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反证法教案



反 证 法

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关于数学证明的方法: 直接证明: 1 综合法 2 由分析法 间接证明:反证法 由因导果 执果索因

引例:
已知:a是整数, 2能整除a2 .求证: 2能整除a.
证明:
否定结论

假设命题的结论不成立,即“2不能整除a” .
进行推理

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因为a是整数,故a是奇数,a可以表示为2m+1 (m为整数),
则a2 ? (2m ? 1)2 ? 4m2 ? 4m ?1 ? 2(2m2 ? 2m) ?1, 即a2是奇数.

所以2不能整除a2 , 这与已知“2能整除a2”相矛盾.
肯定结论

于是“2不能整除a2”这个假设错误,故2能整除a.

概括:
在数学证明时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者必居其一。 我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果 与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假 定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结 论成立。这种证明方法叫反证法

反证法的证明步骤:
(1)做出否定结论的假设; (2)进行推理,导出矛盾; (3)否定假设,肯定结论。

例1
在同一平面内,两条直线a, b都和直线c垂直, 求证:a与b平行.
证明:
假设命题的结论不正确,即“直线a与b相交”.
不妨设直线a和b的交点为M,a和c的交点为P, b和c的交点为Q,如图
∠PMQ﹥0° △PMQ内角和: ∠PMQ+∠MPQ+∠PQM ﹦ ∠PMQ+90°+90°﹥180° P Q M

a

b

c

这与定理“三角形的内角和为 180°”相矛盾。

说明假设错误,所以a和b不相交,即a和b平行.

例2
已知:a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 100, 求证:a1 , a2 , a3 , a4中至少有一个数大于25.

证明:
假定结论不对,即a1 , a2 , a3 , a4均不大于25,
那么a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 25 ? 25 ? 25 ? 25 ? 100 这与已知条件矛盾.

?a1 , a2 , a3 , a4中至少有一个数大于25.

练习
1.证明:在三角形ABC中,至少有一个内角大于或等于60°.

2.已知x, y, z均为实数, a ? x 2 ? 2 y ? 求证:a, b, c中至少有一个大于0.

?
2

, b ? y2 ? 2z ?

?
3

, c ? z2 ? 2x ?

?
6

,

小结:
?

反证法定义

?

反证法证明步骤

作业:
习题3-4:1,3



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