
示复数 a + bi ,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的 运算,把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表 示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数,也学 会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样进入了

数学.但复数的利用是受限制的,因为它仅能用于表示平面,
若有不在同一平面上的力作用于同一物体,则需要寻找所谓三 维“复数”以及相应的运算体系 .19 世纪中期,英国数学家哈

密尔顿发明了四元数(包括数量部分和向量部分 ),以代表空间
的向量.他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础.

随后,电磁理论的发现者,英国的数学物理学家麦克思韦尔把
四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向 量分析.三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是 英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的.他 们提出,一个向量不过是四元数的向量部分,但不独立于任何

四元数.他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积,并
把向量代数推广到变向量的向量微积分.从此,向量的方法被 引进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的

数学工具.

链接生活:

第二章 2.1 从平面向量到空间向量

知识要点 知识要点:
1.空间向量的概念

向量是既有大小又有方向的量,如果把问题的研究范围限
定在同一个平面上,称之为平面向量;如果把问题的研究范围 扩大到空间中,称之为空间向量. 既有大小又有方向 即空间中__________________的量叫作空间量.
2.空间向量的表示 与平面向量一样, 空间向量也有两种表示法. 一种是用有向

→ 线段AB表示, A 叫作向量的起点, B 叫作向量的终点; 一种用 a, b,c 表示,也可用 a 、 b 、 c 表示.







3.空间向量的长度和夹角

大小 (1)与平面向量一样, 空间向量的________ 也叫作向量的长

→ 度或模,用|AB|或|a|表示.

(2)如图所示, 过空间任意一点 O 作向 → → 量 a、b 的相等向量OA和OB,则∠AOB 叫 作向量 a、b 的夹角,记作〈a,b〉 ,规定

0 ≤〈a,b〉≤π π __________________. 2 时,向量 a 与 b 垂直,记作 a⊥B. 当〈a,b〉=________
0或π 时,向量 a 与 b 平行,记作 a∥B. 当〈a,b〉=________
由定义可知,两个向量的夹角是唯一确定的,且〈 a,b〉= 〈b,a〉 .

4.向量与直线 直线的方向向量:如图,l 是空间一直线,

→ A、B 是直线 l 上任意两点,则称AB为直线 l 的方向向量.

5.向量与平面
(1) 平面的法向量: 如果直线 l 垂直于平面 α ,那么把

直线l的方向向量a _________________________ 叫作平面α的法向量.
(2)共面向量:在空间中,如果

一个向量所在直线平行于一个平面 ________________________________,则称这个向量平行于该
平面.平行于同一平面的一组向量叫作共面向量. 不共面向量:不平行于同一平面的一组向量叫作不共面向 量.

知识要点解读

1 .空间向量是平面向量概念的拓展,只有大小和方向两
个要素,用有向线段表示向量时,它的起点可以是空间内的任 意一点,只要保证它的大小和方向不改变,它是可以自由平移 的,与起点无关. 2 .空间中的所有向量的方向不都是一定的,例如零向量

的方向就不确定,可以认为是任意方向.
3 .与向量 a相反的向量是一个向量,它的方向和 a 的方向 相反,大小和a的大小相等.与向量a相等的向量,它的方向和 a的方向相同,大小和a的大小相等.

4.能平移到同一个平面内的向量为共面向量.由于向量可以 根据需要进行平移,因此空间中任意两个向量都是共面向量,但 空间中任意三个向量不一定共面. 5.平面的法向量不唯一,但它们都是平行的;平行于一个平 面的向量垂直于这个平面的法向量. → 6.与AB平行的任意非零向量 a 也是直线 l 的方向向量. 直线的方向向量平行于该直线. 给定空间中任意一点 A 和非零向量 a,可以确定唯一一条过 点 A 且平行于向量 a 的直线.

效果检测

1.若空间向量a与向量b不相等,则a与b一定( A.有不同的方向 C.不可能是平行向量 [答案] D B.有不相等的模 D.不可能都是零向量

)

[解析]

a、b不相等,可能方向不同,也可能模不相等,

所以A、B、C都不正确,只有D正确.

→ → 2.若命题 M:AA′=BB′;命题 N:四边形 ABB′A′是平 行四边形,则 M 是 N 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

[答案] B

[ 解析 ] → BB′.

