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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.3 简单曲线的极坐标方程教案 新人教A版选修4-4




简单曲线的极坐标方程

课标解读

1.了解极坐标方程的意义,了解曲线的极坐标方程的求法. 2. 会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化; 了解简 单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的 极坐标方程. 3.能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题.

1.曲线与方程的关系 在平面直角坐标系中,平面曲线 C 可以用方程 f(x,y)=0 表示.曲线与方程满足如下 关系: (1)曲线 C 上点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解; (2)以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上. 2.曲线的极坐标方程 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ ,θ )=0,并且坐标适合方程 f(ρ ,θ )=0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f(ρ ,θ ) =0 叫做曲线 C 的极坐标方程. 3.常见曲线的极坐标方程 曲 线 图 形 极坐标方程 ρ =r(0≤θ <2π ) ρ =2rcos_θ π π (- ≤θ ≤ ) 2 2 ρ =2rsin_θ (0≤θ <π ) θ =α 或 θ =α +π ρ cos_θ =a π π (- <θ < ) 2 2 ρ sin_θ =a (0<θ <π )

圆心在极点,半径为 r 的圆 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 π 圆心为(r, ),半径为 r 的圆 2 过极点,倾斜角为 α 的直线 过点(a,0),与极轴垂直的直线

π 过点(a, ),与极轴平行的直线 2

1

1.曲线的极坐标方程是否惟一? 【提示】 由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一, 所以曲线上的点的极坐标有多种 表示,曲线的极坐标方程不惟一. 2.如何求圆心为 C(ρ 1,θ 1),半径为 r 的圆的极坐标方程?

【提示】 如图所示,设圆 C 上的任意一点为 M(ρ ,θ ),且 O、C、M 三点不共线,不 2 2 妨以如图所示情况加以说明,在△OCM 中,由余弦定理得|OM| +|OC| -2|OM|·|OC|·cos 2 ∠COM=|CM| , 2 2 2 ∴ρ +ρ 1-2ρ ρ 1cos(θ -θ 1)=r ,可以检验,当 O、C、M 三点共线时的点 M 的坐标 也适合上式,当 θ <θ 1 时也满足该式,所以半径为 r,圆心在 C(ρ 1,θ 1)的圆的极坐标方 2 2 程 为 ρ + ρ - 2ρ ρ 1cos(θ - θ 1) - r2 = 1 0.

圆的极坐标方程 3π 5π 求圆心在 C(2, )处并且过极点的圆的极坐标方程,并判断点(-2,sin ) 2 6 是否在这个圆上. 【思路探究】 解答本题先设圆上任意一点 M(ρ ,θ ),建立等式转化为 ρ ,θ 的方 程,化简可得,并检验特殊点. 【自主解答】

如图,由题意知,圆经过极点 O,OA 为其一条直径,设 M(ρ ,θ )为圆上除点 O,A 以 外的任意一点,则|OA|=2r,连接 AM,则 OM⊥MA. 在 Rt△OAM 中,|OM|=|OA|cos∠AOM, 3π 即 ρ =2rcos( -θ ), 2 ∴ρ =-4sin θ , 3π 经验证,点 O(0,0),A(4, )的坐标满足上式. 2 ∴满足条件的圆的极坐标方程为 ρ =-4sin θ . 5π 1 ∵sin = , 6 2 5π ∴ρ =-4sin θ =-4sin =-2, 6 5π ∴点(-2,sin )在此圆上. 6
2

1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤:①建立适当的极坐标系(本题无需建); ②在曲线上任取一点 M(ρ , θ ); ③根据曲线上的点所满足的条件写出等式; ④用极坐标(ρ , θ )表示上述等式, 并化简得曲线的极坐标方程; ⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程. (一 般只要对特殊点加以检验即可). 2.求曲线的极坐标方程,关键是找出曲线上的点满足的几何条件,并进行坐标表示. (2012·江西高考)曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2x=0, 以原点为极点, x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________. 2 2 2 2 2 2 2 【解析】 直角坐标方程 x +y -2x=0 可化为 x +y =2x, 将 ρ =x +y , x=ρ cos θ 代入整理得 ρ =2cos θ . 【答案】 ρ =2cos θ 直线或射线的极坐标方程 π 求过点 A(1,0),且倾斜角为 的直线的极坐标方程. 4 【思路探究】 画出草图― →设点 M(ρ ,θ )是直线上的任意一点― →建立关于 ρ ,θ 化简 的方程― ― →检验 【自主解答】
2 2

