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湖北省宜昌市葛洲坝中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学(文)试题



宜昌市葛洲坝中学 2014-2015 学年第二学期 高一年级期中考试试卷 数学(文科) 试题

考试时间:2015 年 4 月

☆祝考试顺利☆
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.数列 A.
1 1 1 , , ,? 的一个通项公式

是 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

1 n(n ? 1)

B.

1 n(n ? 1)

C.

1 (n ? 1)(n ? 2)

D.以上都不对

2.若 a、b、c 为实数,且 a ? b ,则下面一定成立的是 A. ac ? bc A. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. a 2 ? b 2 B. x ? y ? 2 C. a ? c ? b C. y ? 0 D. a ? c ? b ? c D. x ? 2

3. 点(1,1)在下面各不等式表示的哪个区域中 4. 在△ ABC 中,已知 a=6, A= 60? ,B= 45? , 则 b= A. 2 2
2

B. 2 3
2 2

C. 2 6

D. 16

5. 在 ?ABC 中, a ? b ? c ? bc ,则 A 等于 A. 120° B. 60° C. 45° D. 30°

6. 在等差数列 {an } 中,已知 a5 ? 3 , a9 ? 6 ,则 a13 ? A.9 B.12 C.15 D.18

7. 有这样一首诗:“有个学生悟性好,一部《孟子》三日了,每日增添一倍多,问君每日读多 少?”(注: 《孟子》全书共 34685 字,“一倍多”指一倍) ,由此诗知该君第一日读的字数为 A.4955 B.4985 C.4975 D.4965
x ? 2y m 恒成立,则实数 m 的最大值为 ? xy 2x ? y

8. 已知 x ? 0, y ? 0 ,若不等式 A. 7 B. 8

C. 9

D. 10

9. 等比数列 ?an ? 中 a2 a9 ? 3 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ?? log3 a9 ? log3 a10 等于 A.243 B.27 C.10 D.5

10. 某人从 2012 年起, 每年 1 月 1 日到银行新存入 a 元 (一年定期) , 若年利率为 r 保持不变, 且每年到期存款自动转存为新的一年定期(本利和一起计入下一期的本金) ,到 2016 年 1 月 1

日将所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数为(单位为元) A. a(1 ? r )5 C.
a [(1 ? r )5 ? (1 ? r )] r

B. a(1 ? r )6 D.
a [(1 ? r )6 ? (1 ? r )] r

11. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 ? A.

? 1 ? ? 的前 100 项和为 ? an an ?1 ?
D.

99 101

B.

100 101

C.

99 100

101 100

12.△ ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边,如果 (a 2 ? b2 )sin( A ? B) ? (a 2 ? b2 )sin( A ? B) ,那 么△ ABC 是 A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置 上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
?2 x ? y ? 2 ? 13. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为 ?x ? y ? 1 ?

14. 不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 15. 在 ?ABC 中, A ? 60 ?,b ? 5 ,面积 S ? 5 3 ,则 a = 16. 已知不等式 (2 x ? 1)(2 x ? 5) ? 0 的整数解构成等比数列 {an } 的前两项,则数列 {an } 的第四项 为

三、解答题(共 70 分,要求写清楚解答过程) 17. (本题满分 10 分) 设 Sn 为等差数列{a n}的前 n 项和,已知 a 9 =-2,S 8 =2. (1)求首项 a1 和公差 d 的值; (2)当 n 为何值时,Sn 最大?并求出 Sn 的最大值.

18. (本题满分 10 分) 如图,港口 B 在港口 O 正东方 120 海里处,小岛 C 在港口 O 北偏东 60 ? 方向和港口 B 北 偏西 30 ? 方向上,一艘科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 30 ? 的 OA 方向以每小时 20 海里

a ,( ( 1 ,3 f? (b x ) )? ?0 f x ) ax2 ? (b ? 2) x ? 3(a ? 0)

的速度驶离港口 O ,一艘快艇从港口 B 出发,以每小时 60 海里的速度驶向小岛 C ,在 C 岛装 运补给物资后给考察船送去,现两船同时出发,补给物资的装船时间需要1小时,问快艇驶离 港口 B 后最少要经过多少时间才能和考察船相遇? 北 A

C 东 B
O

O

19.(本题满分 12 分) 在锐角△ ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 2asinB= 3b . (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6, b+c=8, 求△ ABC 的面积.

20. (本题满分 12 分) 设函数 (1)若不等式 的解集 .求 , 的值;

(2)若 f (1) ? 2, a ? 0、b ? 0 求

1 4 ? 的最小值. a b

21.(本题满分 13 分) 某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为 21 万元。同时,公 司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用,第一年各种费用 2 万元,第二年各种费用 4 万元,以后每年各种费用都增加 2 万元。

(1)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利; (2)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?

22.(本题满分 13 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? 2 ? an (n ? 1, 2,3,?) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且 bn ?1 ? bn ? an ,求数列 {bn } 的通项公式; (3)设 cn ? n(3 ? bn ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

宜昌市葛洲坝中学 2014-2015 学年第二学期 高一年级期中考试
一、B D B C A 二、13. 2 三、 17. 解: (1)依题意得: ?
? a1 ? 8d ? ?2 ? 8? 7 8a1 ? d ?2 ? ? 2

数学(文科) 参考答案
1 4

AACDC

BD 15.
21

14. (2,+∞)

16. 8 或

解得 a1 ? 2, d ? ? (2) Sn ? n ? 2 ?

