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第四章 第1讲 导数的意义及运算



第四章
第1讲

导数

导数的意义及运算

考纲要求 1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义,求函数y 1 2 =c,y=x,y=x ,y=x的导 数. 4.能利用给出的8个基本初等 函数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数,能求简 单的复合函数[仅限于形如f(ax +b)的复合函数]的导数.

考纲研读 1.函数y=f(x)在点x0处的导数记为 f′(x0),它表示y=f(x)在点P(x0, y0)处切线的斜率,即k= f′(x0).导数源于物理,位移、 速度的导数都有明显的物理意 义. 2.对于多项式函数的导数,可先 利用导数的运算法则将其转化成 若干个与8个基本初等函数有关的 和差积商形式,再进行求导.

1.函数导数的定义
一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 lim Δx→0 lim Δx→0 Δy Δx =

f?x0+Δx?-f?x0? ,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导 Δx
? ? ?

数,记作f′(x0)或y′ x=x0 ,即f′(x0)= lim Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx __________________________. Δx→0

Δy Δx =

2.导数的几何意义和物理意义
(1)导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几 何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率.也就 是说,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0).相

y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) 应地,切线方程为__________________________.
(2)导数的物理意义:在物理学中,如果物体运动的规律是 s

v′(t0) =s(t),那么该物体在时刻 t0 的瞬时速度 v=________.如果物体
运动的速度随时间变化的规律是 v=v(t),则该物体在时刻 t0 的瞬

s′(t0) 时加速度为 a=_______.

3.几种常见函数的导数
nxn-1 cosx c′=__(c为常数);(xn)′=_____(n∈R);(sin x)′=____; 0 1 1 -sinx xlna (cosx)′=______;(lnx)′=___;(logax)′=______;(ex)′= x

axlna ex ____;(ax)′=_____.

4.运算法则

u′±v′ u′v+uv′ (u±v)′=_________;(uv)′=__________;
u′v-uv′ u v2 v ′=___________(v≠0).

1.已知函数 f(x)=4π2x2,则 f′(x)=(

C )

A.4πx
C.8π2x

B.8πx
D.16πx

解析:函数f(x)=4π2x2 的自变量为x,π为常量,所以f′(x) =8π2x.

x2 1 2.已知曲线 y= 4 的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为 ( A)

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若 f(x)在 x0 处可导,则 f′(x0)等于( A ) f?x0?-f?x0-Δx? A.lim Δx Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0-Δx? B. lim Δx Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0-2Δx? C. lim Δx Δx→0 f?x0+2Δx?-f?x0-Δx? D.lim Δx Δx→0

4.曲线 y=4x-x3 在点(-1,-3)处的切线方程是( D ) A.y=7x+4 C.y=x-4 B.y=7x+2

D.y=x-2

解析:曲线y=4x-x3,导数 y′=4-3x2,在点(-1,-3)

处的切线的斜率为k=1,所以切线方程是y=x-2.
5.一个物体的运动方程为 s=1-t+t2,其中 s 的单位是米,

t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( C )
A.7 米/秒
C.5 米/秒

B.6 米/秒
D.8 米/秒

解析:s′(t)=2t-1,s′(3)=2×3-1=5.

考点1

导数的概念
)

例 1: f(x)在 x0 处可导, 设 下列式子中与 f′(x0)相等的是( f?x0?-f?x0-2Δx? (1) lim ; 2Δx Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0-Δx? (2) lim ; Δx Δx→0 f?x0+2Δx?-f?x0+Δx? (3) lim ; Δx Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0-2Δx? (4) lim . Δx Δx→0 A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)(4)

f?x0?-f?x0-2Δx? 解析:(1)lim 2Δx Δx→0 f?x0-2Δx+2Δx?-f?x0-2Δx? = lim =f′(x0); 2Δx 2Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0-Δx? (2) lim Δx Δx→0 f?x0-Δx+2Δx?-f?x0-Δx? =2 lim =2f′(x0); 2Δx 2Δx→0 f?x0+2Δx?-f?x0+Δx? (3) lim Δx Δx→0 f?x0+Δx+Δx?-f?x0+Δx? = lim =f′(x0); Δx Δx→0

f?x0+Δx?-f?x0-2Δx? (4)lim Δx Δx→0 f?x0-2Δx+3Δx?-f?x0-2Δx? =3 lim =3f′(x0). 3Δx 3Δx→0 所以(1)(3)正确,故选B.
答案:B
f?x0+k?-f?x0? 本题需直接变换出导数的定义式 lim k Δk→0 =f′(x0).其中k(一般用Δx表示)可正可负,定义式的关键是一定

要保证分子与分母k的一致性.

【互动探究】

f?x0-Δx?-f?x0? 1.设函数 f(x)在 x0 处可导,则Δx→0 lim 等于(B ) Δx
A.f′(x0) B.-f′(x0)

C.f(x0)

D.-f(x0)

f?x0-Δx?-f?x0? f[x0+?-Δx?]-f?x0? 解析:Δx→0 lim =-Δx→0 lim = Δx ?-Δx? -f′(x0),故选 B.