法一 设 M(ρ ,θ )为直线上除点 A 以外的任意一点. π 3π 则∠xAM= ,∠OAM= , 4 4 π ∠OMA= -θ . 4 在△OAM 中,由正弦定理得 |OM| |OA| = , sin∠OAM sin∠OMA ρ 1 即 = , 3π π sin sin? -θ ? 4 4 π 2 故 ρ sin( -θ )= , 4 2 π π 2 即 ρ (sin cos θ -cos sin θ )= , 4 4 2 化简得 ρ (cos θ -sin θ )=1, 经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程, 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ (cos θ -sin θ )=1, π 5π 其中,0≤θ < ,ρ ≥0 和 <θ <2π ,ρ ≥0. 4 4 法二 以极点 O 为直角坐标原点,极轴为 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy. π ∵直线的斜率 k=tan =1, 4 ∴过点 A(1,0)的直线方程为 y=x-1. 将 y=ρ sin θ ,x=ρ cos θ 代入上式,得 ρ sin θ =ρ cos θ -1,
3

∴ρ (cos θ -sin θ )=1, π 5π 其中,0≤θ < ,ρ ≥0 和 <θ <2π ,ρ ≥0. 4 4

法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点 M 所满足的等式, 从而集中条件建立了以 ρ ,θ 为未知数的方程;法二先求出直线的直角坐标方程,然后通过直角坐标向极坐标的 转化公式间接得解,过渡自然,视角新颖,不仅优化了思维方式,而且简化了解题过程. 若本例中条件不变,如何求以 A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程? 【解】 由题意,设 M(ρ ,θ )为射线上任意一点, π 2 根据例题可知,ρ sin( -θ )= , 4 2 化简得 ρ (cos θ -sin θ )=1. 经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程. 因此,以 A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为 ρ (cos θ -sin θ )=1(其中 π ρ ≥0,0≤θ < ). 4

极坐标方程与直角坐标方程的互化 若曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2sin θ +4cos θ ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; π (2)若直线 ρ sin(θ - )=0 与曲线 C 相交于 A、B,求|AB|. 4 【思路探究】 利用极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标 方程求解. ? ?x=ρ cos θ , 【自主解答】 (1)因为? ?y=ρ sin θ , ? 2 2 2 所以 ρ =x +y , 2 由 ρ =2sin θ +4cos θ ,得 ρ =2ρ sin θ +4ρ cos θ 2 2 2 2 ∴x +y -4x-2y=0,即(x-2) +(y-1) =5. π (2)由 ρ sin(θ - )=0, 4 2 2 sin θ - cos θ )=0, 2 2 即 ρ sin θ -ρ cos θ =0,∴x-y=0. 2 2 由于圆(x-2) +(y-1) =5 的半径为 r= 5,圆心(2,1)到直线 x-y=0 的距离为 d= |2-1| 1 = , 2 2 得ρ ( ∴|AB|=2 r -d =3 2.
2 2

1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式 x=ρ cos θ 及 y=ρ sin θ 直接代入 并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如 ρ cos θ ,ρ sin θ , 2 ρ 的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的
4

变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验. 2.对方程进行合理变形,并注重公式的正向、逆向与变形使用. π (2013·北京高考)在极坐标系中, 点(2, )到直线 ρ sin θ =2 的距离等于________. 6 π 【解析】 极坐标系中点(2, )对应的直角坐标为( 3,1).极坐标系中直线 ρ sin θ 6 =2 对应直角坐标系中直线 y=2.故所求距离为 1. 【答案】 1 极坐标方程的应用 从极点 O 作直线与另一直线 l:ρ cos θ =4 相交于点 M,在 OM 上取一点 P, 使|OM|·|OP|=12. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设 R 为 l 上的任意一点,试求|RP|的最小值. 【思路探究】 建立点 P 的极坐标方程,完成直角坐标与极坐标方程的互化,根据直线 与圆的位置关系,数形结合求|RP|的最小值. 【自主解答】 (1)设动点 P 的极坐标为(ρ ,θ ),M 的极坐标为(ρ 0,θ ),则 ρ ρ 0 =12. ∵ρ 0cos θ =4, ∴ρ =3cos θ 即为所求的轨迹方程. (2)将 ρ =3cos θ 化为直角坐标方程, 2 2 得 x +y =3x, 3 2 2 3 2 即(x- ) +y =( ) , 2 2 3 3 知 P 的轨迹是以( ,0)为圆心,半径为 的圆. 2 2 直线 l 的直角坐标方程是 x=4. 结合图形易得|RP|的最小值为 1.

1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然,因为建系的不 同,曲线的极坐标方程也会不同. 2.解题时关键是极坐标要选取适当,这样可以简化运算过程,转化为直角坐标时也容 易一些. 过极点 O 作圆 C:ρ =8cos θ 的弦 ON,求 ON 的中点 M 的轨迹方程. 【解】 法一 如图,圆心 C(4,0),半径 r=|OC|=4,连接 CM.

