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山东省临沂市沂水二中北校区2015届高三上学期10月月考数学试卷(文科)



山东省临沂市沂水二中北校区 2015 届高三上学期 10 月月考数学 试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设 x∈Z,集合 A 为偶数集,若命题 p:?x∈Z,2x∈A,则¬p() A.?x∈Z,2x?A B.?x?Z,2x∈A C.?x∈Z,2x∈A D.

?x∈Z,2x?A 2. (5 分)设集合 A={1,2,3},B={4,5},C={x|x=b﹣a,a∈A,b∈B},则 C 中元素的个 数是() A.3 B. 4 C. 5 D.6

3. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点 A. B. ﹣ C. 2

,则 log2f(2)的值为() D.﹣2

4. (5 分)在△ ABC 中,内角 A、B 的对边分别是 a、b,若 A.等腰三角形 C. 等腰三角形或直角三角形
|x|

,则△ ABC 为()

B. 直角三角形 D.等腰直角三角形

5. (5 分)若当 x∈R 时,函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)满足 f(x)≤1,则函数 y=loga(x+1) 的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)已知

,给出下列四个结论:

①a<b ②a+b<ab ③|a|>|b| 2 ④ab<b 其中正确结论的序号是() A.①② B.②④

C.②③

D.③④

7. (5 分)等差数列{an}的前 20 项和为 300,则 a4+a6+a8+a13+a15+a17 等于() A.60 B.80 C.90 D.120

8. (5 分)已知函数 则 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣∞,1] 9. (5 分)已知函数

(a∈R) ,若函数 f(x)在 R 上有两个零点,

C.[﹣1,0)

D.(0,1]

(ω>0)的最小正周期为 π,将函数 y=f(x)

的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则 m 的最小值为 () A. B. C. D.

10. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x∈R,都有 f(x)=f(2﹣x)成立, 且当 x∈(﹣∞,1)时, (x﹣1)f′(x)<0(其中 f′(x)为 f(x)的导数) .设 ,则 a、b、c 三者的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a

二、填空题:本大题共 5 小题.每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)已知向量 的模为 2,向量 为单位向量, 大小为. ,则向量 与 的夹角

12. (5 分)计算

÷

=.

13. (5 分)若

,则

=.

14. (5 分)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{ 为.

,则 f(2 )>0 的解集

x

15. (5 分)给出下列命题: ①若 y=f(x)是奇函数,则 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称; ②若函数 f(x)对任意 x∈R 满足 f(x)?f(x+4)=1,则 8 是函数 f(x)的一个周期; ③若 logm3<logn3<0,则 0<m<n<1; |x﹣a| ④若 f(x)=e 在[1,+∞)上是增函数,则 a≤1. 其中正确命题的序号是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明;证明过程或演算步骤. 16. (12 分) 已知全集 U=R, 集合 A={ (Ⅰ)求(?UA)∪B; (Ⅱ)若集合 C={x|x+m ≥ },命题 p:x∈A,命题 q:x∈C,且 p 命题是命题 q 的充分条件, 求实数 m 的取值范围. 17. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值和单调区间; (Ⅱ)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 求△ ABC 的面积. 18. (12 分)如图,某广场要划定一矩形区域 ABCD,并在该区域内开辟出三块形状大小相 同的矩形绿化区, 这三块绿化区四周和绿化区之间设有 1 米宽的走道. 已知三块绿化区的总 面积为 800 平方米,求该矩形区域 ABCD 占地面积的最小值. ,c=2 且 sinB=3sinA,
2

}, B={x|

}.

19. (12 分)已知向量 =( (1)求向量 ; (2)若向量 与向量 =(﹣ 数 x 的取值范围.

,1) ,向量 是与向量 夹角为

的单位向量.

