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2015年辽宁重点中学协作体高考模拟考试文数



2015 年辽宁重点中学协作体高考模拟考试 数学(文科)试卷参考答案
一、选择题: BADB ACDD CBCB

二、填空题: 13. 2 14. 4 15.

1?

?
12

16.

2 6 9

三、解答题: 17.解

: (Ⅰ)

f ( x)的最小正周期T ? ? ?? ? 2

(

5? , 0为 ) f(x) 的对称点 24 )
-------------4 分

?2 ? ?? ?

5? ? ? ? ? ? k? ? 且0 ? ? ? 24 2 2

?

? f ( x) ? 2cos(2 x ?

?
12

12

令2k? ? ? ? 2 x ?

?
12

? 2k?

k? ?

13? ? ? x ? k? ? 24 24

13? ? ? ? k? ? ,k? ? ? k ? Z ………………………6 分 故 f(x)单调递增区间为: ? 24 24 ? ?
(Ⅱ)

A ? ? 2 f ( ? ) ? 2cos( A ? ) ? 2 ? cos( A ? ) ? 2 12 12 2 ? ? 11? ? ? ? ? ? A? ? ? A ? ? ? A ? ………………………………9 分 12 12 12 12 4 3

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 3bc
?b ? c ? 6

?(b ? c)2 ? 9 ? 3bc ? 9 ? 3(

b?c 2 ) 2

当且仅当 b ? c ? 3 时取等号

故 b ? c 的最大值为 6……………………………………12 分

18.解:18. 解: (1)记成绩为 87 分的同学为 A, B ,其他不低于 80 分的同学为 C、D、E,“从甲 班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有: (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)(C,D)(C,E)(D,E)共 10 个, ………2 分

“抽到至少有一个 87 分的同学”所组成的基本事件有: (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)一共 7 个, 所以所求事件的概率是 P= (2) 甲班 优秀 不优秀 合计 6 14 20 乙班 14 6 20 合计 20 20 40 …………………………7 分 …………………4 分 …………5 分

7 . 10

?2 ?

40? (6 ? 6 ? 14?14) = 6.400 ? 6.635 20? 20? 20? 20
2

………………………………10 分 …………………12 分

因此,我们没有 99%的把握认为成绩优秀与教学方式有关.

19.解: (1) 在等腰梯形 PDCB 中, DA ? PB , ? 在四棱锥 P ? ABCD 中, DA ? AB , DA ? PA , 又 PA ? AB , DC

AB ? DC ? PA, DC ? DA ,? DC ? 平面 PAD

DC ? 平面 PCD

? 平面 PAD ? 平面 PCD
(2)

……………………4 分

DA ? PA 且 PA ? AB , ? PA ? 平面 ABCD ,又 PA ? 平面 PAB ? 平面 PAB ? 平面

ABCD ,过 M 作 MN ? AB ,垂足为 N ,则 MN ? 平面 ABCD . 1 1 1 1 1 依据题意, VM ? ABC ? VP ? ABCD ,而 VP? ABCD ? S ABCD PA ? , ? VM ? ABC ? S ?ABC MN ? 3 3 2 3 6
又易知 AC ? BC ? 2 , AB ? 2
2 ? A C2 ? B C ? A2 B 即 AC ? BC

? S?ABC ? 1? MN ?

1 1 ,故 MN ? PA ,所以 M 是 PB 的中点. 2 2

…………8 分

由 AC ? BC , PA ? BC 得 BC ? 平 面 PAC , ? BC ? PC . 在 直 角 三 角 形 PAB 、 PBC 中

CM ? AM ?

1 5 6 PB ? ,又 AC ? 2 ,故可求得 S?MAC ? .设 B 到平面 MAC 的距离为 d , 2 2 4
d? 6 ....................12 分 3

则由

1 1 1 S ?MAC d ? S?ABC MN ? 得: 3 3 6

20.解:解: (1)设点 D 的坐标 ( a, b) ,由已知 B(1, 0) ,又 y ?= 2 x ,所以切线 l 的斜率 k = 2 ,



b 1 2 5 5 2 2 =, 且 a + b = 1 , 解 得 a= , 于 是 点 D 的 坐 标 为 ,b = a 2 5 5

(-

2 5

5

,

5 5

。 )

……………………4 分 切线 l 方程为 x0 x + y0 y = 1 ,

(2)证明设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 由点 D ( x0 , y0 ) 知 由? í