→ 由四边形 ABB′A′ 是平行四边形,可得 AA′ =

→ → → → → 但是由AA′=BB′, 只能说明AA′与BB′是相等向量, AA′ → 与 BB′ 所在的直线可能平行或共线,并不一定构成平行四边形 ABB′A′,所以 M 是 N 的必要不充分条件.

3.下列有关向量的命题是真命题的是( A.所有的单位向量的模为 1 且共线

)

B.若|a|=|b|,则这两个向量的长度相等且方向相反 → → → → → → → → C.若向量AB、CD满足|AB|=|CD|且AB与CD同向,则AB>CD → → → → → → D.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0,则AB与CD平 行

[答案] D

[解析]

A.单位向量模为 1,但方向不同,不能确定共线,

不正确;B.若|a|=|b|,则 a 与 b 只有模相等,方向不确定,因此 → → → → → → → B 不正确;C.若|AB|=|CD|且AB和CD同向,则AB=CD,因此AB → → → → → → >CD不正确;D.由AB+CD=0,知AB与CD是相反向量,因此AB → 与CD平行.

4.直线的方向向量与直线上任意一向量的夹角是 ______________. [答案] 0°或180°

[解析] 由直线的方向向量的定义易得.

→ → 5 . 在 正 四 面 体 A—BCD 中 , AB 与 BC 的 夹 角 为 ________________. [分析] → → → → (1)AB与BC的夹角的大小和AB与CB的夹角的大小是

否相同?(2)向量夹角的顶点与向量起点有什么联系?

[答案] 120°
→ → → → [解析] (1)根据定义, 〈AB,BC〉=120° , 〈AB,CB〉=60° , 大小不同;(2)两向量夹角的顶点是它们共同的起点.

课堂典例讲练

向量的有关概念
给出下列五个命题: ①两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; ②若空间两向量 a、b 满足|a|=|b|,则 a=b; → → ③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中必有AC=A1C1; ④若空间向量 m、n、p 满足 m=n,n=p,则 m=p; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中正确命题的个数为( A.4 C.2 B.3 D.1 )

[解析] 当空间两个向量的起点、 终点分别相同时, 这两个向 量必相等,但两个相等向量的起点不一定相同,终点也不一定相 同,故①错;根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅它 们的模要相等,而且方向也要相同,但②中向量 a 与 b 的方向不 一定相同,故②不对;根据正方体的性质,在正方体 ABCD - → → A1B1C1D1 中,向量AC和A1C1不但方向相同而且长度相等,故应有 → → AC=A1C1,所以③正确;④显然正确;对于⑤,空间任意两个单 位向量的模均为 1,但方向不一定相同,故不一定相等,所以⑤不 对.[答案]
C

[总结反思]

本题重点考查了空间向量的相关概念,解决

此类题往往借助实例和举反例的方法求解,因此,又考查了数 形结合思想、特殊与一般的思想.

如图,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,
点H、M、G分别为线段EF、AD、BC的中点. → (1)举出图中与向量AF相等的向量;
→ → (2)向量EC是否与HG平行? → (3)举出图中与向量BG相反的向量.

[ 分析 ]

两个空间向量相等是指它们的模相等且方向相

同.向量的方向是否相同要看箭头方向是否一致.两空间向量 平行与否与向量的方向无关.

→ → → [解析] (1)与向量AF相等的向量有向量MH和向量DE. (2)由于点 H、M、G 分别为线段 EF、AD、BC 的中点,所以 → → HG∥EC,即向量EC与HG平行. → → → → → → → (3)与向量BG相反的向量有GB、CG、MA、DM、EH和HF.

向量的夹角
如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求: → → → → (1)〈B1C,AA1〉 ;(2)〈CA,DA1〉 .

→ → → → → [解析] (1)因为AA1=BB1, 所以将AA1平移至BB1处, 则 〈B1C, → → → AA1〉=〈B1C,BB1〉 ,大小为∠BB1C 的补角.由正方体性质可得 → → ∠BB1C=45° ,故, 〈B1C,AA1〉=135° . → → → → → (2)连接 AB1, 因为DA1=CB1, 所以将DA1平移至CB1, 则 〈CA, → → → DA1〉=〈CA,CB1〉大小为∠ACB1.由正方体性质知 AC=CB1= → → AB1,所以△ACB1 为正三角形,所以∠ACB1=60° ,即〈CA,DA1〉 =60° .