1 2

…………5 分

n(n ? 1) 1 1 9 81 ? (? ) ? ? ( n ? ) 2 ? 2 2 4 2 16

? n ? N * , ? n ? 4或n ? 5 时, S n 有最大值为 5

…………10 分

18. 解:由图可知 OB=120,BC=60. OC= 60 3 快艇从 B 到 C 需要 1 小时,然后装物资需要 1 小时,所以考察船已经走了两小时 设快艇从 C 到 A 需 t 小时; 则 OA=40+20t, CA=60t, ?AOC ? 30? ,由余弦定理可得:

(60t )2 ? (40 ? 20t )2 ? (60 3)2 ? 2 ? 60 3(40 ? 20t )cos30o
解得 t ? 1 ∴ 共 3 小时

? 3 19. 解:(1)由已知得到: 2sin A sin B ? 3 sin B ,且 B ? (0, ) ?sin B ? 0 ?sin A ? , 2 2 ? ? 且 A ? (0, ) ? A ? ; …………5 分 2 3
(2)由(1)知 cos A ?
1 ,由已知得到: 2

1 28 , 36 ? b2 ? c2 ? 2bc ? ? (b ? c)2 ? 3bc ? 36 ? 64 ? 3bc ? 36 ? bc ? 2 3

所以 S?ABC ? ?

1 28 3 7 ? ? 3; 2 3 2 3

…………12 分

20. 解: (1)因为不等式 f ( x) ? 0 的解集 (?1,3) ,所以-1 和 3 是方程 f ( x) ? 0 的二实根,从 而有: ?

f (?1) ? a ? b ? 5 ? 0 ?a ? ?1 ?a ?b?5 ? 0 即? 解得: ? . ?b?4 ? f (3) ? 9a ? 3(b ? 2) ? 3 ? 0 ?3a ? b ? 1 ? 0 ?

…………6 分

(2)由 f (1) ? 2, a ? 0、b ? 0 得到 a ? b ? 1 ,

所以

1 4 1 4 b 4a b 4a ? ? ( ? ) ? (a ? b) ? 5 ? ? ? 5? 2 ? ?9, a b a b a b a b

1 ? ? b 4a ?a ? ? ? 3 时“=”成立;所以 1 ? 4 的最小值为 9. 当且仅当 ? a b 即? 2 a b ? ?a ? b ? 1 ?b ? 3 ?
n(n ? 1) ? 2 ]-25=20n-n2-25 2

…………12 分

21. 解: (1)由题意知,每年的费用是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,设纯收入与年数 n 的关系为 f(n), 则 f(n)=21n-[2n+ 由 f(n)>0 得 n2-20n+25<0 …………4 分 …………6 分 …………7 分

解得 10 ? 5 3 ? n ? 10 ? 5 3

又因为 n ? N , 所以 n=2,3,4,……18. 即从第 2 年该公司开始获利 (2)年平均收入为
f (n ) 25 =20- (n ? ) ? 20 ? 2 ? 5 ? 10 n n

…………10 分

当且仅当 n=5 时取等号.

…………12 分 …………13 分

所以这种设备使用 5 年,该公司的年平均获利最大。 22. 解: (1)由 Sn ? 2 ? an (n ? 1, 2,3,?) 得:
n ? 2时, Sn ?1 ? 2 ? an ?1

1 两式相减,得: an ? ?an ? an ?1 ,即 an ? an ?1 2

又由 Sn ? 2 ? an 得 S1 ? 2 ? a1 ? a1 , ? a1 ? 1
? {an } 是首项为 1,公比为

1 的等比数列. 2

1 故 an ? ( )n ?1 2

…………4 分

(2)由 bn ?1 ? bn ? an 有: bn ? bn ?1 ? an ?1
bn ?1 ? bn ? 2 ? an ? 2 ? b2 ? b1 ? a1

各式相加,化简得: bn ? b1 ? a1 ? ? ? an ?1 即: bn ? b1 ? Sn ?1
1 1 ? ( ) n ?1 1 2 ? 1? ? 3 ? ( )n ?2 1 2 1? 2

…………8 分

1 (3)依题意, cn ? n(3 ? bn ) ? n ? ( )n ?2 2

1 1 ?Tn ? 1? 2 ? 2 ?1 ? 3 ? ? ? ? n ? ( )n ? 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1?1 ? 2 ? ? 3 ? ( )2 ? ? ? (n ? 1) ? ( )n ? 2 ? n ? ( )n ?1 2 2 2 2 2

两式错位相减,得
1 1 1 1 Tn ? 2 ? 1 ? ? ? ? ( )n ?2 ? n ? ( )n ?1 2 2 2 2
1 ? ? 2? ? 1 ? ( n? ) 1 2 ? ? ? ? n ? ( )n ?1 1 2 1? 2

? 4 ? (2 ? n) ?

1 2n ?1 1 2n ?1

?Tn ? 8 ? (4 ? 2n) ?

…………13 分

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