,1)共线,且 与 =(

x,

)的夹角为钝角,求实

20. (13 分)已知公比为 q 的等比数列{an}是递减数列,且满足

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{(2n﹣1)?an}的前 n 项和 Tn. 21. (14 分)已知 f(x)=aln(x﹣1) ,g(x)=x +bx,F(x)=f(x+1)﹣g(x) ,其中 a, b∈R. (I)若 y=f(x)与 y=g(x)的图象在交点(2,k)处的切线互相垂直,求 a,b 的值; (Ⅱ)当 b=2﹣a,a>0 时,求 F(x)的最大值; (Ⅲ)若 x=2 是函数 F(x)的一个极值点,x0 和 1 是 F(x)的两个零点,且 x0∈(n,n+1) , n∈N,求 n.
2

山东省临沂市沂水二中北校区 2015 届高三上学期 10 月 月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设 x∈Z,集合 A 为偶数集,若命题 p:?x∈Z,2x∈A,则¬p() A.?x∈Z,2x?A B.?x?Z,2x∈A C.?x∈Z,2x∈A D.?x∈Z,2x?A 考点: 全称命题;命题的否定. 专题: 规律型. 分析: 根据全称命题的否定是特称命题进行判断. 解答: 解:全称命题的否定是特称命题,∴¬p:?x∈Z,2x?A. 故选:D. 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 2. (5 分)设集合 A={1,2,3},B={4,5},C={x|x=b﹣a,a∈A,b∈B},则 C 中元素的个 数是() A.3 B. 4 C. 5 D.6 考点: 集合中元素个数的最值. 专题: 规律型. 分析: 根据集合 C 的元素关系确定集合 C 即可. 解答: 解:A={1,2,3},B={4,5}, ∵a∈A,b∈B, ∴a=1,或 a=2 或 a=3, b=4 或 b=5, 则 x=b﹣a=3,2,1,4, 即 B={3,2,1,4}. 故选:B. 点评: 本题主要考查集合元素个数的确定,利用条件确定集合的元素即可,比较基础.

3. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点 A. B. ﹣ C. 2

,则 log2f(2)的值为() D.﹣2

考点: 对数的运算性质;幂函数的性质. 专题: 计算题;转化思想.

分析: 先设 log2f(2)=n,求出函数 f(x)的解析式,然后将点 即可求出结果. n 解答: 解:设 log2f(2)=n,则 f(2)=2 n ∴f(x)=x 又∵由幂函数 y=f(x)的图象过点

代入解析式,





故选 A. 点评: 本题主要考查了对数函数和幂函数的关系, 关键是将所求转化成幂函数, 此题比较 容易是基础题. 4. (5 分)在△ ABC 中,内角 A、B 的对边分别是 a、b,若 A.等腰三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理将条件转化为 可得答案. 解答: 解:由正弦定理得: ∴ , ,三角变形后判断角 A、B 之间的关系, B. 直角三角形 D.等腰直角三角形 ,则△ ABC 为()

?sinAcosA=sinBcosB?sin2A=sin2B,

∵A、B 为三角形的内角,∴2A=2B 或 2A+2B=π, 即 A=B 或 A+B= ,

故选 C. 点评: 本题考查三角形的形状判断,考查正弦定理、倍角公式,利用正弦定理将条件转化 为关于角的三角函数关系,来判断角之间的关系是解答本题的关键. 5. (5 分)若当 x∈R 时,函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)满足 f(x)≤1,则函数 y=loga(x+1) 的图象大致为()
|x|

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由条件可得 0<a<1,可得函数 y=loga(x+1)在(﹣1,+∞)上是减函数,且函 数图象经过点(0,0) ,结合所给的选项,得出结论. 解答: 解:∵函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)满足 f(x)≤1, |x| 0 ∴由|x|≥0,可得 a ≤a =1,∴0<a<1. 故函数 y=loga(x+1)在定义域(﹣1,+∞)上是减函数,且函数图象经过点(0,0) , 结合所给的选项,只有 C 满足条件, 故选:C. 点评: 本题主要考查指数函数、对数函数的单调性,求得 0<a<1,是解题的关键,属于 基础题.
|x|

6. (5 分)已知

,给出下列四个结论:

①a<b ②a+b<ab ③|a|>|b| 2 ④ab<b 其中正确结论的序号是() A.①② B.②④

C.②③

D.③④

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由条件可 b<a<0,然后根据不等式的性质分别进行判断即可. 解答: 解:∵ ,∴b<a<0.

