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2011年湖北省鄂州市中考数学试题(解析版)


湖北鄂州市 2011 年初中毕业生学业水平考试

数学试题
(考试时间 120 分钟
一、填空题(共 8 道题,每小题 3 分,共 24 分) 1. (2011 湖北鄂州,1,3 分) ?

满分 120 分)

1 的倒数是________. 2 1 1 = ?2 , 【解题思路】 ? 的倒数是: : 。 1 2 ? 2
【答案】-2

【点评】本题考查了倒数的概念,即当 a≠0 时,a 与 倒数还是负数,此题难度较小。

1 互为倒数。特别要注意的是:负数的 a

2. (2011 湖北鄂州,2,3 分)分解因式 8a2-2=____________________________. 【解题思路】本题要先提取公因式 2,再运用平方差公式将 (4a 2 ? 1) 写成 (2a + 1)(2a ? 1) , 即原式可分解为:8a2-2 = 2(4a 2 ? 1) = 2(2a + 1)(2a ? 1) 【答案】2(2a+1) (2a-1) 【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,先提取公因式后再利用平方差公式继续 进行因式分解, 分解因式一定要彻底. 利用相应的公式和分解因式的先后顺序即可得到答案。 (分解因式即将一个多项式写成几个因式的乘积的形式) 。 难度中等。

3 . 2011 湖 北 鄂 州 , 3 , 3 分 ) 要 使 式 子 ( _____________________. 【解题思路】 :

a+2 有意义,则 a 的取值范围为 a

此式子要有意义首先分母不为 0, 分子中的二次根式中的被开方数≥0, 所以 a+2 ≥ 0且a ≠ 0 时,才有意义。 【答案】a≥-2 且 a≠0 【点评】本题考查分式有意义分母不为 0,二次根式有意义被开方数≥0,同时还涉及解不 等式的知识,综合性较强。 难度中等 4. (2011 湖北鄂州,4,3 分)如图:点 A 在双曲线 y =

k 上,AB⊥x 轴于 B,且△AOB x

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的面积 S△AOB=2,则 k=______.

y

B O A 第 4 题图 【解题思路】:由反比例函数解析式可知:系数 k = x ? y , ∵S△AOB=2 即 k = x

1 x ? y = 2 ,∴ k = xy = 2 × 2 = 4 ; 2

又由双曲线在二、四象限 k<0,∴k=-4 【答案】-4 【点评】本题考查反比例函数 k 值的确定,结合三角形面积的 2 倍即是 k 的绝对值,再观察 反比例函数图像所在的象限,从而确定 k 的符号。体现数形结合,有一定的综合性。 难度中等 5. (2011 湖北鄂州,5,3 分)如图:矩形 ABCD 的对角线 AC=10,BC=8,则图中五个小 矩形的周长之和为_______. A D

B

第 5 题图

C

【解题思路】由矩形性质可知∠B=90°,对角线 AC=10,BC=8 可运用勾股定理得 AC=6; 再利用平移的知识将每个小矩形的边分别上、下、左、右平移即可发现 5 个小矩形的周长之 和是矩形 ABCD 的周长=(6+8)×2=28。 【答案】28 【点评】本题考查勾股定理和平移的知识,体现图形变换的数学问题,涉及操作与知识相结 合。学生比较容易发现,从而求解。 难度较小 6. (2011 湖北鄂州,6,3 分)如图,在△ABC 中 E 是 BC 上的一点,EC=2BE,点 D 是 AC 的中点,设△ABC、△ADF、△BEF 的面积分别为 S△ABC,S△ADF,S△BEF,且 S△ABC=12, 则 S△ADF-S△BEF=_________.

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A

D F B E 第 6 题图 C

【解题思路】 D 是 AC 的中点且 S△ABC=12, 由 可得 S ?ABD = 即 EC=

1 1 S ?ABC = ×12 = 6 ; EC=2BE 同理 2 2

1 1 BC ,可得 S?ABE = ×12 = 4 ,又 S?ABE ? S?ABF = S?BEF , S?ABD ? S?ABF = S?ADF 等 3 3

量代换可知 S△ADF-S△BEF=2 【答案】2 【点评】 此题考查高不变, 底为中点或三等分点构成的三角形与原三角形的面积之间的关系, 就是底之间的关系;另考查转换的数学思想方法。 难度较小。

7.2011 湖北鄂州, 3 分) ( 7, 若关于 x, 的二元一次方程组 ? y 则 a 的取值范围为______. 【解题思路】 : 法一: ?