[总结反思]

求两向量夹角时, 注意只有将两向量平移至起点

→ → 相同处, 得到的夹角才是所求. 如第(1)问中, 将向量AA1平移至BB1 → → 处,由于B1C,BB1的起点不相同,所以得到的∠BB1C 为应求两向 量夹角的补角.同学们注意体会!

如图, M、 N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD-A′B′C′D′ 的棱 BB′、B′C′的中点,求: → → (1)向量AB与CD′的夹角; → → (2)向量MN与D′A的夹角.

[解析]

→ → → → (1)由正方体的性质可以得到AB=DC,CD′与CD的

→ → → → 夹角为 45° ,DC与CD′的夹角为 135° .所以向量AB与CD′的夹角 为 135° . (2)连接 BC′,M、N 分别是 BB′、B′C′的中点,所以 → → MN∥BC′,又 BC′∥AD′,因此向量MN与D′A共线反向,其 夹角为 π.

法向量 对于平行四边形ABDC,图中的五个向量中各个
向量之间的关系如何?在图中画出平行四边形 ABDC的一个法 向量.

[分析]

分析图中五个向量的关系,要看它们是否相等、

相反或平行.作平面的法向量,只要作向量 b ,使之垂直于平 面内两个相交向量即可.

[解析] 五个向量都在一个平面内, → → 所以是共面向量.其中向量AB与CD长 → → 度相等且方向相同,所以AB与CD相等,向 → → 量AC与DB大小相等且方向相反,所以向量 → → AC与DB相反,两向量也平行.法向量 b 如图所示.

如图,三棱锥 S-ABC 中,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,且 SA =AB=BC,M 为 SB 的中点. → 求证:AM是平面 SBC 的法向量.

[证明] ∵SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BC. 又 AB⊥ BC,SA∩AB=A,∴BC⊥平面 SAB. ∵AM? 平面 SAB,∴BC⊥AM ①

∵SA=AB,M 为 SB 的中点,∴AM⊥SB ② 由①②知,AM⊥平面 SBC, → 所以AM是平面 SBC 的法向量.

方向向量
已知四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, → 设平面 SAD∩平面 SBC=l,如图,求证:向量BC是 l 的一个方向 向量.

[解析] ∵BC∥AD,BC ∴BC∥平面 SAD,

平面 SAD,AD? 平面 SAD,

又∵平面 SBC∩平面 SAD=l, ∴BC∥l, → ∴BC是 l 的方向向量.
[总结反思] 证明一个向量是一条直线的方向向量, 只要证直

线与直线平行即可;若要证明一个向量是一个平面的法向量,只 要证明直线垂直于平面即可. 都可转化为已学过的空间几何问题.

如 图 , 在 正 方 体 ABCD—A1B1C1D1
中, (1) 分别给出直线 AA1 、 BD 的一个方 向向量;

(2) 分 别 给 出 平 面 ADD1A1 、 平 面
BB1D1D的一个法向量.

→ → → → [解析] (1)直线 AA1 的方向向量可以是AA1、BB1、CC1、DD1、 → → → → A1A、B1B、C1C、D1D中的任一个; → → → → 直线 BD 的方向向量可以是BD、 B1D1、 DB、 D1B1中的任一个. → → → → → (2)平面 ADD1A1 的法向量可以是AB、DC、A1B1、D1C1、BA、 → → → CD、B1A1、C1D1中的任一个; → → → → 平面 BB1D1D 的法向量可以是AC、CA、A1C1、C1A1中的任一 个.

易混易错辨析

下列命题中正确的是(

)

A.若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 B.向量 a、b、c 共面即它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向 D.若 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb

[误解] A(或B或D) [正解] C

[ 总结反思 ]

在选项 A 中,若 b = 0 ,则结论不成立;在选

项B中,向量共面与直线共面的不同点在于三个向量中的一个 向量所在直线与另两个向量所在平面平行时,三个向量所在的 直线虽然不共面,但这三个向量是共面的;选项 D中,若a=b

= 0 时,有无数个 λ 满足等式,而不是唯一一个;若 b = 0 ,
a≠0,则不存在λ使a=λB.

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