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2.4.1 抛物线及其标准方程


2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1 抛物线及其标准方程

关岭民族高级中学 高二数学组 2016年12月

?

1. 生活中的抛物线

2.数学中的抛物线

二次函数图象是抛物线

(一)抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条 定直线l(l不经过点F)的距离 相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫抛物线的焦点,
H

d M

·

C
焦 点

·
F

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

e=1

d 为 M 到 l 的距离

思考?

如果点F在直线l上,满足条件的点的 轨迹是抛物线吗?

注:若F ? L,则满足到定点F和定直线L的距离相等的点的 轨迹是过点F且垂直于直线L的一条直线.

探索研究 推出方程
想 一 想
l

求曲线方程 的基本步骤

比较椭圆、双曲线标准 方程的建立过程,你认 为应如何建立坐标系, 使所建立的抛物线的方 程更简单?

· F

(二)抛物线的标准方程
如图,以过F点垂直于直线l的直线为x轴, F 和垂足K的中点为坐标原点建立直角坐标系.
设|FK|=p(p>0)(p表示焦点到准线的距离),M(x,y)

p p 则焦点F ( , 0), 准线l : x = 2 2
由抛物线定义知:|MF|=d

y

l
K

d

.M .
F

p p 2 2 即: ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2
2 2 p p ? x 2 ? px ? ? y 2 ? x 2 ? px ? 4 4

O

x

? y ? 2 px, ( p ? 0)
2

探究:在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择 不同的坐标系我们得到不同形式的标准方程。那 么,抛物线的标准方程有哪些不同的形式?
y

o

x

想一想:怎样推导出其它几种形式的方程?

四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程 焦点坐标
y ? 2 px ? p ? ,0 ? ? ? p ? 0? ? 2 ?
2

准线方程

p x?? 2

y ? ?2 px ? p ? ? ? ,0 ?
2

? p ? 0?

?

2

?

p x? 2
p y?? 2

p? x 2 ? 2 py ? ? 0, ?

? p ? 0?
2

?

2?

x ? ?2 py ? p ? 0?

p? ? ? 0,? ? 2? ?

p y? 2

▲如何确定各曲线的焦点位置?



圆:看x2 与y2分母大小

双曲线:看x2 与y2的符号 抛物线:1.看一次项变量(x或y)定焦点

2. 一次项系数正负定开口方向

(三)例题讲解

例1 已知抛物线的标准方程是
y2 = 6x, 求它的焦点坐标和准线方程;

3 ∴抛物线的焦点坐标是( 2,0) 3 准线方程是x= ? 2

解: ∵2P=6,∴P=3

1 是一次项系数的 4
是一次项系数的

的相反数

1 4

例2 已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)
求它的标准方程。

解: 因为焦点在y的负半轴上,
所以设所求的标准方程为x2= -2py P ? 2 , 即p=4 由题意得 2 ∴所求的标准方程为x2= -8y

感悟:用待定系数法求抛物线标准方程应先确定抛物
线的形式,再求p值。

(五)课堂小结
一个定义:平面内与一个定点F的距离和一条定直线l 的距离
相等的点的轨迹叫做抛物线。 两类问题:①求抛物线标准方程; ②已知方程求焦点坐标和准线方程。

三项注意:①定义的前提条件:直线l 不经过点F;
② p的几何意义:焦点到准线的距离; ③标准方程表示的是顶点在原点,对称轴为坐标轴

的抛物线。

四种形式:

抛物线的标准方程有四种: y2=2px(p>0) y2= -2px(p>0) x2=2py(p>0) x2= -2py(p>0)

(六)布置作业:

习题2.4

P73 A组 1、2
y ? ax 2 (a ? 0)

3、课本P66思考:
二次函数 的图像为什么是抛物 线?指出它的焦点坐标、准线方程。

1 y ? ax (a ? 0) ? x ? y a
2 2

1 ? ? ?2 p a

当a>0时与当a<0时,结论都为:

1 1 焦点(0, )准线y=4a 4a


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