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导数寒假(无题)



? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ?

? ? ? ○ ? ? ? ?

参考答案 1. (1)详见解析; (2) ? ??, 【解析】 试题分析: (1)将 k ?

? ?

e? (3)详见解析. ?; 2?

1 代入函数解析式,利用导数函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上的单调性, 2

进而由单调性证明 f ? x ? ? 1 ; (2)解法一是“将函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增”转 化为“不等式 f ? ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ?? ? 上恒成立” ,然后利用参数分离法等价转化为“不等 式k ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ex ? ex 在区间 ? 0, ?? ? 上恒成立” ,最终转化为 k ? ? ? ;解法二是先将问题转化为 2x ? 2 x ?min

f ? ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ?? ? 上恒成立,对参数 k 进行分类讨论,围绕 f ? ? x ?min ? 0 ,从而对
参 数

k

进 行 求 解 ;( 3 ) 先 将 不 等 式 等 价 转 化 证 明

1 2? 2? 2? 2? ? ? ? ? ln ?1 ? 4 ? ? ln ?1 ? 4 ? ? ln ?1 ? 4 ? ? ? ? ln ?1 ? 4 ? ? 4 ,在( 2 )中,令 x ? 2 得到 n ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? n ?

1 ? ? ln ? 1? 4 ? ,然后在(2)中得到 e2 x ? 2 x 2 ? 1 ,两边取对数得到 ln ? 2 x 2 ? 1? ? 2 x ,在令 ? n ?
x? 1 2 2 2? 2 2? 2 ? ? ? ,需注意 ,得到 ln ?1 ? 4 ? ? 2 ,再结合放缩法得到 ln ?1 ? 4 ? ? 2 ? 2 n n ?1 n ? n ? n ? n ? n

第 一 个 不 等 式 不 用 放 缩 法 , 即 ln ?1 ?

? ?

2? ??2 , 利 用 累 加 法 便 可 得 到 14 ?

2? 2? 2? 2 2? ? ? ? ? ln ?1 ? 4 ? ? ln ?1 ? 4 ? ? ln ?1 ? 4 ? ? ? ? ln ?1 ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ,从而证明相应的不等 n ? 2 ? ? 3 ? ? n ? ? 1 ?
式. 试题解析: (1) f ? x ? ? e x ?

1 2 x ,则 h ?x ? ?f ?x e x? x ? ?? 2

, ?h? ? x ? ? e ?1 ? 0 ? x ? 0? ,
x

?h ? x ? ? f ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,? f ? ? x ? ? f ? ? 0? ? 1 ? 0 ,
故函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,所以 f ? x ? ? f ? 0? ? 1 ; (2)解法一: f ? ? x ? ? e ? 2kx ,下求使 f ? ? x ? ? 0 ? x ? 0? 恒成立的 k 的取值范围.
x

当 x ? 0 时,由 e x ? 2kx ? 0 ,得 k ?

ex 在 ? 0, ?? ? 上恒成立, 2x

试卷第 1 页,总 24 页

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e x ? x ? 1? ex ? 令 p ? x? ? ,则有 k ? p ? x ?min ,则 p ? x ? ? ,令 p? ? x ? ? 0 ,解得 x ? 1 , 2x 2 x2
列表如下:

x
p? ? x ?

? 0,1?
?


1

?1, ???
?


0
极小值

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

p ? x?

故函数 p ? x ? 在 x ? 1 处取得极小值,亦即最小值,即 p ? x ? min ? p ?1? ? 故实数 k 的取值范围是 ? ??, ? ; 2

e e ,? k ? , 2 2

? ?

e? ?

解法二: f ? ? x ? ? e ? 2kx ,下求使 f ? ? x ? ? 0 ? x ? 0? 恒成立的 k 的取值范围.
x

若 k ? 0 ,显然 f ? ? x ? ? 0 ,则 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增; 记 ? ? x ? ? e ? 2kx ,则 ?? ? x ? ? e ?2k ,
x

x

当0 ? k ?

1 时,? e x ? e0 ? 1 , 2 k ? 1 ,??? ? x ? ? 0 ,则 ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, 2

于是 f ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? 0? ? 1 ? 0 ,? f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增; 当k ?