①a<b,错误. ②∵b<a<0,∴a+b<0,ab>0,∴a+b<ab,正确. ③∵b<a<0,∴|a|>|b|不成立. ④ab﹣b =b(a﹣b) ,∵b<a<0, 2 ∴a﹣b>0,即 ab﹣b =b(a﹣b)<0, 2 ∴ab<b 成立. ∴正确的是②④. 故选:B. 点评: 本题主要考查不等式的性质, 利用条件先判断 b<a<0 是解决本题的关键, 要求熟 练掌握不等式的性质及应用. 7. (5 分)等差数列{an}的前 20 项和为 300,则 a4+a6+a8+a13+a15+a17 等于() A.60 B.80 C.90 D.120 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 等差数列{an}中,设首项 a1,公差 d,由前 20 项和 s20=300,可得 a1+a20 的值;又 a4+a17=a6+a15=a8+a13=a1+a20,可得 a4+a6+a8+a13+a15+a17 的值. 解答: 解:在等差数列{an}中,设首项是 a1,公差是 d,则它的前 20 项和为:
2

s20=

=10(a1+a20)=300,∴a1+a20=30;

∴a4+a17=a6+a15=a8+a13=a1+a20=30, ∴a4+a6+a8+a13+a15+a17=(a4+a17)+(a6+a15)+(a8+a13)=3(a1+a20)=3×30=90; 故选:C. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式与前 n 项和公式的灵活应用问题,是基础题.

8. (5 分)已知函数 则 a 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣∞,1] 考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用.

(a∈R) ,若函数 f(x)在 R 上有两个零点,

C.[﹣1,0)

D.(0,1]

分析: 由题意可得方程 2 ﹣a=0 在 (﹣∞, 0]上有解, 再根据当 x∈ (﹣∞, 0]时, 0<2 ≤2 =0, 可得 a 的取值范围. 解答: 解:由于函数
x

x

x

0

(a∈R)在 R 上有两个零点,

显然 x= 是函数 f(x)的一个零点,故方程 2 ﹣a=0 在(﹣∞,0]上有解. 再根据当 x∈(﹣∞,0]时,0<2 ≤2 =0,可得 1≥a>0, 故选 D. 点评: 本题主要考查函数的零点的定义和求法,指数函数的定义域和值域,属于基础题.
x 0

9. (5 分)已知函数

(ω>0)的最小正周期为 π,将函数 y=f(x)

的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则 m 的最小值为 () A. B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 规律型;三角函数的图像与性质. 分析: 由函数周期可求得 ω 值,由题意知,该函数平移后为奇函数,根据奇函数性质得 图象过原点,由此即可求得 m 值. 解答: 解:由已知,周期为 π,∵ω= ,∴ω=2, ]=sin (2x﹣2m+ ) ,

将该函数的图象向右平移 m (m>0) 个单位后, 得 y=sin[2 (x﹣m) +

因为其图象关于原点对称,所以该函数为奇函数,有 k∈Z, 则正数 m 的最小值为 .

﹣2m=kπ,k∈Z,则 m=



故选 A. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查奇偶函数的性质,要熟练掌握图 象变换的方法. 10. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x∈R,都有 f(x)=f(2﹣x)成立, 且当 x∈(﹣∞,1)时, (x﹣1)f′(x)<0(其中 f′(x)为 f(x)的导数) .设 ,则 a、b、c 三者的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a

考点: 函数单调性的性质;奇偶函数图象的对称性. 专题: 计算题. 分析: 由题意得对任意 x∈R,都有 f(x)=f(2﹣x)成立,得到函数的对称轴为 x=1,所 以 f(3)=f(﹣1) .由当 x∈(﹣∞,1)时, (x﹣1)f′(x)<0,得 f′(x)>0,所以函数 f(x)在(﹣∞,1)上单调递增.比较自变量的大小即可得到函数值的大小. 解答: 解:由题意得:对任意 x∈R,都有 f(x)=f(2﹣x)成立, 所以函数的对称轴为 x=1,所以 f(3)=f(﹣1) . 因为当 x∈(﹣∞,1)时, (x﹣1)f′(x)<0, 所以 f′(x)>0, 所以函数 f(x)在(﹣∞,1)上单调递增. 因为﹣1<0< , 所以 f(﹣1)<f(0)<f( ) ,即 f(3)<f(0)<f( ) , 所以 c<a<b. 故选 B. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握函数的性质如奇偶性、 单调性、 周期性、 对称性等, 函数的性质一直是各种考试考查的重点内容. 二、填空题:本大题共 5 小题.每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)已知向量 的模为 2,向量 为单位向量, 大小为 . ,则向量 与 的夹角

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题;平面向量及应用.

