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三角函数复习(学案)


三角函数复习(学案)

任意角 的概念 弧度制 与角度制 任意角的 三角函数 同角三角函 数基本关系式 诱导 公式

知识结构
应用

三角函数的 图像和性质

应用
一、任意角的概念 1.定义: ________________________________________________________________________. 2.掌握象限角与轴线角的概念、终边相同的角的表示、终边对称的角之间的关系、已知 ? 是 第几象限角,确定 3.

?

n

? n ? ? ? 所在象限的方法、角域的表示方法。
*

二、弧度制与角度制 1.________________________________________叫做 1 弧度。
? 2. 弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ?
?

?
180

,1 ? ?

? 180 ? ? ? ? 57.3 ? ? ?

?

3.若扇形的圆心角为 ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则

1 1 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 。 2 2
例:已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。

三、任意角三角函数 1. 任意角三角函数的定义:______________________________________________________ _______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________. 例: (1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为__。 ( y T .2.三角函数线的特征是: 正弦线 MP “站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 、 B S P 余弦线 OM“躺在 x 轴上(起点是原点)” 、正切线 AT“站在点 A(1, 0) 处(起点是 A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小 和解三角不等式。 例: (1) 若?
α O M A x

?
8

?? ? 0 , 则n s i c , o s? a n , t

?

?

的大小关系为________

(2)若 ? 为锐角,则 ? ,sin ? , tan ? 的大小关系为___________ (3)函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg(2 sin x ? 3) 的定义域是___________

3.特殊角的三角函数值: 30° 45° 60°

0° 0

90° 1

180° 0

270° -1

15°

75°

sin ?

1 2

2 2 2 2
1

3 2
1 2

6? 2 4 6? 2 4
2- 3

6? 2 4 6? 2 4
2+ 3

cos?
tan ? cot ?

3 2 3 3

1

0

-1

0

3
3 3

0

0

3

1

0

0

2+ 3

2- 3

四、同角三角函数基本关系式 (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1,1 ? tan ? ? sec ? ,1 ? cot (2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1,
2 2 2 2 2

? ? csc2 ?

(3)商数关系: tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三 角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩 角的范围, 以便进行定号; 在具体求三角函数值时, 一般不需用同角三角函数的基本关系式, 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号, 再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对 值。 例: (1)函数 y ?

sin ? ? tan ? 的值的符号为_________ cos ? ? cot ?

(2)若 0 ? 2 x ? 2? ,则使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是____ (3)已知 sin ? ?

m?3 4 ? 2m ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =____ , cos ? ? m?5 m?5 2 tan ? sin ? ? 3 cos ? 2 ? ?1 ,则 (4)已知 =___; sin ? ? sin ? cos? ? 2 =____ tan ? ? 1 sin ? ? cos ? ? ? (5)已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于( )

1? a2 1? a2 (6)已知 f (cosx) ? cos3x ,则 f (sin 30? ) 的值为______

A、 ?

a

B、

a

C、 ?

1? a2 a

D、

1? a2 a

五、诱导公式 三角函数诱导公式(

符号看象限(看原函数,同时可把 ? 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数 值,其一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ;(2)转化为锐角三角函数。

k ? ? ? )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) , 2

9? 7? ? tan(? ) ? sin 21? 的值为________ 4 6 4 ? ? ( 2 ) 已 知 sin( 540 ? ? ) ? ? , 则 co s( ? ?270 ) ? ______ , 若 ? 为 第 二 象 限 角 , 则 5 [sin( 180? ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 ? ________。 tan( 180? ? ? )
例: (1) cos

六、 正弦函数和余弦函数的图象: 正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图方法: 五点法:先取横坐标分别为 0,

?
2

,? ,

3? , 2? 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来, 2

就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 1.正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 、正切函数 y ? tan x 的性质:

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

??1,1?
当 x ? _____ ? k ??? 时, 当 x ? _____ ? k ? ?? 时,

最 值

ymax ? ___
x ? ______





ymax ? _____ ;
当 x ? _____

? k ??? 时, ymin ? ___ .
周 期 性 奇 偶 性 在_________________ 单 调 性

? k ??? 时 ,

既无最大值也无最小值

ymin ? ?1.