1 x 时, ? ? x ? ? e ? 2kx 在 ? 0,ln 2k ? 上单调递减,在 ? ln 2k , ?? ? 上单调递增, 2
ln2k

于是 f ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? ln 2k ? ? e

? 2k ln 2k ,
1 e ?k? , 2 2

由 eln 2k ? 2k ln 2k ? 0 得 2k ? 2k ln 2k ? 0 ,则 综上所述, k 的取值范围是 ? ??, ? ; 2

? ?

e? ?

(3)由(1)知,对于 x ? ? 0, ?? ? ,有 f ? x ? ? e x ?
2 则 ln 2 x ? 1 ? 2 x ,从而有 ln ?

1 2 x ? 1 ,?e2 x ? 2 x2 ? 1 , 2

?

?

? 2 ? 2 ? 1? ? 2 ? n ? N ? ? , 4 ?n ? n

于是 ln ?

2 ?2 ? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ? 2 2 2 ? 1? ? ln ? 4 ? 1? ? ln ? 4 ? 1? ? ? ? ln ? 4 ? 1? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 4 n ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?n ? 1 2 3

试卷第 2 页,总 24 页

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?

2 2 2 2 1 1? 2 ? 1 1 1 ? ? ??? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 4 , 1 1? 2 2 ? 3 n ?1 n ? n ? n ?1? ? n ? 2 2 3
?2 ? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ? ? 1? ? ? 4 ? 1? ? ? 4 ? 1? ??? ? 4 ? 1? ? e4 . 4 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?n ?

故?

考点:1.利用导数证明不等式;2.函数不等式恒成立;3.放缩法证明数列不等式 2. (1) (0,1] ; ( 2) (ⅰ)13; (ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)由直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x) 相切可以求出 g ( x) 中的参数 b .再由对

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

[1,??) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 a ? x 2 ? 2 x ln x 在 [1,??) 上恒成
立,然后构造函数 h( x) ? x 2 ? 2 x ln x ,研究其导函数以确定其单调性,从而得到其最小值 1.又 a ? 0 ,所以实数 a 的取值范围是 (0,1] ; (2) (ⅰ)先通过导函数确定 f ( x ) 在 [e,3] 上 是增函数,从而得到 f ( x ) 在 [e,3] 上的最大值.由题意,必须使得不等式左边的最大值小于 或等于右边的最小值 .经计算知 xk ? e 时不等式右边取得最小值,然后代入不等式,解得

k ? 13 .因此, k 的最大值为 13 ; (ⅱ)根据(1)的推导 x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,
从而 ln x ?

1 1 2k ? 1 ( x ? ) ,再通过令 x ? 代入化简即可得证. 2 x 2k ? 1

试题解析: (1)设点 ( x0 , y0 ) 为直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x) 的切点,则有

2 ln x0 ? bx0 ? 2x0 ? 2 .
? g ?( x) ?

(*)

2 2 ? b ,? ? b ? 2 . x x0

(**)

由(*) 、 (**)两式,解得 b ? 0 , g ( x) ? 2 ln x . 由 f ( x) ? g ( x) 整理,得

1分

a ? x ? 2 ln x , x
2分

? x ? 1 ,? 要使不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,必须 a ? x 2 ? 2 x ln x 恒成立.
2 设 h( x) ? x ? 2 x ln x , h ?( x) ? 2 x ? 2(ln x ? x ? ) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 ,

1 x

? h ??( x ) ? 2 ?

2 ,? 当 x ? 1 时, h??( x) ? 0 ,则 h ?( x ) 是增函数, x

? h?( x) ? h?(1) ? 0 , h( x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 1, a ? 1 .
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因此,实数 a 的取值范围是 (0,1] . (2) (ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ?

4分

1 , x

? f ?( x) ? 1 ?

8 1 ?0, ? f ( x) 在 [e,3] 上是增函数, f ( x) 在 [e,3] 上的最大值为 f (3) ? . 2 3 x

要对 [e,3] 内的任意 k 个实数 x1 , x2 ,?, xk 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16g ( xk ) 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,

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? 当 x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ? 3 时不等式左边取得最大值, xk ? e 时不等式右边取得最小值.
? (k ? 1) ? 8 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 .因此, k 的最大值为 13 . 8 分 3

(ⅱ)证明:当 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,

1 1 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 (x ? ) . 令 x ? ? ( ? ), ,得 ln 2 x 2k ? 1 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k 化简得 ln( 2k ? 1) ? ln( 2k ? 1) ? , 4k 2 ? 1
即 ln x ?

