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函数与方程练习题



圆梦教育中心 高考数学专题
一、选择题。
1 1. 若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈(0,2]成立,则 a 的最小值是( ). A. 0 B. -2 5 C. -2 D. -3

1 2 . 已知函数 f(x)=loga[ x-(2a)x]对任意 x∈[2,+∞]都有意义,则实数 a 的取值范围是( ). 1 A. (0,4] 1 B. (0,4) 1 C. [4,1) 1 1 D. (4,2)

3. 函数 f(x)定义域为R,且 x≠1,已知 f(x+1)为奇函数,当 x<1 时, f(x)=2x2-x+1,那么当 x>1 时,f(x)的递减区间为( ). A. [ C. [ ,+∞) ,+∞) B. (1, D. (1, ] ]

4. 已知 f(x)=asinx+b A. -5 5.已知 A. b2>4ac

+4(a,b∈R),且 f(lglog310)=5,则 f(lglg3)的值是( ). C. 3 D. 5

B. -3

=1(a,b,c∈R),则有( ). B. b2≥4ac C. b2<4ac D. b2≤4ac

6. 方程 lgx+x=3 的解所在的区间为_____。 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3, +∞)

7. f(x) 定义在 R 上的函数,f(x+1)=- 则 f(-3.5)为( ) A.-0.5 B.-1.5 C.1.5

,当 x∈[-2,-1]时,f(x)=x,

D.-3.5

8.设 P 是 60? 的二面角 ? ? l ? ? 内一点, PA ? 平面? , PB ? 平面? , A,B为 垂足, PA ? 4, PB ? 2, 则 AB 的长为 A. 2 3 ( ) B. 2 5 C. 2 7 D. 4 2 ( D.单调递减 ≤a 恒成立,则实数 a 的最小值是( ). )

9.若函数 f(x)=(1-m)x2-2mx-5 是偶函数,则 f(x) A.先增后减 10. B.先减后增 C.单调递增 - 2 C. 3 )·

对任意非负实数 x,不等式( B. 2

1 A. 2

3 D. 4

11. 二.填空题。
1. 如果 y=1-sin2x-mcosx 的最小值为-4,则 m 的值为 2. 设 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=ex+1,则 f(x)= . .

3. 已知矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有以下五个数据: 1 (1)a=2; (2)a=1; (3)a= 3; D时,则 a 可以取 (4)a=2; (5)a=4 当在BC边上存在点Q,使PQ⊥Q

.(填上一个正确的数据序号即可)

三.解答题。
1. 设集合 A={x|4x-2x+2+a=0,x∈R}. (1)若A中仅有一个元素,求实数 a 的取值集合B; (2)若对于任意 a∈B,不等式 x2-6x<a(x-2)恒成立,求 x 的取值范围. 2. 已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 为常数,且 a≠0)满足条件: f(x-1)=f(3-x)且方程 f(x)=2x 有等根. (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m,n(m<n),使 f(x)定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n] ,如果存在,求 出 m、n 的值;如果不存在,说明理由. 1 1 3. 已知函数 f(x)=a- x (a>0,x>0). (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)≤2x 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)若 f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求 a 的取值范围.

函数与方程练习题答案 一. 选择题。
1 1. C。解法一: 看成关于 a 的不等式,由 f(0)≥0,且 f(2)≥0 可求得 a 的范围. 1 1 解法二:. f(x)=x2+1,g(x)=-ax,则结合图形(象)知原问题等价于 f(2)≥g(2), 5 即 a≥-2. 解法三:. 利用选项,代入检验,D不成立,而C成立.故选C.