分析: 设向量 与 的夹角为 θ,可得 ? =2cosθ,再根据
2

,得 ? ﹣

=2cosθ﹣1=0,最后结合 θ∈[0,π],可得向量 与 的夹角 θ 的大小.

解答: 解:设向量 与 的夹角为 θ, ∴ ? = ∵ ∴ ? cosθ=1×2×cosθ=2cosθ , = ? ﹣
2

=0,得 2cosθ﹣1=0,所以 cosθ= ,

∵θ∈[0,π],∴θ= 故答案为: 点评: 本题给出单位向量 与向量 的差向量垂直于单位向量 ,求 与 的夹角大小,着 重考查了平面向量的数量积运算和向量的夹角等知识,属于基础题.

12. (5 分)计算

÷

=﹣20.

考点: 有理数指数幂的化简求值;根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: 利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值. 解答: 解: =lg =﹣20 故答案为:﹣20 点评: 本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则. 13. (5 分)若 ,则 =7.

考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式左边利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求出 tanθ 的值,原式分子分母除以 cosθ,利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,将 tanθ 的 值代入计算即可求出值.

解答: 解:∵tan( ∴2﹣2tanθ=1+tanθ, 即 tanθ= ,

﹣θ)=

= ,

则原式=

=

=7.

故答案为:7 点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
x

14. (5 分)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{ 为{x|x<﹣1 或 x>1}.

,则 f(2 )>0 的解集

考点: 指、对数不等式的解法;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据一元二次不等式解集得到 f(x)>0 的解集,然后解指数不等式即可. 解答: 解:∵一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{ ∴一元二次不等式 f(x)>0 的解集为{x|x 由 f(2 )>0, 得 2 >2 或 2
x x x x

, },



解得 x>1 或 x<﹣1, 即 f(2 )>0 的解集为{x|x<﹣1 或 x>1}. 故答案为:{x|x<﹣1 或 x>1}. 点评: 本题主要考查一元二次不等式的解法和性质, 以及指数不等式的解法, 考查学生运 算能力. 15. (5 分)给出下列命题: ①若 y=f(x)是奇函数,则 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称; ②若函数 f(x)对任意 x∈R 满足 f(x)?f(x+4)=1,则 8 是函数 f(x)的一个周期; ③若 logm3<logn3<0,则 0<m<n<1; |x﹣a| ④若 f(x)=e 在[1,+∞)上是增函数,则 a≤1. 其中正确命题的序号是①②④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①根据函数奇偶性的性质进行判断. ②根据函数周期性的定义进行推导. ③根据 对数的运算法则进行计算.④根据复合函数的单调性进行判断.

解答: 解:①若 y=f(x)是奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x) ,∴|f(﹣x)|=|﹣f(x)|=|f(x) |,即|f(x)|为偶函数,∴图象关于 y 轴对称;正确. ②若函数 f(x)对任意 x∈R 满足 f(x)?f(x+4)=1,则 f(x)≠0, ∴f(x)?f(x+4)=f(x+4)?f(x+8)=1,即 f(x+8)=f(x) ,则 8 是函数 f(x)的一个 周期;正确. ③若 logm3<logn3<0,则 ,

即 log3n<log3m<0,即 0<n<m<1,∴③错误. t |x﹣ ④设 t=|x﹣a|,则函数 y=e 单调递增,t=|x﹣a|在[a,+∞)上也单调递增,∴若 f(x)=e a| 在[1,+∞)上是增函数,则 a≤1.正确. ∴正确的是①②④. 故答案为:①②④. 点评: 本题主要考查函数奇偶性, 周期性和单调性的判断和应用, 利用相应的定义和性质 是解决本题的关键,要求熟练掌握函数的性质的综合应用. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明;证明过程或演算步骤. 16. (12 分) 已知全集 U=R, 集合 A={ (Ⅰ)求(?UA)∪B; (Ⅱ)若集合 C={x|x+m ≥ },命题 p:x∈A,命题 q:x∈C,且 p 命题是命题 q 的充分条件, 求实数 m 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;交、并、补集的混合运算. 专题: 规律型. 分析: (Ⅰ)先求出集合 A,B,然后利用集合的基本运算求(?UA)∪B; (Ⅱ)根据条件 p 命题是命题 q 的充分条件,确定实数 m 的取值范围. 解答: 解(Ⅰ) : A={ }, B={x| }={x|1﹣|x|≥0}={x|﹣1≤x≤1}, }, }={ }={y| ≤y≤2
2

}, B={x|

}.