ln(2n ? 1) ? ?[ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? ?
i ?1 i ?1

n

n

4i . 13 分 4i ? 1
2

考点:1.用导数研究函数的单调性;2.函数的单调性与最值;3.不等式. 3. (Ⅰ)曲线 f ( x ) 在点 (1,1) 处的切线方程为 y ? 1 ; (Ⅱ)当 a ? ?1 时, 所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增;②当 a ? ?1 时,函数 h( x) 在

(0, ?) 上单调递增. (Ⅲ)所求 a 的范围是:
【解析】

a?

e2 ? 1 e ? 1 或 a ? ?2 .

试题分析: (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程,由导数的几何意义可得,

对函数 f ( x ) 求导得

f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x ,令 x ? 1 ,求出 f ?(1) ? 0 ,得切线斜率,由点斜

式可写出曲线 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ) 设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) , 求函数 h( x) 的 单调区间,求函数 h( x) 的单调区间,首先确定定义域 x ? (0, ??) ,可通过单调性的定义,

h( x ) ? x ?
或求导确定单调区间,由于

1? a ? a ln x x ,含有对数函数,可通过求导来确定单

调区间,对函数 h( x) 求导得

h ' ( x) ?

? x ? 1?? x ? 1 ? a ?
x2
,由此需对参数 a 讨论,有范围判断
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导数的符号,从而得单调性; (Ⅲ)若在

?1, e? (e ? 2.718...)上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) <

g ( x0 ) 成立,既不等式 f ( x0 ) < g ( x0 ) 有解,即在 ?1, e? 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即函
数 从而可求出 a 的取值范围.
h( x ) ? x ? 1? a ? a ln x x 在

?1, e? 上的最小值小于零,结合(Ⅱ) ,分别讨论它的最小值情况,

试题解析: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ?) ,

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当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x ,

f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x ,

f (1) ? 1 , f ?(1) ? 0 ,切点 (1,1) ,斜率 k ? 0
∴曲线 f ( x ) 在点 (1,1) 处的切线方程为 y ? 1

h( x ) ? x ?
(Ⅱ)
h?( x) ? 1 ?

1? a ? a ln x x ,

1 ? a a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? ? ? x2 x x2 x2

? ? ①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a) 上 h ( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h ( x) ? 0 ,

所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增;
? ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ?) 上 h ( x) ? 0 ,所以,函数 h( x) 在 (0, ?) 上单调递增.

(Ⅲ)在

?1, e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ?
h( x ) ? x ? 1? a ? a ln x x 在

g ( x0 )

成立,即在

?1, e? 上存在一点 x0 ,使得

h( x0 ) ? 0 ,即函数

?1, e? 上的最小值小于零.

?1, e? 上单调递减, 由(Ⅱ)可知:①当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在
所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由 e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ?1 a? e ?1 ; 因为 e ? 1 ,所以
h(e) ? e ?

e2 ? 1 1? a a? ?a?0 e ?1 , e 可得

?1, e? 上单调递增, ②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在
所以 h( x) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,可得 h( x) 最小值为 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) , 因为 0 ? ln(1 ? a ) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a) ? a
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故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时不存在
a? e2 ? 1 e ? 1 或 a ? ?2 .

x? 使 h( x? ) ? 0 成立.

综上可得所求 a 的范围是: 考点:函数与导数,函数单调性,存在解问题. 4. (1) a ? ?2 ; (2)存在,且 e 的范围是 (1, 【解析】 试题分析: (1)由于 f ( x ) 是多项式函数,故对最高次项系数分类, a ? 0 时它是一次函数, 是增函数,不是减函数,当 a ? 0 时, f ( x ) 是二次函数,需要考虑对称轴和开口方向; (2) 首 先 把 方 程

e2 ? e ). 2e ? 1

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

g ( x) ? f ?( x) ? (2a ? 1) 化 简 , 变 为 ax2 ? (1 ? 2a) x ? ln x ? 0 , 设 x 1 2 ,即方程 H ( x)? a x ? (1 ? 2a )? x ln x? ( x 0 )H ( x) ? 0 在区间 ( , e) 内有且只有两个不相 e

等的实数根,转化为讨论函数 y ? H ( x) 的单调性及极值问题,如本题中,通过分析导函数 上 , ) 增函数,因此条件为 H '( x) , 知 H ( x ) 在 (0,1) 上 是 减 函 数 , 在 ( 1??

