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2013年高考分类题库考点25 数列求和及综合应用



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考点 25 数列求和及综合应用
一、选择题 1. (2013·新课标Ⅰ高考理科·T12)设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn, cn+an △AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,…若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= 2 , bn+an cn+1= 2 ,则( )

A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列错误!未找到引用源。 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 【解析】选B.因为 an?1 ? an , bn ?1 ?
bn?1 ? cn?1 ?
cn ? an b ?a , c n ?1 ? n n ,所以 an ? a1 , 2 2

c n ? a n bn ? a n 1 1 ? (bn ? c n ) ? a n ? (bn ? c n ) ? a1 ? 2 2 2 2
1 (bn ? c n ? 2a1 ) ,注意到 b1 ? c1 ? 2a1 ,所以 bn ? cn ? 2a1 . 2

bn?1 ? c n ?1 ? 2a1 ?

于是 ?An Bn Cn 中,边长 Bn Cn ? a1 为定值,另两边的长度之和为 bn ? cn ? 2a1 为定值. 因为 bn?1 ? cn?1 ?
c n ? a n bn ? a n 1 ? ? (bn ? c n ) , ? 2 2 2
1 2

所以 bn ? cn ? (? ) n ?1 (b1 ? c1 ) ,当 n ? ?? 时,有 bn ? cn ? 0 ,即 bn ? cn ,于是 ?An Bn Cn 的边 Bn C n 的高 hn 随 n 增大而增大,于是其面积 S n ? | Bn C n | hn ? a1 hn 为递增数列. 二、填空题
-1-

1 2

1 2

2.(2013·新课标Ⅰ高考理科·T14)若数列 {an } 的前 n 项和 S n ? a n ? ,则 {an } 的通项公式是 an ? _________ 【解题指南】先利用 S1=a1 求出 a1 的值,再利用 Sn-Sn-1=an 求出通项公式 an. 【解析】由 S1 ? a1 ? ? a1 ,解得 a1 ? 1 ,又 S n ? a n ? ,所以
Sn ? Sn ?1 ? 2 2 a an ? an ?1 ? an ,得 n ? ?2 ,所以数列 {an } 是首项为 1,公比为 ? 2 的等 3 3 an?1 2 3 1 3 2 3 1 3

2 3

1 3

比数列.故数列的通项公式 an ? (?2) n?1 【答案】 (?2) n?1 3. (2013·湖南高考理科·T15) 设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? (?1)n an ? (1) a3 ? _____; (2) S1 ? S2 ? ??? ? S100 ? ___________. 【解题指南】 (1) 令 n ? 3 , n ? 4 代入 即可得到答案. (2)通过 an ? sn ? sn?1 ? (?1) n an ?
an ? an?1 ?

1 , n ? N ?, 则 n 2

1 1 ? (?1) n?1 an?1 ? n?1 整理可发现当当 n 为偶数时有 2 2 2

1 ,于是代入第(2)问的展开式即可得到答案. 2 n?1 1 1 1 【解析】 (1)因为 a1 ? s1 ? ?a1 ? ,所以 a1 ? ? , s3 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?a3 ? ①, 2 4 8 1 1 1 s4 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a4 ? ,即 a1 ? a2 ? a3 ? ? ②, 把②代入①得 a3 ? ? . 16 16 16 1 1 (2)因为当 n ? 2 时, a n ? s n ? s n ?1 ? (?1) n a n ? n ? (?1) n ?1 a n ?1 ? n ?1 ,整理得 2 2 1 1 (1 ? (?1) n )an ? (?1) n?1 an?1 ? n ,所以,当 n 为偶数时, an?1 ? ? n , 2 2 1 1 当 n 为奇数时, 2an ? an?1 ? n ,所以 an?1 ? n?1 , 2 2

所以 an ? ?

?