∵M 为弦 ON 的中点, ∴CM⊥ON,故 M 在以 OC 为直径的圆上. 所以,动点 M 的轨迹方程是 ρ =4cos θ . 法二 设 M 点的坐标是(ρ ,θ ),N(ρ 1,θ 1). N 点在圆 ρ =8cos θ 上,∴ρ 1=8cos θ 1. ① ∵M 是 ON 的中点, ? ?ρ 1=2ρ , ∴? ?θ 1=θ , ?
5

将它代入①式得 2ρ =8cos θ , 故 M 的轨迹方程是 ρ =4cos θ . (教材第 15 页习题 1.3,第 5 题) π 2 7 已知直线的极坐标方程为 ρ sin(θ + )= ,求点 A(2, π )到这条直线的距离. 4 2 4 (2013·安徽高考)在极坐标系中,圆 ρ =2cos θ 的垂直于极轴的两条切线 方程分别为( ) A.θ =0(ρ ∈R)和 ρ cos θ =2 π B.θ = (ρ ∈R)和 ρ cos θ =2 2 π C.θ = (ρ ∈R)和 ρ cos θ =1 2 D.θ =0(ρ ∈R)和 ρ cos θ =1 【命题意图】 考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化,圆的方程及其切线的求 解. 通过极坐标方程和直角坐标方程之间的转化考查了知识的转化能力、 运算求解能力和转 化应用意识. 2 2 2 【解析】 由 ρ =2cos θ ,得 ρ =2ρ cos θ ,化为直角坐标方程为 x +y -2x=0, 2 2 即(x-1) +y =1,其垂直于极轴的两条切线方程为 x=0 和 x=2,相应的极坐标方程为 θ π = (ρ ∈R)和 ρ cos θ =2. 2 【 B 答 案 】

1.(2013·安阳质检)下列点不在曲线 ρ =cos θ 上的是( ) 1 π 1 2π A.( , ) B.(- , ) 2 3 2 3 1 π 1 2π C.( ,- ) D.( ,- ) 2 3 2 3 1 2 1 2 2 【解析】 点( ,- π )的极坐标满足 ρ = ,θ =- π ,且 ρ ≠cos θ =cos(- π ) 2 3 2 3 3 1 =- . 2 【答案】 D 2.圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A.ρ =1 B.ρ =cos θ C.ρ =2cos θ D.ρ =2sin θ 2 2 【解析】 圆的直角坐标方程是(x-1) +y =1,将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入上 式,整理得,ρ =2cos θ ,即为此圆的极坐标方程. 【答案】 C 3.极坐标方程(ρ -1)(θ -π )=0(ρ ≥0)表示的图形是( ) A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线
6

D.一条直线和一条射线 【解析】 由题设,得 ρ =1,或 θ =π , ρ =1 表示圆,θ =π (ρ ≥0)表示一条射线. 【答案】 C π 4.已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρ cos θ =3,ρ =4cos θ (ρ ≥0,0≤θ < ), 2 则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为________. 2 【解析】 由 ρ cos θ =3,ρ =4cos θ ,得 4cos θ =3. π 又 0≤θ < ,则 cos θ >0. 2 3 π ,θ = ,故 ρ =2 3. 2 6 π ∴两曲线交点的极坐标为(2 3, ). 6 ∴cos θ = 【 π 6 答 案 】 (2 3 , )

(时间 40 分钟,满分 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) π 1.极坐标方程 ρ =cos( -θ )表示的曲线是( ) 4 A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 π π π 2 2 【解析】 ρ =cos( -θ )=cos cos θ +sin sin θ = cos θ + sin θ , 4 4 4 2 2 ∴ρ =
2

2 2 2 2 2 2 ρ cos θ + ρ sin θ ,即 x +y = x+ y. 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ) +(y- ) = ,表示圆. 4 4 4 )

化简整理,得(x- 【答案】 D

π 2.(2013·三门峡质检)过极点倾斜角为 的直线的极坐标方程可以为( 3 π π A.θ = B.θ = ,ρ ≥0 3 3 4π π 4π C.θ = ,ρ ≥0 D.θ = 和 θ = ,ρ ≥0 3 3 3 【解析】 以极点 O 为端点,所求直线上的点的极坐标分成两条射线. π 4 ∵两条射线的极坐标方程为 θ = 和 θ = π . 3 3 π 4 ∴直线的极坐标方程为 θ = 和 θ = π (ρ ≥0). 3 3 【答案】 D 3.在极坐标系中,圆 ρ =-2sin θ 的圆心的极坐标是( )