? 1 ? H ( e )? 0 , ? a 的取值范围. ? H( 1 ? ) 解这个不等式组即得所求 0, ? H ( x) m i n ? H (e )? 0 , ? ?
试题解析: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x 在 [1, ??) 是单调增函数,不符合题意; 当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? ? 不符合题意; 当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调减函数,则 ? 综上, a 的取值范围是 a ? ?2 . 4 分 (2)把方程
2

2 ,由于 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调增函数, a

2 ? 1 ,解得 a ? ?2 . a

g ( x) ln x ? f '( x) ? (2a ? 1) 整理为 ? ax ? 2 ? (2a ? 1) , x x
5分

即为方程 ax ? (1 ? 2a) x ? ln x ? 0 ,

2 设 H ( x) ? ax ? (1 ? 2a) x ? ln x( x ? 0) ,原方程在区间 ( , e) 内有且只有两个不相等的实

1 a

数根,即为函数 H ( x ) 在区间 ( , e) 内有且只有两个零点. 6 分

1 a

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H '( x) ? 2ax ? (1 ? 2a) ?

1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) , ? ? x x x
1 (舍) , 2a

令 H '( x) ? 0 ,∵ a ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?

当 x ? (0,1) 时, H '( x) ? 0 , H ( x ) 是减函数, 当 x ? (1, ??) 时, H '( x) ? 0 , H ( x ) 是增函数. 10 分

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? 1 ? H ( e ) ? 0, ? 1 H ( x ) 在 ( , e) 内有且只有两个不相等的零点,只需 ? H ( x) min ? 0, e ? H (e) ? 0, ? ?

11 分

? a 1 ? 2a (1 ? 2a)e ? a ? e 2 ? ? 1 ? ? 0, ? e2 2 e e ? ? 即 ? H (1) ? a ? (1 ? 2a) ? 1 ? a ? 0, ?ae2 ? (1 ? 2a)e ? 1 ? (e2 ? 2e)a ? (e ? 1) ? 0, ? ? ?
解得 1 ? a ?

? e2 ? e a ? , ? 2 e ? 1 ? ? ∴ ?a ? 1, ? 1? e ?a ? 2 , e ? 2e ? ?

e2 ? e e2 ? e ,所以 a 的取值范围是 (1, ). 2e ? 1 2e ? 1
1 2

考点: (1)单调减函数的判定; (2)方程根的个数的判定.

2 ) ,及(1,+∞) ,递减区 3 49 2 2 2 间为(- ,1) ,当 x=- 时,f (x)有极大值,f (- )= ;当 x=1 时,f (x)有 27 3 3 3 1 极小值,f (1)=- ; (3) 0 ? c ? 1 或 c ? ?3 . 2
5. (1) a ? ? , b ? ?1 ; (2)f (x)的递增区间为(-∞,- 【解析】 试题分析: (1)函数的极值点是使导数等于 0 的 x 的值,因此本题中一定有 f '(1) ? 0 和

2 3 f '(? ) ? 0 ,由此可解出 a , b 的值; (2)再由 f ( ?1) ? 可求出 c ,而求单调区间,很显 3 2
然是解不等式 f '( x) ? 0 (得增区间)或 f '( x) ? 0 (得减区间) ,然后可得相应的极大值和

3 恒成立,实际上就是当 x ?? ?1, 2? 时 f ( x ) 的最大 c 3 3 值小于 ,因此问题转化为先求 f ( x ) 在 x ?? ?1, 2? 上的最大值 m ,然后再解不等式 m ? c c
极小值; (3) x ?? ?1, 2? 不等式 f ( x ) ? 即可. 2 试题解析: (1)f ′(x)=3x +2a x+b=0.
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2 为 f ′(x)=0 的解. 3 2 2 b 2 1 - a=1- , =1×(- ).∴a=- ,b=-2 3分 3 3 3 3 2 2 经检验得:这时 x ? 1 与 x ? ? 都是极值点. ?4 分 3 1 2 1 3 3 (2)f (x)=x - x -2 x+c,由 f (-1)=-1- +2+c= ,c=1. 2 2 2 1 2 3 ∴f (x)=x - x -2 x+1. 2
由题设,x=1,x=-