?3 x + y = 1 + a 的解满足 x + y<2 , ?x + 3y = 3

?3 x + y = 1 + a(1) 4+a a = 1 + <2 ∴ 将(1)+(2)得 4 x + 4 y = 4 + a ,则 x + y = 4 4 ? x + 3 y = 3(2)

a<4. 法二:也可解方程组(用含 a 的代数式表示 x、y,再用含 a 的代数式表示 x+y,解有关 a 的不 等式。 【答案】a<4 【点评】:此题更侧重考查学生的观察能力(1)+(2)系数相同,用法一易得 x+y,求解较 简便,有整体的数学思想的考查初衷,然后是考查不等式的解法,有一定的综合性。用法二 也可,但计算较繁。 难度中等。 8. (2011 湖北鄂州,8,3 分)如图,△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 平 分线 BP 交于点 P,若∠BPC=40°,则∠CAP=_______________. A P

B

第 8 题图

C

D
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【解题思路】是利用角平分线的性质定理和判定定理证 AP 是∠BAC 外角的平分线!

而∠BAC=2∠BPC 也是可证的!由∠BPC=40°和角平分线性质, 得∠ACD-2∠ABC=2×40°=80°即∠BAC=80°, 则∠BAC 的外角为 100°,∠CAP=

1 ×100°=50°。 2

【答案】50° 【点评】此题考查学生对角平分线性质和三角形外角的知识,学生要证 AP 是∠BAC 外角的 平分线,需要添加辅助线才行。 难度较大 二、选择题(A,B,C,D 四个答案中,有且只有一个是正确的,每小题 3 分,共 21 分) 9. (2011 湖北鄂州,9,3 分)cos30°=( ) A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D. 3

【解题思路】 直接作答:cos30°=

3 0 0 0 。也可分析 A:sin 30 、B: cos 45 、D: tan 60 2

【答案】C 【点评】 :直接考查特殊三角函数值,学生可通过记忆特殊三角函数值,也可结合画直角三 角形求解。 难度较小。

(- ) =( 10. (2011 湖北鄂州,10,3 分)计算 ?2 + ( ?2 ) ?
2 2 -1

1 2



A.2

B.-2

C.6

D.10

【解题思路】 :正面求解:原式= ?4 + 4 ?

1 = 0 ? (?2) = 2 1 ? 2

【答案】A 【点评】此题考查有理数的运算包括 2 的平方的相反数; (-2)的平方;及 ? 涉及有理数计算等问题,尤其符号容易出错,需要细心求解。 难度较小 11. (2011 湖北鄂州,11,3 分)下列说法中 ①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等 ②数据 5,2,7,1,2,4 的中位数是 3,众数是 2 ③等腰梯形既是中心对称图形,又是轴对称图形 ④Rt△ABC 中,∠C=90°,两直角边 a,b 分别是方程 x2-7x+7=0 的两个根,则 AB

1 的-1 次幂, 2

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边上的中线长为

1 35 2

正确命题有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【解题思路】 ①:画图可发现应考虑 2 种情况, 还可以互补, 命题不正确; 排列为 1, ②: 2,2,4,5,7 中位数为

2+4 =3,众数为 2,命题正确;③等腰梯形只是轴对称图形, 2
2 2 2

不是中心对称图形,命题不正确; ④ AB = a + b = x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ? 2 x1 ? x2 = [ ?(?7)] ? 2 × 7 = 35 ,
2 2 2 2

∴AB=

35 ,而斜边上的中线等于斜边的一半为

1 35 ,正确。 2

所以正确的有②、④,2 个。 【答案】C 【点评】本题考查概念有角;中位数、众数;特殊四边形的对称性;一元二次方程根与系数 的关系、勾股定理、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半等综合了多个基础知识点。认真 分析每一个命题,就能正确解答。难度中等 12. (2011 湖北鄂州,12,3 分)一个几何体的三视图如下:其中主视图都是腰长为 4、底 边为 2 的等腰三角形,则这个几何体的侧面展开图的面积为( ) A. 2π 4 B.