∴?UA={y|y>2 或 y<

(?UA)∪B={x|x≤1 或 x>2}. (Ⅱ)∵命题 p 是命题 q 的充分条件, ∴A?C, ∵C={x|x≥ ﹣m }, ∴ ﹣m ≤
2 2



∴m ≥

2



∴m≥ 或 m≤﹣ ∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣ ]∪[ ,+∞) . 点评: 本题主要考查集合的基本运算,以及集合的应用,比较基础.

17. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值和单调区间; (Ⅱ)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: 利用倍角公式与两角差的正弦公式化成一个角的三角函数形式. (I)根据正弦函数的单调区间,通过解不等式求得 f(x)的增区间和减区间; (II)利用 f( )=2 求得 C= 形的面积公式计算. 解答: 解: ﹣cos x= (I)∵2sin(2x﹣ 由﹣ +2kπ≤
2

,c=2 且 sinB=3sinA,

,由 sinB=3sinA 得 b=3a,利用余弦定理求得 a,代入三角

=2 = .

sinxcosx+sin x

2

)≤2,∴函数 f(x)的最大值为 2. ≤ +2kπ?﹣ +kπ≤x≤ +kπ, ≤x≤kπ+ ,kπ+ +kπ,k∈z. +kπ], (k∈Z) ,k∈z, ],k∈z. < < ,

∴函数 f(x)的单调递增区间为[﹣ 由 2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ?kπ+

∴函数 f(x)的单调递减区间为[kπ+ (II)∵ ∴ = , ,∴ ,

,又﹣

∵sinB=3sinA,∴b=3a, ∵c=2,4=a +9a ﹣2×a×3a
2 2

,∴a =

2



∴S△ ABC= absinC= ×3a sinC= ×3×

2

×

=



点评: 本题考查了倍角的三角函数, 两角和与差的三角函数, 考查了三角函数的单调性及 单调区间的求法, 考查了正弦定理、 余弦定理在解三角形中的应用, 考查学生的运算能力. 运 用正、余弦定理解三角形关键是判断角的大小和边之间的关系. 18. (12 分)如图,某广场要划定一矩形区域 ABCD,并在该区域内开辟出三块形状大小相 同的矩形绿化区, 这三块绿化区四周和绿化区之间设有 1 米宽的走道. 已知三块绿化区的总 面积为 800 平方米,求该矩形区域 ABCD 占地面积的最小值.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 设绿化区域小矩形的一边长为 x,另一边长为 y,推出 3xy=800,从而得到试验田 ABCD 的面积 S=(3x+4) (y+2) ,然后利用基本不等式,由此能够求出结果. 解答: 解:设绿化区域小矩形的一边长为 x,另一边长为 y,则 3xy=800, ∴y= .

即矩形区域 ABCD 的面积 S=(3x+4) (y+2)=(3x+4) ( 当且仅当 6x= ,即 x= +2)=800+6x+ +8≥808+2 =968.

时取“=”,

∴矩形区域 ABCD 的面积的最小值为 968 平方米. 点评: 本题考查函数问题在生产生活中的实际应用, 解题时要认真审题, 注意挖掘题设中 的隐含条件,合理地进行等价转化.

19. (12 分)已知向量 =( (1)求向量 ; (2)若向量 与向量 =(﹣ 数 x 的取值范围.

,1) ,向量 是与向量 夹角为

的单位向量.

,1)共线,且 与 =(

x,

)的夹角为钝角,求实

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: (1)设

,由题意可得

,解得即可.

(2)由(1)和向量 与向量 =(﹣ 由于 与 =( x,

,1)共线,可知 =



)的夹角为钝角,可得

<0 且 与 不能反向共线,解得即可.