,n为奇数 2 1 ,n为偶数 2n
n ?1

1

,所以当 n 为偶数时, an ? an?1 ?
1 2

1 , 2 n?1

所以 s1 ? s2 ? s3 ? s4 ? ? ? s99 ? s100 ? ?a1 ? ? a2 ?
-2-

1 1 ? a3 ? 3 ? ? 2 2 2

1 1 ? a100 ? 100 ? (a2 ? a1 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? (a100 ? a99 ) ? 99 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? 2 ? 3 ? ? ? 100 ) ? ( ? 3 ? 5 ? ? ? 99 ) ? ( ? 2 ? ? ? 100 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 (1 ? 50 ) (1 ? 100 ) 2 1 1 1 1 4 ?2 2 ? 2 ? (1 ? 100 ) ? (1 ? 100 ) ? ( 100 ? 1) . 1 1 3 2 2 3 2 1? 1? 4 2 1 1 1 【答案】 (1) ? (2) ( 100 ? 1) 16 3 2 ? a99 ?

4. (2013·重庆高考理科·T12)已知 ?an ? 是等差数列,a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,Sn 为 其前 n 项和,若 a1 、 a2 、 a5 成等比数列,则 S8 ? 【解题指南】 先根据 a1 、a2 、a5 成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出 S8 . 【解析】因为 a1 、 a2 、 a5 成等 1 比数列, a1 ? 1 所以 (1 ? d )2 ? 1 ? 4d ,化简得 d 2 ? 2d 因为 d ? 0 ,所以 d ? 2 ,故 S8 ? 8a1 ? 【答案】 64 三、解答题 5.(2013·大纲版全国卷高考理科·T22)已知函数 f ? x ? = ln ?1 ? x ? ? (I)若 x ? 0时, f ? x ? ? 0, 求?的最小值;; (II)设数列 ?an ?的通项an ? 1 ? ? ? ??? ? , 证明:a2 n ? an ? 【解析】 (I) f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0 ,即
(1 ? 2? ) x ? ?x 2 , (1 ? x) 2
1 2 1 3 1 n 1 ? ln 2. 4n 8? 7 d ? 8 ? 56 ? 64. 2

x ?1 ? ? x ? . 1? x

1 ? 2? (1 ? 2? ) x ? ?x 2 ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 2 ? (1 ? x)

1 2 1 若 ? ? ,则 x ? 0 时, f ?( x) < 0 , f (0)=0 ,所以 f ( x) ? 0 . 2 1 综上 ? 的最小值为 . 2 1 (II)令 ? ? ,由(I)知, x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 2
-3-

若 ? ? ,则 0 ? x ? 2(1 ? 2? ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 .



x(2 ? x) ? ln(1 ? x) . 2 ? 2x 1 k

取 x ? ,则

2k ? 1 k ?1 ? ln . 2k (k ? 1) k
2 n ?1 2 n ?1 1 2 n?1 1 1 2k ? 1 k ?1 ? ln 2n ? ln n ? ln 2 . ? ?( ? ) ? ?( ) ? ? ln 4n k ?n 2k 2(k ? 1) k k ? n 2k (k ? 1) k ?n

于是 a2n ? an ? 所以 a 2 n ? a n ?

1 ? ln 2 4n

6.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an. (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 【解题指南】(1)由 a1,2a2+2,5a3 成等比数列可以求得 a1 与 d 的关系,进而可求得 d 与 an . (2)由 d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差 数列前 n 项和的性质求解. 【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2, d2-3d-4=0,解得 d=-1 或 d=4,所以 an=-n+11 或 an=4n+6. (2)设数列{an}前 n 项和为 Sn, 因为 d<0,所以 d=-1,an=-n+11,则 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-错误! 未找到引用源。 n2+错误! 未找到引用源。 n; n≥12 时,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-…-an=S11-(Sn-S11)= -Sn+2S11=错误!未找到引用源。n2-错误!未找到引用源。n +110.