2?

偶函数

? k ??? 上是增函数;
在________________

在 ?2k? ? ? , 2k? ? ? k ??? 上 是 ________________ ; 在 在_____________

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ??? 上是__________.
对称中心_________ 对称轴_________

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对 称 性 对称中心___________ 对称轴___________

对称中心________ 无对称轴

例: (1)若函数 y ? a ? b sin(3 x ?

?
6

) 的最大值为

(2)函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [ ?

? ?

3 1 ,最小值为 ? ,则 a ? __, b ? 2 2

(3)周期性:① y ? sin x 、 y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ;② f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和

, ] )的值域是____ 2 2

f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ?

2? 。绝对值或平方对三角函数周期性的影 |? |

响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为

周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定。 如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的 周 期 都 是

? , 但 y ? sin x ? cos x 的 周 期 为

? 1 ? y ?| 2 s i n x ?( 3 ? ) ? y |, ? | x2 s ? i n, (y 3 ?| tan x ) | 的周期不变; 2 | 6 2 6 ?x 例:a.若 f ( x ) ? sin ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2003) =___ 3 4 b.函数 f ( x) ? cos 4 x ?2sin x cos x ? sin x 的最小正周期为____
c. 设函数 f ( x) ? 2 sin( x ?

? , 而 2

?

?
5

2

) ,若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则

| x1 ? x2 | 的最小值为____

(4)奇偶性与对称性:正弦函数 y ? sin x( x ? R) 是奇函数,对称中心是 ? k? ,0?? k ? Z ? , 对称轴 是直线 x ? k? ?

?
2

? k ? Z ? ;余弦 函数 y ? cos x( x ? R) 是偶 函数,对称中 心 是

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ? (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点 2 ? ? 或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点) 。如 ? 5? ? a.函数 y ? sin ? ? 2x ? 的奇偶性是______、 ? 2 ? 3 b.已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1( a,b 为常数) ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ? ______ c.函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______
d.已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3cos( x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值。

( 5 ) 单 调 性 : y ? sin x在 ? 2k? ?

? ?

?

?? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上 单 调 递 增 , 在 2 2?

? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 单调递减;y ? cos x 在 ?2k? , 2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上单调递减, ? 2 2? ? 在 ?2k? ? ? ,2k? ? 2? ? ? k ? Z ? 上单调递增。特别提醒,别忘了 k ? Z !

2.形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: (1) 几个物理量: A―振幅;f ? 相位; ? ―初相;

1 ?x ?? ― ―频率 (周期的倒数) ; T
2 3

Y 2? 9 X -2 23题 图

(2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确定; ? 由

周期确定; ? 由图象上的特殊点确定,如 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 , | ? |? 图象如图所示,则 f ( x ) =_____(答: f ( x) ? 2sin(

?
2

)的

15 ? x? )) ; 2 3

(3)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法:①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X =0,

?
2

,? ,

3? , 2? 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法: 2

这是作函数简图常用方法。

(4) 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系: ①函数 y ? sin x 的图象 纵坐标不变,横坐标向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; ② 函 数 y ?sin ? x ?? ? 图 象 的 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 变 为 原 来 的

1

y ?sin ??x ? ? ? 的图象;③函数 y ? sin ??x ? ? ? 图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;④函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的横坐标不变, 纵坐标向上( k ? 0 )或向下( k ? 0 ) ,得到 y ? Asin ??x ? ? ? ? k 的图象。要特别注意, ? 若由 y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象,则向左或向右平移应平移 | | 个单位,如 ? ? a.函数 y ? 2sin(2 x ? ) ?1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的图象? 4
x ? x ) 的图象,只需把函数 y ? sin 的图象向___平移____个单位 2 4 2 ? 7?
3

?