1 π 2
4

C. 4π

D. 8π

2 左视图

2 右视图 第 12 题图

俯视图

【解题思路】此题宜正面求解。先判断此几何体为圆锥,侧面展开图为扇形;再由三视图得 到扇形母线为 4、弧长为圆锥底面圆的周长;最后运用公式 S =

1 1 lR = π? 2 × 4=4 π 2 2

【答案】C 【点评】 此题考查学生由三视图判断出几何体为圆锥, 再考查圆锥侧面展开图--扇形面积公 式 S=

1 lR ,需要利用直径求出圆锥底面周长,并将其准确代入对应的公式是解题的关键。 2

难度较小 13. (2011 湖北鄂州,13,3 分)如图,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点 C,交 AB 的延 长线于 D,且 CO=CD,则∠PCA=( ) A.30° B.45° C.60° D.67.5°

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P C A D

O

B

第 13 题图 【解题思路】PD 切⊙O 于点 C,交 AB 的延长线于 D,且 CO=CD 得∠COD=45°、∠PCO=90°。再由 OA=OC,及外角知识得∠ACO=22.5°; 又∠PCA+∠ACO=90°,所以∠PCA=90°-∠ACO=67.5°。 另外也可考虑直径条件连结 BC 求解。 【答案】D 【点评】本题切线的性质和等边对等角及外角、余角等边角之间的关系。只要充分挖掘条件 和图形中边角的内在联系就可顺利求解。 难度较小。 14. (2011 湖北鄂州,14,3 分)如图,把 Rt△ABC 放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°, BC=5,点 A、B 的坐标分别为(1,0)(4,0) 、 ,将△ABC 沿 x 轴向右平移,当点 C 落 在直线 y=2x-6 上时,线段 BC 扫过的面积为( ) A.4 y B.8 C.16 D. 8 2

C

O

A

Bx

第 14 题图 【解题思路】将△ABC 沿 x 轴向右平移,当点 C 落在直线 y=2x-6 上时即当 y=4 时,解得 x=5 , 所 以 平 移 的 距 离 为 5-1=4 , 又 知 BC 扫 过 的 图 形 为 平 行 四 边 形 , 高 不 变 为 :

52 ? (4 ? 1) 2 = 4 ,所以平行四边形面积=底×高=4×4=16.
【答案】C 【点评】此题涉及运用勾股定理;已知一次函数解析式中的 y 值,解函数转化的一元一次方 程求出 x 值,利用横坐标之差计算平移的距离;以及平行四边形面积公式。运用数形结合、 平移变换、动静变化的数学思想方法是解此题的关键,综合性较强。 难度中等

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?( x ? 1)2 ? 1( x≤3) ? 15. (2011 湖北鄂州,15,3 分)已知函数 y = ? ,则使 y=k 成立的 x 值 2 ?( x ? 5 ) ? 1( x>3) ?
恰好有三个,则 k 的值为( A.0 B.1 C.2 ) D.3

【解题思路】如图: 利用顶点式及取值范围,可画出函数图象会发现:当 x=3 时,y=k 成立的 x 值恰好有三个, 此时 y= 3-1 -1=3或(3-5)-1=3 ,则 k 的值为 3。 ( )
2 2

【答案】D 【点评】用数形结合更容易求解,当 y 一定时 x 值得个数也一定,0 个、1 个、2 个、3 个、 4 个几种情况。抓住顶点式和 x 的取值范围作图是解此题的关键所在。 难度中等 难度中等 三、解答题(共 9 道大题,共 75 分) 16. (2011 湖北鄂州,16,5 分)解方程:

2 x + =1 x x+3

【解题思路】

方程两边同乘x( x + 3), 得 2(x+3)+x ? x=x(x+3)
2 2

去括号 ,得 2 x + 6 + x = x + 3x 移相合并同类项,得 -x=-6 系数化为 1,得 x=6 检验:当 x=6 时, x(x+3) ≠ 0 ,所以 x=6 是原方程的根。 【答案】x=6 【点评】考查解最基本的分式方程的技能,学生只要掌握解分式方程的一般步骤即可得分。 这种直接考查基本技能的考法有效提高了考查结果的效度和信度. 难度较小 17. (2011 湖北鄂州,17,6 分)为了加强食品安全管理,有关部门对某大型超市的甲、乙 两种品牌食用油共抽取 18 瓶进行检测,检测结果分成“优秀”“合格”“不合格”三 、 、 个等级,数据处理后制成以下折线统计图和扇形统计图. ⑴甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测? ⑵在该超市购买一瓶乙品牌食用油,请估计能买到“优秀”等级的概率是多少?