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1 21 ? ? n 2 ? n, n≤11, ? ? 2 综上所述,|a1|+|a2|+…+|an|=错误!未找到引用源。 ? 2 ? 1 n 2 ? 21 n ? 110, n≥12. ? ?2 2

7. (2013·重庆高考文科·T16)设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an , n ? N? . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)已知 ?bn ? 是等差数列, Tn 为前 n 项和,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 T20 . 【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前 n 项和,再利用题目 中所给条件求解 T20 . 【解析】 (Ⅰ)由题设知 ?an ? 是首项为1, 公比为 3 的等比数列,所以 an ? 3n?1 ,
Sn ? 1 ? 3n 1 n ? 3 ?1 . 1? 3 2

?

?

(Ⅱ) b1 ? a2 ? 3, b3 ? 1 ? 3 ? 9 ? 13, b3 ? b1 ? 10 ? 2d , 所以公差 d ? 5 , 故 T20 ? 20 ? 3 ?
20 ? 19 ? 5 ? 1010 . 2

8.(2013·上海高考理科·T23)给定常数 c>0,定义函数 f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列 a1,a2,a3,…,满足 an+1=f(an),n∈N*. (1)若 a1=-c-2,求 a2 及 a3. (2)求证:对任意 n∈N*,an+1-an≥c. (3)是否存在 a1,使得 a1,a2,…,an,…,成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1;若不存 在,说明理由. 【解析】(1)a2=2,a3=c+10. (2)f(x)=错误!未找到引用源。 当 an≥-c 时,an+1-an=c+8>c. 当-c-4≤an<-c 时,an+1-an=2an+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c;
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当 an<-c-4 时,an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c; 所以,对任意 n∈N*,an+1-an≥c. (3)由(2),结合 c>0,得 an+1>an,即{an}为无穷递增数列, 又{an}为等差数列,所以存在正数 M,当 n>M 时,an>-c, 从而 an+1=f(an)=an+c+8, 由于{an}为等差数列,因此其公差 d=c+8. ①若 a1<-c-4,则 a2=f(a1)=-a1-c-8, 又 a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8, 即 a1=-c-8,从而 a2=0, 当 n≥2 时,由于{an}为递增数列,故 an≥a2=0>-c,所以 an+1=f(an)=an+c+8, 而 a2=a1+c+8,故当 a1=-c-8 时,{an}为无穷等差数列,符合要求. ②若-c-4≤a1<-c,则 a2=f(a1)=3a1+3c+8, 又 a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得 a1=-c,舍去. ③若 a1≥-c,则由 an≥a1 得到 an+1=f(an)=an+c+8, 从而{an}为无穷等差数列,符合要求. 综上 a1 的取值集合为{-c-8}∪[-c,+∞). 9. (2013· 上海高考文科· T22) 已知函数 f ( x) ? 2 ? x , 无穷数列 ?an ? 满足 an+1=f(an),n ∈N* (1)若 a1=0,求 a2,a3,a4; (2)若 a1>0,且 a1,a2,a3 成等比数列,求 a1 的值. (3)是否存在 a1,使得 a1,a2,…,an…成等差数列?若存在,求出所有这样 的 a1;若不存在,说明理由.
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【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2. (2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|. ①当 0<a1≤2 时,a3=2-(2-a1)=a1, 所以错误!未找到引用源。=(2-a1)2,得 a1=1. ②当 a1>2 时,a3=2-(a1-2)=4-a1, 所以 a1(4-a1)=(2-a1)2, 得 a1=2-错误!未找到引用源。(舍去)或 a1=2+错误!未找到引用源。. 综合①②得 a1=1 或 a1=2+错误!未找到引用源。. (3)假设这样的等差数列存在,那么 a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1||. 由 2a2=a1+a3 得 2-a1+|2-|a1||=2|a1|(*). 以下分情况讨论: ①当 a1>2 时,由(*)得 a1=0,与 a1>2 矛盾; ②当 0<a1≤2 时,由(*)得 a1=1, 从而 an=1(n=1,2,…), 所以{an}是一个等差数列; ③当 a1≤0 时,则公差 d=a2-a1=(a1+2)-a1=2>0, 因此存在 m≥2 使得 am=a1+2(m-1)>2. 此时 d=am+1-am=2-|am|-am<0,矛盾. 综合①②③可知,当且仅当 a1=1 时,a1,a2,a3,…,构成等差数列. 10. (2013·江苏高考数学科·T19)设 {an} 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列
(d ? 0) , Sn 是其前 n 项和。记 bn ?
nS n , n ? N * ,其中 c 为实数。 n2 ? c