,得到函数

b.要得到函数 y ? cos( ? c.将函数 y ? 2sin(2 x ?

) ? 1 图像,按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样 ? 的向量是否唯一?若唯一,求出 a ;若不唯一,求出模最小的向量

d. 若函数 f ? x ? ? cos x ? sin x x ? ? 0, 2? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有四个不同的交 点,则 k 的取值范围是 (5) 研 究 函 数 y ? A sin(? x ? ? ) 性 质 的 方 法 : 类 比 于 研 究 y ? sin x 的 性 质 , 只 需 将 间时,要特别注意 A 和 ? 的符号,通过诱导公式先将 ? 化正。如 a.函数 y ? sin( ?2x ?

?

?

y ? As i n ? ( x? ? ) 中的 ? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区

?

3

) 的递减区间是______

b. y ? log 1 cos(
2

x ? ? ) 的递减区间是_______ 3 4

c.设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? 周期是 ? ,则 A、 f ( x)的图象过点 (0, ) C、 f ( x)的图象的一个对称中心 是( 5? ,0)
12

?
2

?? ?

2? ? 的图象关于直线 对称,它的 x? )

2

3

1 2

B、 f ( x ) 在区间 [

5? 2? , ] 上是减函数 12 3

D、 f ( x ) 的最大值是 A

d.对于函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? 给出下列结论: 3?

①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线 x ?

?
12

成轴对称;③图象可由函数

y ? 2sin 2 x 的图像向左平移
y ? 2 cos 2x 的图像。

? ? 个单位得到;④图像向左平移 个单位,即得到函数 3 12
其中正确结论是_______

e.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1 的交点中, 距离最近两点间的距离为 那么此函数的周期是_______

? , 3

基础训练 1. sin 330 ? ? ____________________________

2a ? 3 ,且 x 是第二、三象限角,则 a 的取值范围是________ 4?a 1 3.已知 ? 是第二象限的角, tan ? ? ? ,则 cos? ? ___________ 2 2sin? ? cos ? 4.若 tan ? ? 2 ,则 的值为__________________ sin ? ? 2 cos ?
2.已知 cos x ?
2 2 5.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? ________

6.已知 cos(

?
2

? ?) ?

? 3 ,且 | ? |? ,则 tan ? ? __________ 2 2

7.下列关系式中正确的是( ) A. sin 11? ? cos 10? ? sin 168 ? B. sin168 ? ? sin 11? ? cos 10? C. sin11? ? sin 168 ? ? cos 10? D. sin168 ? ? cos 10? ? sin 11? 8. (1)已知 sin ? ?

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? , cot ? . 13 4 (2)已知 cos ? ? ? ,求 sin ? , tan ? . 5

9.满足函数 y ? sin x 和 y ? cos x 都是增函数的区间是( A. [2k? ,2k? ?



?
2

] , k ?Z

B. [ 2k? ?

?
2

,2k? ? ? ] , k ? Z ,2k? ]
k ?Z


C. [2k? ? ? ,2k? ?

?
2

], k ?Z
? 4

D. [2k? ?

?
2

10.要得到函数 y ? 3 sin(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? 3 sin 2 x 的图象(

? 个单位 4 ? (C)向左平移 个单位 8
(A)向左平移
2

? 个单位 4 ? (D)向右平移 个单位 8
(B)向右平移 ) C.

11.函数 y=cos x –3cosx+2 的最小值是( A.2 B.0

1 4

D. 6

12.已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在同一周期内,当 x ? 值-2,那么函数的解析式为( A. y ? 2 sin )

?
3

时有最大值 2,当 x=0 时有最小

3 x 2

B. y ? 2 sin( 3 x ?

?
2

)

C. y ? 2 sin( 3 x ?

?
2

) D. y ?

1 sin 3 x 2


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