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瓶数

10 7
优秀 60% 不合格的 10% 合格的 30%

1 0

等级 优秀 合格 不合格 甲种品牌食用油检测结果 扇形分布图

两种品牌食用油检测结果折线图

图⑴

第 17 题图

图⑵

【解题思路】 分别观察折线和扇形图不合格的 1 瓶占甲的 10%, (1) 所以甲被抽取了 10 瓶, 已被抽取了:18-10=8 瓶。 (2)结合两图及问题(1)得乙优秀的瓶数共 10 ? 10 × 60%=4 瓶,所以优秀率为

4 1 = 8 2

【答案】 ⑴(由不合格瓶数为 1 知道甲不合格的瓶数为 1)甲、乙分别被抽取了 10 瓶、8 瓶 ⑵P(优秀)=

1 2

【点评】评析本题以学生在生活中常见的食用油安全问题为素材,以双图(折线统计图+扇 形统计图)的形式交叉呈现数据。学生需要通过读图,分析图获得信息,进而深入分析两个 图之间相互联系,互相补充获得数据,较好地考查了学生利用统计图描述数据的能力,以及 考查学生分析问题和解决问题的能力。 在解决问题的过程中只有读懂图才能完成后边的计算 问题,问题设计环环相扣,层层递进,这种考法有利于落实对学生的综合判断能力的考查. 难度中等 18. (2011 湖北鄂州,18,7 分)如图,在等腰三角形 ABC 中,∠ABC=90°,D 为 AC 边 上中点,过 D 点作 DE⊥DF,交 AB 于 E,交 BC 于 F,若 AE=4,FC=3,求 EF 长. A

D E

B

第 18 题图

F

C

【解题思路】连结 BD,证△BED≌△CFD 和△AED≌△BFD,得 BF=4,BE=3,再运用 勾股定理求得 EF= BE + BF = 5
2 2

【答案】连结 BD,证△BED≌△CFD 和△AED≌△BFD,求得 EF=5 【点评】 此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半, 三角形全等的判定和性质和勾 股定理。只要抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定,解决起来并不困难。
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难度中等 19. (2011 湖北鄂州,19,7 分)有 3 张扑克牌,分别是红桃 3、红桃 4 和黑桃 5.把牌洗匀 后甲先抽取一张,记下花色和数字后将牌放回,洗匀后乙再抽取一张. ⑴先后两次抽得的数字分别记为 s 和 t,则︱s-t︱≥1 的概率. ⑵甲、 乙两人做游戏, 现有两种方案. 方案: A 若两次抽得相同花色则甲胜, 否则乙胜. B 方案:若两次抽得数字和为奇数则甲胜,否则乙胜. 请问甲选择哪种方案胜率更高? 【解题思路】 (1)如下表 甲(s) 红桃 3 红桃 4 黑桃 5 乙(t) 红桃 3 红桃 4 黑桃 5

3?3 = 0 3? 4 =1 3?5 = 2

4 ?3 =1 4?4 = 0 4 ?5 =1

5?3 = 2 5? 4 =1 5?5 = 0

由上表可知:︱s-t︱≥1 的概率= (2)方案 A:如表 甲(花色) 乙 ( 花 红桃 3 红桃 4 黑桃 5

6 2 = 9 3

(也可画树形图求解) 。

红桃 3 同色 同色 不同色

红桃 4 同色 同色 不同色

黑桃 5 不同色 不同色 同色

= 由上表可得 P (甲胜)
方案 B:如表

5 9

甲 乙 红桃 3 红桃 4 黑桃 5

红桃 3 3+3=6 4+3=7 5+3=8

红桃 4 3+4=7 4+4=8 5+4=9

黑桃 5 3+5=8 4+5=9 5+5=10

= 由上表可得 P (甲胜)
因为

4 9

5 4 > ,所以选择 A 方案甲的胜率更高. 9 9 2 5 4 = ,B 方案 P = ,故选择 A 方案甲的胜率更高. 【答案】⑴ ⑵A 方案 P (甲胜) (甲胜) 3 9 9
【点评】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率方法. 列表法或画树状图法可以不重复 不遗漏的列出所有可能的结果,列表适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求 情况数与总情况数之比. 难度中等