(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ) ;
-7-

(2)若 {bn} 是等差数列,证明: c ? 0 。 【解题指南】利用条件 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,求出 Sn ,再代入证明(2) 利用条件 {bn} 是等差数列建立与 c 有关方程。
n( n ? 1) d. 2 S ( n ? 1) d (1)若 c ? 0 ,得 bn ? n ? a ? .又因为 b1,b2,b4 成等比数列,所以 b22 ? b1b4 , n 2

【证明】由题设知,Sn=na+

d? 3d ? 2 ? 即: ? ? a ? ? ? a? a ? ? ,化简得 d -2ad=0.因为 d≠0,所以 d=2a. ? 2? ? 2 ?

2

因此,对于所有的 m∈N*,有 Sm=m2a. 从而对于所有的 k,n∈N*,有 Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk. (2)设数列{bn}的公差是 d1,则 bn=b1+(n-1)d1, n∈N*, 代入 Sn 的表达式,整理得,对于所有的 n∈N*,有 (d1 ? d )n3 +(b1-d1-a+错误!未找到 引用源。d)n2+cd1n=c(d1-b1). 令 A=d1-错误!未找到引用源。d,B=b1-d1-a+错误!未找到引用源。d,D=c(d1-b1), 则对于所有的 n∈N*,有 An3+Bn2+cd1n=D. (*) 在(*)式中分别取 n=1,2,3,4,得 A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,
(1) ?7 A ? 3B ? cd1 ? 0 ? 从而有 ?19 A ? 5 B ? cd1 ? 0 (2) 错误!未找到引用源。 ? 21A ? 5 B ? cd ? 0 (3) 1 ?
1 2

由(2) (3)得 A=0,cd1=-5B,代入方程(1),得 B=0,从而 cd1=0. 即 d1-错误!未找到引用源。d=0,b1-d1-a+错误!未找到引用源。d=0,cd1=0. 若 d1=0,则由 d1-错误!未找到引用源。d=0,得 d=0,与题设矛盾,所以 d1≠0. 又因为 cd1=0,所以 c=0. 11.(2013·湖南高考文科·T19)设 S n 为数列{ an }的前项和,已知 a1 ? 0 ,
-8-

2 a n ?a1 ? S1 ? S n , n ?N ? (Ⅰ)求 a1 , a2 ,并求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ) 求数列{ nan }的前 n 项和。 【解题指南】 (Ⅰ) 本题是利用递推关系 an ? ?
?S1 , n ? 1, 求数列的通项公式 ; ?Sn ? Sn?1 , n ? 2,

(Ⅱ)根据第(Ⅰ)问可知应利用错位相减法求数列前 n 项和. 【解析】 (Ⅰ)令 n ? 1 ,得 2a1 ? a1 ? a12 ,因为 a1 ? 0 ,所以 a 1 ? 1 , 令 n ? 2 ,得 2a2 ? 1 ? s2 ? 1 ? a2 ,解得 a2 ? 2 。当 n ? 2 时,由 2an ? 1 ? sn
2an?1 ? 1 ? sn?1 ,两式相减,整理得 an ? 2an?1 ,于是数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 2

的等比数列,所以, an ? 2 n?1 。 (Ⅱ)由(I )知 nan ? n2n?1 ,记其前 n 项和为 T n ,于是
Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1



2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ②

① -②得 ?T n? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2n 从而 Tn ? 1? (n ?1)?2n 12.(2013·江西高考理科·T17)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:
Sn 2 ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an. (2)令 b n =
5 n+1 , 数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 证明: 对于任意 n ? N* , 都有 Tn ? . 2 2 64 (n+2) a n

【解题指南】(1)由题目中的等式求出 Sn ,然后由 Sn 求 an; (2)化简 bn ,观察结 构特征,选取求和的方法求 Tn. 【解析】 (1)由 Sn 2 ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 得 [Sn ? (n 2 ? n)](Sn ?1) ? 0
-9-

由于 ?a n ? 是正项数列,所以 Sn ? 0,Sn ? n 2 ? n .于是,当 n ? 2 时,
a n ? Sn ? Sn ?1 ? (n 2 ? n) ? [(n ?1)2 ? (n ?1)] = 2n ,又因为 a1 ? s1 ? 2 符合上式.综上,数列 ?a n ?