解答: 解: (1)设

,由题意可得



解得





∴ =(0,1)或 = (2)∵向量 与向量 =(﹣ ∴ = ∵ 与 =( ∴ 解得 = x, .

. ,1)共线,

)的夹角为钝角, 且 ≠ 0,

或 0<x<1,且 x≠﹣1. 或 0<x<1,且 x≠﹣1. .

∴实数 x 的取值范围是

点评: 本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、单位向量、向量共线定理,考查了推理 能力和计算能力,属于中档题. 20. (13 分)已知公比为 q 的等比数列{an}是递减数列,且满足

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{(2n﹣1)?an}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 a1a2a3= 及等比数列性质得 = ,可求得 a2= ,根据等比数列的通

项公式求出数列的首项和公比,然后求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)利用错位相减法可求数列{(2n﹣1)?an}的前 n 项和为 Tn; 解答: 解:由 a1a2a3= ,及等比数列性质得 = ,解得 a2= ,

由 a1+a2+a3=

得 a1+a3=

由以上得





=

,即 3q ﹣10q+3=0,解得 q=3,或 q= .

2

∵{an}是递减数列,故 q=3 舍去, ∴q= ,由 a2= ,得 a1=1. 故数列{an}的通项公式为 an= (n∈N ) .
*

(II)由(I)知(2n﹣1)?an=



∴Tn=1+ +

+…+

①, Tn= +

++…+

+

②.

①﹣②得: Tn=1+ +

+

+…+



=1+2( +

+

+ …+

)﹣

=1+2?



=2﹣





∴Tn=3﹣



点评: 本题主要考查等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和, 考查学生的运 算求解能力,属中档题. 21. (14 分)已知 f(x)=aln(x﹣1) ,g(x)=x +bx,F(x)=f(x+1)﹣g(x) ,其中 a, b∈R. (I)若 y=f(x)与 y=g(x)的图象在交点(2,k)处的切线互相垂直,求 a,b 的值; (Ⅱ)当 b=2﹣a,a>0 时,求 F(x)的最大值; (Ⅲ)若 x=2 是函数 F(x)的一个极值点,x0 和 1 是 F(x)的两个零点,且 x0∈(n,n+1) , n∈N,求 n. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用.
2

分析: (Ⅰ)根据导数的几何意义建立切线斜率之间的关系建立方程,求 a,b 的值; (Ⅱ)利用导数判断函数的单调性求出最大值; (Ⅲ)根据导数和函数极值之间的关系建立方程,即可求 n; 解答: 解: (I)f′(x)= ,g'(x)=2x+b…(1 分)

由题知

,即

…(2 分)

解得 a=﹣ ,b=﹣2. (Ⅱ)当 b=2﹣a 时,F(x)=alnx﹣[x +(2﹣a)x], ∴F′(x)= ﹣2x﹣(2﹣a)= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ∵a>0,∴ >0,又 x>0,x+1>0, 则由 F′(x)=0,解得 x= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) F(x)与 F′(x)的变化情况如下表: x (0, ) ( 0 ﹣ 极大值↘ ]=aln + ﹣a.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,+∞) = ,﹣﹣﹣﹣﹣
2

F′(x)+ F(x) ↗

∴F(x)max=F( )=aln ﹣[ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分)

(Ⅲ)F(x)=f(x+1)﹣g(x)=alnx﹣(x +bx) ,F′(x)= ﹣2x﹣b

2

由题知
2

,即

,即解得 a=6,b=﹣1…(11 分)

∴F(x)=6lnx﹣(x ﹣x) ,F′(x)= ﹣2x+1=



∵x>0,由 F'(x)>0,解得 0<x<2;由 F'(x)<0,解得 x>2 ∴F(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)单调递减, 故 F(x)至多有两个零点,其中 x1∈(0,2) ,x2∈(2,+∞)…(12 分) 又 F(2)>F(1)=0,F(3)=6(ln3﹣1)>0,F(4)=6(ln4﹣2)<0 ∴x0∈(3,4) ,故 n=3 …(14 分) 点评: 本题主要考查导数的应用, 要求熟练掌握函数的性质和导数之间的关系, 考查学生 的运算能力.



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