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7.2.3 等差数列(含答案)



第七章 数列与数学归纳法

7.2.3 等差数列
【课堂例题】 例 1.在等差数列 {an } 中, (1)已知 a1 ? 3, a50 ? 101 ,求 S50 ;(2)已知 a1 ? 3, d ?

1 ,求 S10 . 2

例 2.在等差数列 {an } 中,若 d ?

1 3 15 , an ? , S n ? ? ,求 a1 , n . 2 2 2

例 3.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? 2n, n ? N * ,求数列 {an } 的通项公式,并判断它 是否为等差数列.

(选用)例 4.已知等差数列 {an } 中,第 1 项到第 10 项的和为 310,第 11 项到第 20 项的和 为 910,求第 21 项到第 30 项的和.

第七章 数列与数学归纳法

7.2.3 等差数列
【知识再现】 1.一般地,我们称 a1 ? a2 ? ? ? an 为数列 {an } 的 ,用符号 Sn 表示;

? Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? N * ? an ? ? ?
2.等差数列 {an } 的公差为 d ,则 Sn ? 【基础训练】 1.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,根据条件,完成下列表格: (1)

?

.

n an Sn
(2)

1 0

2 3

3 7

4 9

5 7

n Sn an

1 6

2 3

3 5

4 5

5 5 ; . ; .

2.(1)已知数列 {an } 的通项为 an ? 1, n ? N * ,则 Sn ? (2)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n2 , n ? N * ,则 an ? 3.(1)已知等差数列 1, 4,7,?,3n ? 2,? ,则 S8 ? (2)已知等差数列首项为 3,公差为 ?2 ,则 S10 ?

4.某礼堂有 18 排座位,第 1 排有 26 个座位,以后每一排都比前一排多 2 个座位,则这个 礼堂共能坐 人. 5.已知等差数列 {an } 分别满足下列条件,求解相应问题. (1) d ?

1 , n ? 37, S n ? 629 ,求 a1 ; 3

(2) d ? 2, n ? 15, an ? ?10 ,求 Sn ;

(3) a1 ? 20, an ? 54, Sn ? 999 ,求 d ;

(4) a1 ?

5 1 , d ? ? , Sn ? ?5 ,求 an . 6 6

第七章 数列与数学归纳法

6.已知等差数列 {an } 的第 6 项是 5,第 3 项与第 8 项的和也是 5, 求这个数列前 9 项的和.

7.某单位开发了一个新项目,得到政府无息贷款 50 万元用于购买设备.已知该设备 在使用过程中第一天的使用费用是 101 元,……,第 n 天的使用费用是 (100 ? n) 元. 如果总费用=购置费+使用费,那么使用多少天后,平均每天的费用最低?

【巩固提高】 8. (1)已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 0,前 10 项和为-100, 求这个数列的前 20 项和. (2)在等差数列 {an } 中,若 d ? 2, an ? ?1, Sn ? ?100 ,求 a1 , n .

9.根据下列条件,判断 {an } 是否为等差数列,并说明理由. (1)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? 3n ; (2)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n ? 3n ? c ( c 为常数).
2

第七章 数列与数学归纳法

(选做)10.(1)已知 an ? ?

?2n ? 3, n为正奇数

?n, n为正偶数 (2)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 31 ? 3n ,求和: a1 ? a2 ? a3 ??? an , n ? N * .

,求这个数列的前 2 m 项和,其中 m ? N ;
*

【温故知新】 11.设 f ( x) ?

1 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,则 2 ? 2 f (?5) ? f (?4) ? f (?3) ? ? ? f (5) ? f (6) 的值是 .
x

第七章 数列与数学归纳法

【课堂例题答案】

105 2 例 2. a1 ? ?3, n ? 10
例 1.(1)2600;(2) 例 3. an ? 2n ?1, n ? N * ,是等差数列. 例 4.1510 【知识再现答案】

? S1 , n ? 1 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2 n(a1 ? a n ) n(n ? 1) , na1 ? d 2. 2 2
1.前 n 项和, an ? ? 【习题答案】 1.(1)0,3,10,19,26;(2)6,-3,2,0,0 2.(1) n, n ? N * ;(2) 2n ?1, n ? N * 3.(1)92;(2)-60 4.774 5.(1) 11 ;(2) ?360 ;(3) 6.0 7.1000 天 8.(1)-600;(2) a1 ? ?19, n ? 10 9.(1) an ? 2n ? 4, n ? N * ,是等差数列;(2) an ? ? 数列;当 c ? 0 时, {an } 不是等差数列. 10.(1) Sn ? 3m2 ? 4m 提示: {an } 的奇数项构成以 5 为首项,4 为公差, m 为项数的等差数列; {an } 的偶数项构 成以 2 为首项,2 为公差, m 为项数的等差数列.

17 3 ;(4) ? . 13 2

?5 ? c, n ? 1 ,当 c ? 0 时, {an } 是等差 ?4n ? 1, n ? 2

? 3 2 59 ? n ? n, n ? 10 ? ? 2 2 (2) | a1 | ? | a2 | ? ? ? | an |? ? 3 59 ? n 2 ? n ? 290, n ? 11 ? ?2 2 提示:记 a1 ? a2 ? ? ? an ? Sn 当 n ? 10 时, | a1 | ? | a2 | ??? | an |? Sn
当 n ? 11 时, | a1 | ? | a2 | ??? | an |? (a1 ? a2 ? ? ? a10 ) ? (a11 ? ? ? an ) ? 2S10 ? Sn 11. 3 2 提示: f ( x) ? f (1 ? x) ?

2 2



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