的通项公式为 a n ? 2n . (2)因为 a n ? 2n , b n = 则 Tn ?
? n+1 1 1 1 n+1 ,所以 bn = ? [ 2? ]. 2 2 2 2 (n+2) 4n 16 n (n ? 2) 2 (n+2) a n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2? ] 2 2 16 3 2 4 3 5 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2) 2

1 1 1 1 1 1 5 [1 ? 2 ? ? ] ? (1 ? 2 ) ? . 2 2 16 2 (n ? 1) (n ? 2) 16 2 64

13.(2013·江西高考文科·T16)正项数列{an}满足 a n 2 ? (2n ? 1)a n ? 2n ? 0 . (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn=
1 (n ? 1)a n

错误!未找到引用源。 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【解题指南】借助二次三项式的因式分解来求 a n ,分析{bn}通项公式的特点选 择正确的求和方法. 【解析】(1)由 a n 2 ? (2n ? 1)a n ? 2n ? 0 ,得 (a n ? 2n)(a n ? 1) ? 0 .由于{an}是正项数列,所 以 a n ? 2n . (2)由 a n ? 2n ,bn=
1 (n ? 1)a n

,则 bn ?

1 1 1 1 ? ( ? ). 2n(n ? 1) 2 n n ? 1

所以 Tn ? 1 (1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 2 2 3

1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ) ? (1 ? )? . n ?1 n n n ?1 2 n ? 1 2(n ? 1)

14.(2013·福建高考文科·T17)已知等差数列错误!未找到引用源。的公差 d=1, 前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1. (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围.
- 10 -

【解题指南】按等比中项列式,a3 用通项表示,求出首项,第(2)问,直接按基本量列 式求解. 【解析】(1)因为数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比数列,所以错误!未找到引 用源。=1×(a1+2),即错误!未找到引用源。-a1-2=0,解得 a1=-1 或 a1=2. (2)因为数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, 所以 5a1+10>错误!未找到引用源。+8a1, 即错误!未找到引用源。+3a1-10<0,解得-5<a1<2. 15.(2013·广东高考理科·T19)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知
a1 ? 1, 2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N? . n 3 3

(1)求 a2 的值; (2)求数列{ an }的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有
1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

【解题指南】本题以递推数列为背景,考查通项公式与前 n 项和的关系及不等 式的证明,要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中, 放缩的尺度要拿捏准确.
2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? 中令 n ? 1 ,可得 a2 ? 4 ; n 3 3 1 2 n(n ?1 )( n ? 2) (2)由已知可得 2Sn ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n ,即 2Sn ? nan ?1 ? ①,则当 n ? 2 3 3 3 (n ? 1) n( n ? 1) 时,2Sn ?1 ? (n ? 1)an ? ②,① ? ②可得 2an ? nan?1 ? (n ?1)an ? n(n ? 1) ,也就是 3 a a a (n ? 1)an ? nan?1 ? n(n ? 1) ,同除以 n(n ? 1) 可得 n ?1 ? n ? 1 ,数列{ n }是公差为 1 的等 n ?1 n n an a1 差数列,且 ? 1 ,所以 ? n , an ? n2 ,显然 a1 ? 1 也满足 an ? n2 ,即所求通项公 1 n

【解析】 (1)因为 a1 ? 1 ,在

式为 an ? n2 .