ì ? x0 x + y0 y = 1 ? y0 x2 2 ? ? ? y= x - 1

x0 x - y0 - 1 = 0 ,
x0 1 , , x1 x2 = - 1y0 y0

显然 D > 0 ,有 x1 + x2 = -

2 2 2 2 所以 x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + ( x1 - 1)( x2 - 1) = x1x2 + x12 x2 - ( x12 + x2 ) + 1=

x1x2 + ( x1x2 )2 - [( x1 + x2 )2 - 2x1x2 ] + 1 =
- 1x2 x 1 1 2 + (1+ )2 - ( 0 + 2 + ) + 1 = - 0 , x1 x2 = 2 y0 y0 y0 y0 y0
0 ,从而 ?MON 为钝角。
………………12 分

-

1 < 0 ,由此可知 OM ?ON y0

x ?x 21.解:(1) f ?( x) ? e ? me ,由题意得, f ?(ln 2) ? 2 ?

m ? 1, 2
……………3 分

则 m ? ?2 . (2)当 m ? 1 时, f ?( x) ? e x + e? x , 设 h( x) ? f ( x) ? ax3 ? 3ax ,则 h?( x) ? f ?( x) ? 3ax2 ? 3a ,

当 x ≥ 1 时 f ?( x) ? 0 ,且 3ax 2 ? 3a ? 0 ,∴ h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在 [1, ??) 上单调递增,
3 ? 3x0 ) , ∵存在 x0 ? [1, ? ?) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x0

∴即存在 x0 ? [1, ? ?) ,使得 h( x0 ) ? 0 ,

1? 1? 1 ∴ h(1) ? e ? ? 2a ? 0 ,即 a ? ? e ? ? . 2? e? e

……………………………………7 分

ae?1 ? ln ae?1 ? ln ea ?1 ? (e ? 1)ln a ? a ? 1, ea ?1 e ?1 e ?1? a 1? 1? ?1 ? , a ? ?e ? ? 设 m(a) ? (e ? 1) ln a ? a ? 1 ,则 m?(a) ? a a 2? e?
∵ ln
1? 1? 当 ? e ? ? ? a ? e ? 1 时, m?(a) ? 0 , m(a) 单调递增, 2? e?

当 a ? e ? 1 时, m?(a) ? 0 , m(a) 单调递减,
1? 1? 1? 1? 因此 m(a) 在 a ? ? e ? ? 时至多有两个零点,而 m(1) ? m(e) ? 0 ,且 ? e ? ? ? 1 , 2? e? 2? e? 1? 1? 所以,当 ? e ? ? ? a ? e 时, m(a) ? 0 , a e ?1 ? ea ?1 ; 2? e?

当 a ? e 时, m(a) ? 0 , a e ?1 ? ea ?1 ; 当 a ? e 时, m(a) ? 0 , a e ?1 ? ea ?1 . ……………………………………………12 分 A 22.解: (1)连接 AF、OE、OF 则A 、F、G、H 四点共圆 F O C G E

EF 是切线知 OF ? EF ??FGE ? ?BAF ? ?EFG ……………5 分 ? EF ? EG
(2) OE 2 ? OH 2 ? HE 2 ? OF 2 ? EF 2

H B

D

? EF 2 ? OH 2 ? HE 2 ? OF 2 ? 32 ? 82 ? 52 ? 48

? EF ? EG ? 4 3 ? GH ? EH ? EG ? 8 ? 4 3

……10 分

23.解: (1) C1:y ? mx ? 2m ? 1

C2 : x2 ? y 2 ? 4 y ? 0( y ? 0)
(2)当直线与圆相切时

……5 分

?d ?

?2 ? 2m ? 1 m2 ? 1

? 2 ?m ? ?

5 12

当直线过(0,0)点时 ??2m ? 1 ? m ? ? 综上: m ? ?

1 2

5 1 或m ? ? 12 2

……………………10 分

1 ? ? ?5 x , x ? 2 ? 1 ? 24.解: (1)设 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ?? x ? 2, ? x ? 1 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1 ? ?
由图象可知, F ( x) ? 0 的解集 x ? (0, 2) ……………………5 分

(2)当 x ? ? ?

? a 1? , ? 时, f ( x) ? 1 ? a 不等式f ( x) ? g ( x) 可化为1 ? a ? x ? 3 ? 2 2?

? a 1? ? x ? a ? 2 对 x ? ? ? , ? 恒成立, ? 2 2?
?? a 4 ? a ? 2 故 ?1 ? a ? 2 3
……………………10 分



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