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20. (2011 湖北鄂州,20,8 分)今年我省干旱灾情严重,甲地急需要抗旱用水 15 万吨,乙 地 13 万吨.现有 A、B 两水库各调出 14 万吨水支援甲、乙两地抗旱.从 A 地到甲地 50 千米,到乙地 30 千米;从 B 地到甲地 60 千米,到乙地 45 千米. ⑴设从 A 水库调往甲地的水量为 x 万吨,完成下表 甲 乙 总计 调入地 水量/万吨
调出地

A x 14 B 14 15 13 28 总计 ⑵请设计一个调运方案, 使水的调运量尽可能小. (调运量=调运水的重量×调运的距离, 单位:万吨?千米) 【解题思路】通过读题、审题 (1)完成表格有 2 个思路:从供或需的角度考虑,均能完成上表。 (2)运用公式(调运水的重量×调运的距离) 总调运量=A 的总调运量+B 的总调运量调运水的重量×调运的距离 y=50x+(14-x)30+60(15-x)+(x-1)45=5x+1275(注:一次函数的最值要得到自变 量的取值范围)∵5>0∴y 随 x 的增大而增大,y 要最小则 x 应最大

? x≥0 ?14 ? x ≥ 0 ? 由? 解得 1≤x≤14 15 ? x ≥ 0 ? ? x ?1 ≥ 0 ?
y=5x+1275 中∵5>0∴y 随 x 的增大而增大,y 要最小则 x 应最小=1 ∴调运方案为 A 往甲调 1 吨,往乙调 13 吨;B 往甲调 14 吨,不往乙调。 【答案】⑴(从左至右,从上至下)14-x 15-x x-1 ⑵y=50x+(14-x)30+60(15-x)+(x-1)45=5x+1275 解不等式 1≤x≤14 所以 x=1 时 y 取得最小值 y=5+1275=1280 ∴调运方案为 A 往甲调 1 吨,往乙调 13 吨;B 往甲调 14 吨,不往乙调。 【点评】 这样的“方案决策类”试题, 其所考查的内容和思想方法却是非常重要的, 其考查目的也是一般的函数与不等式题目所不能完全体现的,具有一定的独特性和挑战 性.在多数情况下,解这种试题要以“不等式” 作为解决问题的工具,且由于题中含有 由“不确定”中找确定的因素,所以关联了函数与不等式等数学模型的建立与应用。此题 中要确定一个量的范围的问题,就要转化为不等式的问题. 上题对于学生来说问题情境还是比较熟悉的,且题目中都是显性的条件,学生通过 认真审题能比较容易将实际问题转化为数学问题,从而求解。第(2)问需要借助题目中 隐含的不等关系--难点,列出不等式组,并确定出不等数组的解,从而利用一次函数的增 减性选择最值,得到最佳方案。 难度较大

21. (2011 湖北鄂州, 8 分) 21, 如图, 防洪大堤的横断面是梯形, 背水坡 AB 的坡比 i = 1: 3
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(指坡面的铅直高度与水平宽度的比) .且 AB=20 m.身高为 1.7 m 的小明站在大堤 A 点,测得高压电线杆端点 D 的仰角为 30°.已知地面 CB 宽 30 m,求高压电线杆 CD 的高度(结果保留三个有效数字, 3≈ 1.732). D