- 11 -

(3)当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时, 当 n ? 3 时,

1 1 7 ? 2 ? 1 ? 结论成立; a1 1 4

1 1 1 5 7 ? ? 1 ? ? ? 结论成立; a1 a2 4 4 4

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,则 an n n(n ? 1) n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ?? ? ? 1? ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1? ? 4 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) a1 a2 an 4 3 4 n
? 5 1 1 1 1 1 1 7 1 7 1 1 1 7 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ,即对一切 n ? N? , ? ? ? ? ? 成立. 4 2 3 3 4 n ?1 n 4 n 4 a1 a2 an 4

16.(2013·广东高考文科·T19)设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,
2 ? 满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ?1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有
1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

【解题指南】本题以递推数列为背景,考查通项公式与前 n 项和的关系及不等 式的证明,要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中, 放缩的尺度要拿捏准确.
2 2 【解析】 (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,因为 an ? 0 ,所以 a2 ? 4a1 ? 5 ;

2 2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an ?1 ? an ? 4 ,
2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? , 2

因为 an ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 2 ,当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 2 因为 a2 , a5 , a14 构成等比数列, a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 6 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4, a1 ? 1 ,又因为 a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ,则 ?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公

- 12 -

差 d ? 2 的等差数列.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1. (3)
1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ?1?? 2n ? 1?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? )? . 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2

17. (2013· 山东高考理科· T20) 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 且 S4=4S2, a2n=2an+1 (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 设数列{bn}的前 n 项和 Tn,且 Tn+ (n∈ N ? ).求数列{cn}的前 n 项和 Rn. 【解题指南】 (Ⅰ) 先设出等差数列的首项和公差, 然后根据 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1 可 列方程组求得数列的通项公式; (Ⅱ)先根据前 n 项和与通项的关系求出 ?bn ? 的 通项公式,由 cn=b2n 求出 ?cn ? 的通项,再利用错位相减法求出 Rn. 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ?的首项为 a1 ,公差为 d, 由 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1得
4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d , ? ? ?a1 ? ?2n ? 1?d ? 2a1 ? 2?n ? 1?d ? 1
an ? 1 = ? ( ? 为常数) ,令 cn=b2n, 2n

解得 a1 ? 1, d ? 2 , 因此 an ? 2n ? 1, n ? N *
n , 2 n?1 n n ?1 n ? 2 所以 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 = ? n?1 ? n?2 ? n?1 2 2 2

(Ⅱ)由题意知 Tn ? ? ?

故 cn ? b2n ?

2n ? 2 ?1? ? ?n ? 1?? ? , n ? N * 2 n?1 2 ?4?
0 1 2 3 n?1

n?1

1? ?1? ?1? ?1? ?1? 所以 Rn ? 0 ? ? ? ? ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1? ? ? ? ? 4? ? 4? ? 4? ? 4? ? 4?



- 13 -

1 1? ?1? ?1? ?1? ?1? 则 Rn ? 0 ? ? ? ? ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1? ? ? ? , 4 ? 4? ? 4?
1

1

2

3

4

n

?4?

?4?
4

?4?

3 1? ?1? ?1? ?1? ?1? 两式相减得 Rn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 4 ? 4? ? 4? ? 4? ? 4? ?4?
n

2

3

n?1

?1? ? ?n ? 1?? ? ? 4?

n

1 ?1? ?? ? n n 1 1 ? 3n ? 1 ? 4 ?4? ?1? ? ? ?n ? 1?? ? ? ? ? ? 1 4 3 3 ? ? ?4? 1? 4

1 3n ? 1 ? 整理得 Rn ? ? ? 4 ? n?1 ? , 9? 4 ?

所以 数列 ?cn ?的前 n 项和 Rn ? ? ?4 ?
1 9?

3n ? 1 ? ?. 4 n?1 ?