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π π A.(1, ) B.(1,- ) 2 2 C.(1,0) D.(1,π ) 2 2 2 【解析】 由 ρ =-2sin θ 得 ρ =-2ρ sin θ ,化成直角坐标方程为 x +y =-2y, π 2 2 化成标准方程为 x +(y+1) =1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为(1,- ). 2 【答案】 B 4.在极坐标系中与圆 ρ =4sin θ 相切的一条直线的方程为( ) 1 A.ρ cos θ = B.ρ cos θ =2 2 π π C.ρ =4sin(θ + ) D.ρ =4sin(θ - ) 3 3 2 2 2 2 【解析】 极坐标方程 ρ =4sin θ 化为 ρ =4ρ sin θ ,即 x +y =4y,即 x +(y- 2 2) =4. 由所给的选项中 ρ cos θ =2 知,x=2 为其对应的直角坐标方程,该直线与圆相切. 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2013·鹤壁调研)点 Q 是圆 ρ =4cos θ 上的一点,当 Q 在圆上移动时,OQ(O 是极 点)中点 P 的轨迹的极坐标方程是________. 【解析】 ρ =4cos θ 是以(2,0)为圆心,半径为 2 的圆,则 P 的轨迹是以(1,0)为圆 心,半径为 1 的圆,所以极坐标方程是 ρ =2cos θ . 【答案】 ρ =2cos θ π 6.(2012·安徽高考)在极坐标系中,圆 ρ =4sin θ 的圆心到直线 θ = (ρ ∈R)的 6 距离是________. 2 【解析】 极坐标系中的圆 ρ =4sin θ 转化为平面直角坐标系中的一般方程为:x π 2 2 2 +y =4y,即 x +(y-2) =4,其圆心为(0,2),直线 θ = 转化为平面直角坐标系中的方 6 程为 y= 3 x,即 3x-3y=0. 3

|0-3×2| ∴圆心(0,2)到直线 3x-3y=0 的距离为 = 3. 3+9 【答案】 3 三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) π 7. (2012·江苏高考)在极坐标系中, 已知圆 C 经过点 P( 2, ), 圆心为直线 ρ sin(θ 4 π 3 - )=- 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 3 2 π 3 【解】 在 ρ sin(θ - )=- 中,令 θ =0,得 ρ =1, 3 2 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0), π 因为圆 C 经过点 P( 2, ), 4 所以圆 C 的半径 PC= ? 2? +1 -2×1× 2cos
2 2

π =1,于是圆 C 过极点, 4

所以圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cos θ . 8.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐 π 标方程为 ρ cos(θ - )=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. 3
8

(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π 【解】 (1)由 ρ cos(θ - )=1, 3 1 3 得 ρ ( cos θ + sin θ )=1. 2 2 又 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ .

x 3 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 + y=1, 2 2
即 x+ 3y-2=0. 当 θ =0 时,ρ =2,∴点 M(2,0). π 2 2 π 当 θ = 时,ρ = 3,∴点 N( 3, ). 2 3 3 2 2 (2)由(1)知,M 点的坐标(2,0),点 N 的坐标(0, 3). 3 又 P 为 MN 的中点, 3 2 3 π ∴点 P(1, ),则点 P 的极坐标为( , ). 3 3 6 π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ = (ρ ∈R). 6 π 9.在极坐标系中,P 是曲线 ρ =12sin θ 上的一动点,Q 是曲线 ρ =12cos(θ - ) 6 上的动点,试求|PQ|的最大值. 【解】 ∵ρ =12sin θ , 2 ∴ρ =12ρ sin θ , 2 2 2 2 ∴x +y -12y=0,即 x +(y-6) =36. π 又∵ρ =12cos(θ - ), 6 π π 2 ∴ρ =12ρ (cos θ cos +sin θ sin ), 6 6 ∴x +y -6 3x-6y=0, 2 2 ∴(x-3 3) +(y-3) =36. ∴|PQ|max=6+6+ ?3 3? +3 =18. 教师备选 π 10.(2012·大连模拟)在极坐标系中,O 为极点,已知圆 C 的圆心为(2, ),半径 r 3 =1,P 在圆 C 上运动。 (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位, 且以极点 O 为原点, 以极轴为 x 轴正 半轴)中,若 Q 为线段 OP 的中点,求点 Q 轨迹的直角坐标方程. 2 2 2 【解】 (1)设圆 C 上任一点坐标为(ρ , θ ), 由余弦定理得 1 =ρ +2 -2·2ρ cos(θ π - ), 3 π 2 所以圆的极坐标方程为 ρ -4ρ cos(θ - )+3=0. 3 (2)设 Q(x,y),则 P(2x,2y),由于圆 C 的直角坐标方程为(x-1) +(y- 3) =1,P 2 2 在圆 C 上,所以(2x-1) +(2y- 3) =1,则 Q 的直角坐标方程为
2 2 2 2 2 2

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1 2 3 2 1 (x- ) +(y- ) = . 2 2 4

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