N

M A

C

B 第 21 题图

【解题思路】如图:延长 MA 交 CB 于点 E. CD=DN+CN=DN+ME. D

N

M A

C

B E 第 21 题图 在 Rt?ABE 中,背水坡 AB 的坡比 i = 1: 3 可知 tan ∠ABE =

1 3 = = tan 300 , 3 3

得 ∠ABE = 30 。又 AB=20 m,所以 AE=
0

1 3 ×20=10m,BE=20× = 10 3 m 2 2

所以 NC=ME=MA=AE=1.7+10=11.7m

Rt?AMN 中,∠AMN=30°,MN=CE=CB+BE=(30+ 10 3 )m
DN=

3 × (30 + 10 3) = (10 3 + 10)m 3

所以旗杆高度 CD=DN+CN=DN+ME=11.7+ 10 3 + 10 = 21.7 + 10 3 ≈36.0m 【答案】 21.7 + 10 3 ≈36.0 【点评】此题首先将 CD 分成两部分 DN 和 CN,再将坡度概念转化成解直角三角形的知识, 利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值, 运用线段间的关系即可求出相关线段的长。 难度中等。
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22. (2011 湖北鄂州,22,8 分)在圆内接四边形 ABCD 中,CD 为∠BCA 外角的平分线, F 为弧 AD 上一点,BC=AF,延长 DF 与 BA 的延长线交于 E. ⑴求证△ABD 为等腰三角形. ⑵求证 AC?AF=DF?FE M D

C

F

B 第 22 题图

A

E

【解题思路】 (1)利用同角的补角相等,同弧所对的圆周角相等,等量代换; (2)证等积式就要找三角形相似,发现 AC、AF、FE 所在的三角形,且利用等弧对等弦,同 圆中等弦对等弧,发现 DF 可以被 DC 替换,进而求解。 【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,所以∠ DBA=∠DAB,故△ABD 为等腰三角形. ⑵∵∠DBA=∠DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠CDB=∠FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE ∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△ FAE ∴AC:FE=CD:AF ∴AC?AF= CD ?FE 而 CD=DF, ∴AC?AF=DF?FE 【点评】解决此题关键要用到与圆相关的性质、定理以及三角形相似的判定,等角对等边。 有一定的几何知识的综合性。考查学生审图,分析图中边角关系的解题技能。 难度中等 23. (2011 湖北鄂州, 12 分) 23, 我市某镇的一种特产由于运输原因, 长期只能在当地销售. 当 地政府对该特产的销售投资收益为:每投入 x 万元,可获得利润

P=?

1 2 .当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的 ( x ? 60 ) + 41 (万元) 100

销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资,在实 施规划 5 年的前两年中,每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路,两年修
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成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的 3 年中,该特产既在本地销售,也在 外地销售.在外地销售的投资收益为:每投入 x 万元,可获利润

Q=?

99 294 2 (100 ? x ) + (100 ? x ) + 160 (万元) 100 5

⑴若不进行开发,求 5 年所获利润的最大值是多少? ⑵若按规划实施,求 5 年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少? ⑶根据⑴、⑵,该方案是否具有实施价值? 【解题思路】 (1)利用顶点公式即可求解。 (2)前两年:0≤x≤50,在对称轴的左侧,P 随 x 增大而增大,当 x 最大为 50 时,P 值 最大且为 40 万元,所以这两年获利最大为 40×2=80 万元. 后三年:设每年获利为 y,设当地投资额为 x,则外地投资额为 100-x, 关键要注意此时的自变量只有一个,共投资 100 万,将 x 和 100 —x 分别代入相应的关 系式即可 得到 y 与 x 的二次函数关系式,进而利用配方法或顶点公式求出最值。 (3)把(1)(2)中的最值做比较即可发现有极大的实施价值。 、 【答案】解:⑴当 x=60 时,P 最大且为 41,故五年获利最大值是 41×5=205 万元. ⑵前两年:0≤x≤50,此时因为 P 随 x 增大而增大,所以 x=50 时,P 值最大且为 40 万 元,所以这两年获利最大为 40×2=80 万元. 后三年:设每年获利为 y,设当地投资额为 x,则外地投资额为 100-x,所以 y=P+Q =
2 ? 1 ? ( x ? 60 ) + 41? ? 100 ? ? ?

+

? 99 2 294 ? ? ? 100 x + 5 x + 160 ? ? ?