18. (2013· 山东高考文科· T20) 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 且 S4=4S2, a2n=2an+1 (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足
b b1 b2 1 ? ? ? ? ? ? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a1 a2 an 2

【解题指南】 (Ⅰ) 先设出等差数列的首项和公差, 然后根据 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1 可 列方程组求得数列的通项公式; (Ⅱ)先根据 的通项公式,再利用错位相减法求出 Tn. 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ?的首项为 a1 ,公差为 d, 由 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1得
4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d , ? ? ?a1 ? ?2n ? 1?d ? 2a1 ? 2?n ? 1?d ? 1
b b1 b2 1 ? ? ? ? ? ? n ? 1 ? n , n ? N * 求出 bn a1 a2 an 2

解得 a1 ? 1, d ? 2 , 因此 an ? 2n ? 1, n ? N *
- 14 -

(Ⅱ)由已知 当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时, 所以

b b1 b2 1 ? ? ??? ? n ? 1? n , n ? N* , a1 a2 an 2

b1 1 ? , a1 2

bn 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? n ? ?1 ? n?1 ? ? n , an 2 ? 2 ? 2

bn 1 ? n ,n ? N*, an 2

由(Ⅰ)知 an ? 2n ? 1, n ? N * ,
2n ? 1 ,n ? N* , n 2 1 3 5 2n ? 1 又 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n , 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2n 2

所以 bn ?

两式相减得 Tn ? ? ? ?
1 2
?

1 2 2 2 2 ? 2n ? 1 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? ? n?1 , 2 2 ?2 2 2 2 ? 2
3 1 2n ? 1 ? n?1 ? n?1 , 2 2 2

所以 Tn ? 3 ?

2n ? 3 . 2n

19. (2013·陕西高考文科·T17)设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ) 若 {an } 是等差数列, 推导 Sn 的计算公式; (Ⅱ ) 若 a1 ? 1, q ? 0 , 且对所有正整数 n, 有 Sn ? 1 ? q . 判断 {an } 是否为等比数列, 并
n

1? q

证明你的结论. 【解题指南】 倒序相加法推导等差数列的前 n 项和; 利用 a n ? ? 推导 an 的通项公式判断是否为等比数列. 【解析】(Ⅰ) 设公差为 d,则 an ? a1 ? (n ? 1)d ,
?S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? a n ? 2 S n ? (a1 ? a n ) ? (a 2 ? a n ?1 ) ? ? ? (a n ?1 ? a1 ) ? (a n ? a1 ) ? ?S n ? a n ? a n ?1 ? ? ? a 2 ? a1
- 15 -

,n ? 1 ?S1 ,n ? 2 ?Sn ? Sn ?1

? 2S n ? n(a1 ? a n ) ? S n ?

n(a1 ? a n ) n ?1 ? n(a1 ? d) . 2 2

(Ⅱ )

{an } 是等比数列.证明如下:

1 ? qn 1 ? q n?1 1 ? q n q n ? q n?1 ? an?1 ? S n?1 ? S n ? ? ? ? qn , 因为 Sn ? 1? q 1? q 1? q 1? q

又因为 a1 ? 1, q ? 0 ,所以当 n≥1 时, 有
an?1 qn ? n?1 ? q, an q

因此, 数列 {an } 是首项1,公比 q ? 0 的等比数列. 20. (2013· 新课标Ⅰ高考文科· T17) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S 3 ? 0 ,
S5 ? 5 .

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?
? ? 1 ? 的前 n 项和. ? a 2 n ?1 a 2 n ?1 ?

【解题指南】 (Ⅰ)利用 S 3 ? 0 , S 5 ? 5 求出等差数列的首项及公差,利用
an ? a1 ? (n ? 1)d 求出 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)将(Ⅰ)中的通项公式,代入到 ? 和.

?

? 1 ? 中,利用裂项相消法求前 n 项 ? a 2 n ?1 a 2 n ?1 ?

【解析】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,则 S n ? na1 ? 由已知可得 ?
?3a1 ? 3d ? 0, ? a ? 1. 解得 ? 1 ? d ? ?1. ?5a1 ? 10d ? ?5.

n(n ? 1) d. 2

故 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n . (Ⅱ)由(Ⅰ)知
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a 2 n?1a 2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1

- 16 -

从而数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和为 ? a 2 n ?1 a 2 n ?1 ?

n 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ??? ? ? )? 2 ?1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2 n

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