2. B。 解: 考查函数 y1=

和 y2=(2a)x 的图象, 显然有 0<2a<1.由题意

得 a=



再结合指数函数图象性质可得答案.答案:B. 3. C。解:由题意可得 f(-x+1)=-f(x+1).令 t=-x+1,则 x=1-t,故 f(t)=-f(2-t)=-f(2- x).当 x>1,2-x<1,于是有 f(x)=-f(2-x)=-2(x- )2 - ,其递减区间为[ ,+∞).答

案:C 4. C。解:因为 f(x)-4是奇函数,故 f(-x)-4=-[f(x)-4] ,即 f(-x)=-f(x)+8,而 lglg3 =-lglg310,∴ f(lglg3)=f(-lglg310)=-(lglg310)+8=-5+8=3.故选C 5. C。解法1:依题设有 a· 5-b· 5+c=0.∴ 根.∴ Δ=b2-4ac≥0.∴ b2≥4ac.故选B. 解法2:其实本题也可用消元的思想求解.依题设得,b= . 5是实系数一元二次方程 ax2-bx+c=0 的一个实

∴ b2-4ac=(

1 )2-4ac=5a2+5c2-2ac≥2ac-2ac=0.故选B.

6. C。图像法解方程,也可代入各区间的一个数(特值法或代入法),选 C 7. B 8.C 9.B 10. A。解:问题 a≥ 对 x≥0 恒成立.记 f(x)= (x≥0).则问题 a≥f(x)max.当 x

=0 时,f(x)=0;当 x>0 时,f(x)= 1 2. 1 1 故 a≥2.即 a 的最小值为2,故选 A. .

,显然 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴

0<f(x)<

二.填空题。
1. 解:原式化为
当-1≤ ≤1 时,ymin= =-4 .当 ,

m=± 4

不符,



>1,ymin=1-m=-4

m=5.答案:± 5.

2. 答案:f(x)= 3. (1)或(2)

,提示:构造 f(x)与 g(x)的方程组.

三.解答题。
17. (1)令 2x=t(t>0),设 f(t)=t2-4t+a.由 f(t)=0,在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根,则有 ①f(t)=0有两等根时,Δ=0 16-4a=0 a=4;验证:t2-4t+4=0 t=2∈(0,+∞),这 时 x=1; ②f(t)=0 有一正根和一负根时,f(0)<0 a<0; ③若 f(0)=0,则 a=0,此时 4x-4· 2x=0 2x=0(舍去),或 2x=4,∴ x=2,即A中只有一个元 素 2; 综上所述,a≤0 或 a=4,即B={a|a≤0 或 a=4}. (2)要使原不等式对任意 a∈(-∞,0]∪{4}恒成立.即 g(a)=(x-2)a-(x2-6x)>0 恒成立.只须

x-2≤0g 18. 解:(1)∵

5-

<x≤2.

方程 ax2+bx=2x 有等根,∴ Δ=(b-2)2=0,得 b=2.由 f(x-1)= =1 得 a=-1,故 f(x)=-x2+2x.

f(3-x)知此函数图象的对称轴方程为 x=-

1 (2)f(x)=-(x-1)2+1≤1,∴ 4n≤1,即 n≤4.而抛物线 y=-x2+2x 的对称轴为 x=1. ∴ 1 n≤ 4 时 , f(x) 在 [ m , n ] 上 为 增 函 数 . 若 满 足 题 设 条 件 的 m , n 存 在 , 则 1 又 m<n≤4,∴ m=-2,n=0.

20. (1)证明: 任取 x1>x2>0, f(x1)-f(x2)= +∞)上是增函数. (2)解:∵ ≤2x 在(0,+∞)上恒成立,且 a>0,∴ a≥ 在

, 故 f(x)在(0,

(0,+∞)上恒成立,令 g(x)=

1 2 (当且仅当 2x= x即 x= 2 时取等号),要

使 a≥

2 2 (0,+∞)上恒成立,则 a≥ 4 ,故 a 的取值范围是[ 4 ,+∞). m=f(m),n=f(n), x+1=0 有两个不相等的正根 m, n, 注意到 m· n

(3)解:由(1)f(x)在定义域上是增函数.∴ 即 m2- m+1=0, n2-

n+1=0.故方程 x2-

=1,则只需要 Δ=(

1 )2-4>0,由于 a>0,则 0<a<2.



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