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巧解椭圆离心率的取值范围


巧解椭圆离心率的取值范围
河北容城中学 牛文国 邮编 071700

在椭圆问题中经常会遇到下面一类问题,就教学中的一些体会提供此类问 题的常规解法,供大家参考。 设椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两焦点为 F1 , F2 , 若在椭圆上存在一点 a2 b2

p ,使 PF 1 ? PF 2 ,求椭圆 e 的取值范围。
解析 1: 设 P ? x, y ? , 由 PF 1 ? PF 2得 代入

y y 2 2 2 ? ? ?1 , 即y ?c ?x , x?c x?c

x2 y2 a 2 ?c 2 ? b 2 ? 2 2 2 2 x ? ? ? 1 得 ,? x ? 0 ? c ? b 2 2 2 c a b
2 2 2

即 c ? a ? c ,? e ?

2 c 2 又 e ? 1? ? e ?1 ? 2 a 2

解析 2:令 pF 1 ? m, PF 2 ?n 则 m ? n ? 2a 由 PF 1 ? PF 2

? m 2 ? n 2 ? 4c 2

? 4c 2 ? m 2 ? n 2 ?

?m ? n?2
2

? 2a 2

即e ?
2

c2 1 ? a2 2

又 0 ? e ? 1?

2 ? e ?1 2

F1 F2为直径的圆上 又 P 在椭圆上, 解析 3:? PF 1 ? PF 2 ? P点在以

? P为圆x 2 ? y 2 ? c 2 与

x2 y2 ? ? 1 的公共点。由图可知 a2 b2

b ? c ? a ? b2 ? c2 ? a2 ? a 2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ?
说明:椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长。 解析 4:椭圆

2 ? e ?1 2

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 当 P 与短轴端点重合时∠ F1PF2 最 a2 b2

大 此题是否可以得到启示呢? 无妨设满足条件的点 P 不存在 ,则∠ F1PF2 < 90
0

?0 ?

c 2 又0 ? e ? 1 ? sin ?OPF1 ? sin 450 ? a 2 2 ? e ?1 2

所以若存在一点 P 则

说明:在解此类问题时要充分利用椭圆的定义、均值不等式、椭圆的几 何性质。


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