考点2
例2:求下列函数的导数:

导数的计算

(1)y=(x-1)(2x2-x+4);(2)y=exlnx; 1+sinx (3)y= . 1-cosx
解析:(1)y′=(x-1)′· 2-x+4)+(x-1)(2x2-x+4)′ (2x =1· 2-x+4)+(x-1)[(2x2)′-x′+4′] (2x =2x2-x+4+(x-1)(4x-1)=6x2-6x+5;

ex (2)y′=(ex)′lnx+ex(lnx)′=exlnx+ x ; ?1+sinx?′?1-cosx?-?1+sinx??1-cosx?′ (3)y′= ?1-cosx?2 cosx?1-cosx?-?1+sinx?sinx cosx-sinx-1 = = . ?1-cosx?2 ?1-cosx?2

求函数的导数时,要准确地把函数分割为基本 函数的和差积商,再利用运算法则求导数,对于不具备求导法则 的结构形式要适当恒等变形.如第(1)题利用积的求导法则,也可 以转化成 y=(x-1)(2x2-x+4)=2x3-3x2+5x-4 后再求导;第(2) 题利用积的求导法则;第(3)题利用商的求导法则.

【互动探究】 2.设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0=( B)

A.e2

B.e
考点3

ln2 C. 2

D.ln2

曲线的几何意义

?π ? sinx 1 例 3:(2011 年湖南)曲线 y= -2在点 M?4,0?处的 ? ? sinx+cosx

切线的斜率为( 1 A.-2

) 1 B.2 2 C.- 2 2 D. 2

cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx? 解析:y′= ?sinx+cosx?2 1 = . ?sinx+cosx?2 所以
? π y′?x= ? 4 ?

1 1 =? π =2. π? 2 ?sin +cos ? 4 4
? ?

答案:B

【互动探究】 3.(2011 年江西)曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A ) A.1 C.e B.2

1 D. e

解析:y′=ex,x=0,e0=1.

易错、易混、易漏

7.过点求切线方程应注意该点是否为切点
1 3 4 例题:已知曲线 y=3x +3.
(1)求曲线在 x=2 处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程.
正解:(1)∵y′=x2,当 x=2 时,y′=4, ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=y′
? ? ?x=2

=4.

∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0.

1 3 4 (2)设曲线 y=3x +3与过点 P(2,4)的切线相切于点 ? 1 3 4? ? 2 A?x0,3x0+3?,则切线的斜率 k=y′?x=x0 =x0. ? ? ? ?1 3 4? ∴切线方程为 y-?3x0+3?=x2(x-x0). 0 ? ? 2 3 4 2 即 y=x0· 3x0+3. x- 2 3 4 2 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x0-3x0+3.
2 3 2 即 x3-3x0+4=0.∴x0+x0-4x2+4=0. 0 0 2 ∴x0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0.

∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2.

故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.

【失误与防范】1.求曲线 y=f?x?在点 P?x0,f?x0??处?该点为切 点?的切线方程,其方法如下: ①求出函数 y=f?x?在 x=x0 处的导数 f′?x0?,即函数 y=f?x? 在点 P?x0,f?x0??处的切线的斜率; ②切点为 P?x0,f?x0??,切线方程为 y-f?x0?=f′?x0??x-x0?. 2.求曲线 y=f?x?过点 P?x0,f?x0???该点不一定为切点?的切线方 程,其方法如下: ①设切点 A?xA,xB?,求切线的斜率 k=f′?xA?; y ? yA ②利用斜率公式 k= 0 =f′?xA?建立关于 xA 的方程,求 x0 ? x A
出 xA,进而求出切线方程.

1.导数的几何意义是切线的斜率,物理意义是速度与加速度, 代数意义就是瞬时增长率、瞬时变化率等. 2.求导的具体步骤. (1)求函数的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);

Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率Δx= ; Δx

(3)取极限,得导数

f?x0+Δx?-f?x0? Δy f′(x0)=lim Δx=lim . Δx→0 Δx→0 Δx
3. 过点求切线方程应注意该点是否为切点, 特别提醒: 求“在 . 某点处的切线方程”时,该点为切点;求“过某点的切线方程” ........ ........ 时,该点有可能是切点,也有可能不是切点(如例 4).

1.求函数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时,一定要 清楚函数的自变量是什么,对谁求导,如 f(x)=x2+sinα自变量为

x,而 f(α)=x2+sinα自变量为α.
2.通过例 4 的学习,要彻底改变“切线与曲线有且只有一个 公共点”、“直线与曲线只有一个公共点,则该直线就是切线” 这一传统误区,如“直线 y=1 与 y=sinx 相切,却有无数个公共 点”,而“直线 x=1 与 y=x2 只有一个公共点,显然直线 x=1 不 是切线”.



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