=

? x 2 + 60 x + 165

=

? ( x ? 30 ) + 1065 ,表明 x=30 时,y 最大且为 1065,那么三年获利最大为 1065×3=3495
2

万元, 故五年获利最大值为 80+3495-50×2=3475 万元. ⑶有极大的实施价值. 【点评】此题以实际问题为背景,重在体现数学在生活中的应用。 “数学来源于生活,应用 于生活。 ”考查的知识点是二次函数,利用抛物线顶点或抛物线图像的增减性求出最值得问 题,并把最值进行比较,从而得到最佳方案。虽然看上去关系式较复杂,但给出的是二次函 数顶点式,学生做起来还是较易突破的。 难度中等 24. (2011 湖北鄂州, 14 分) 24, 如图所示, 过点 F (0, 的直线 y=kx+b 与抛物线 y = 1)

1 2 x 4

交于 M(x1,y1)和 N(x2,y2)两点(其中 x1<0,x2<0) . ⑴求 b 的值. ⑵求 x1?x2 的值 ⑶分别过 M、N 作直线 l:y=-1 的垂线,垂足分别是 M1、N1,判断△M1FN1 的形状, 并证明你的结论. ⑷对于过点 F 的任意直线 MN, 是否存在一条定直线 m, m 与以 MN 为直径的圆相切. 使 如 果有,请法度出这条直线 m 的解析式;如果没有,请说明理由.

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y

F M O l M1 F1 第 24 题图

N

x N1

【解题思路】第(1)问,将 F(0,1)代入 y=kx+b 即可得 b 值。

? y = kx + 1 ? ⑵要将坐标转化为方程组的解,将方程组 ? 1 2 变形得关于 x 的一元二次方程, ?y = 4 x ?
再利用根与系数的关系得 x1 ? x2 =-4 (3)要结合条件并利用(2)中的结论得到 F1M1?F1N1=-x1?x2=4,结合(1)中的结论得 F F1=2,再把两个结论结合得到 F1M1?F1N1=F1F2 判定直角三角形相似,再利用直角三角形的相似性质, 就可得到∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°, 所以△M1FN1 是直角三角形. (4)表示线段长利用坐标所在的函数关系,将函数式相加减表示距离。 运用梯形中位线的性质,来证明。 【答案】解:⑴b=1

? x = x1 ? x = x2 ⑵显然 ? 和 ? 是方程组 ? y = y1 ? y = y2

? y = kx + 1 ? 的两组解,解方程组消元得 ? 1 y = x2 ? ? 4

1 2 x ? kx ? 1 = 0 ,依据“根与系数关系”得 x1 ? x2 =-4 4
y

F P M O l M1 F1 Q 第 24 题解答用图

N

x N1

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⑶△M1FN1 是直角三角形是直角三角形,理由如下: 由题知 M1 的横坐标为 x1,N1 的横坐标为 x2,设 M1N1 交 y 轴于 F1, 则 F1M1?F1N1=-x1?x2=4,而 F F1=2,所以 F1M1?F1N1=F1F2, 另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°,易证 Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1,得∠M1FF1=∠FN1F1, 故∠M1FN1=∠M1FF1+∠F1FN1=∠FN1F1+∠F1FN1=90°,所以△M1FN1 是直角三角形. ⑷存在,该直线为 y=-1.理由如下: 直线 y=-1 即为直线 M1N1. 如图,设 N 点横坐标为 m,则 N 点纵坐标为

1 2 1 m ,计算知 NN1= m2 + 1 , NF= 4 4

1 1 m 2 + ( m 2 ? 1)2 = m2 + 1 ,得 NN1=NF 4 4
同理 MM1=MF. 那么 MN=MM1+NN1,作梯形 MM1N1N 的中位线 PQ,由中位线性质知 PQ= +NN1)=

1 (MM1 2

1 MN,即圆心到直线 y=-1 的距离等于圆的半径,所以 y=-1 总与该圆相切. 2

【点评】 : 此题第(1)问,很简单就是代入求值,确定函数的系数。 (2)结合问题将一次、二次函数组合转化为一元二次方程,利用“根与系数”的关系求解。 (3)直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性质的运用。 (4)用函数的加减来求距离,梯形中位线。此题综合性很强,考查学生数形结合的思想, 综合了代数、几何中的重点知识要学生有很好的综合技能才可解决。 难度较大

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