2 2 ) ,及(1,+∞) ,递减区间为(- ,1) . 3 3 49 2 2 当 x=- 时,f (x)有极大值,f (- )= ; 27 3 3 1 当 x=1 时,f (x)有极小值,f (1)=- ?8 分 2 1 2 3 (3)由(1)得,f′(x)=(x-1)(3x+2),f (x)=x - x -2 x+c, 2 2 2 f (x)在[-1,- ) 及(1,2]上递增,在(- ,1)递减. 3 3 8 22 2 2 4 而 f (- )=- - + +c=c+ .f (2)=8-2-4+c=c+2. 27 9 5 27 3
∴f(x)的递增区间为(-∞,- ∴ f (x)在[-1,2]上的最大值为 c+2.∴

c?2?

3 ,∴ c

c 2 ? 2c ? 3 ?0 c
12 分

∴?

?c ? 0 ?c ? 2c ? 3 ? 0
2

或?

?c ? 0
2 ?c ? 2c ? 3 ? 0



0 ? c ? 1 或 c ? ?3

考点: (1)导数与极值; (2)导数与单调区间; (3)不等式恒成立问题.

1 , ?? ) 上, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 6. (I) 当 a ? 0 时, 当 a ? 0 时, 在 (0,1] 上, f ' ( x ) ? 0 , 在(
在 (0,1] 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增;当 a ?

1 时,函数 f ( x ) 在 (0,??) 单调递减;当 2

0?a?
(1,

1 1? a 时, x ? (0,1] 时 ,, 函数 f ( x ) 在 (0,1] 上单调递减; x ? (1, ] 时 , 函数 f ( x ) 在 a 2

1? a 1? a 1? a (II)实数 b ] 上单调递增; x ? ( ,??) 时,函数 f ( x ) 在 ( ,??) 上单调递减; a a a 7 . 3
试卷第 8 页,总 24 页

取值范围 b ?

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【解析】 试题分析:(I) 当 0 ? a ?

1 时,试讨论 f ( x ) 的单调性,首先确定定义域 x ? (0, ??) ,可通 2

1 ? 1(a ? R) ,含有对 x ( x ? 1)(ax ? a ? 1) ' 数函数,可通过求导来确定单调区间,对函数 f ( x) 求导得 f ( x) ? ? ,由 x2
过单调性的定义,或求导确定单调性,由于 f ( x) ? ln x ? a( x ? ) ? 此需对参数 a 讨论,分 a ? 0 ,a ?

1 x

1 1 ,0 ? a ? 三种情况, 判断导数的符号, 从而得单调性; 2 2 1 时 , 若 对 任 意 x1 ? (0,2] , 存 在 x 2 ? [2,3] , 使 3 1 时, 若对任意 x1 ? (0,2] 时, f ( x ) 3 1 时,f ( x ) 在 (0,1] 3

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

( II ) 设 g( x ) ? x 2 ? bx ? 2 , 当 a ?

f ( x1 ) ? g( x 2 ) , 求实数 b 取值范围, 由题意可知, 当a ?

的最小值大于或等于当 x 2 ? [2,3] 时 g ( x) 的最小值即可, 由 (I) 知, 当a ? 单调递减,在 (1,2] 单调递增.? f min ( x ) ? f (1) ?

4 ,只需求出 g ( x) 的最小值,由于本题属 3 于对称轴不确定,需讨论,从而确定实数 b 取值范围.也可用分离参数法来求.
试题解析: (I) f ' ( x) ? 3分
1 ? 当 a ? 0 时,在 (0,1] 上, f ' ( x ) ? 0 ,在 (1, ??) 上, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0,1] 上单调

( x ? 1)( ax ? a ? 1) ? ax 2 ? x ? a ? 1 1 a 1 ?? ( x ? 0) ?a? 2 ? 2 = 2 x x x2 x x

递减,在 (1, ??) 上单调递增;
2? 当 a ?

4分 5分

1 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0,??) 单调递减; 2

3? 当 0 ? a ?

1? a 1 时, ? 1 , x ? (0,1] 时 , f ' ( x ) ? 0 , 函 数 f ( x ) 在 (0,1] 上 单 调 递 减 ; a 2

x ? (1,

1? a 1? a 1? a ] 上单调递增;x ? ( ] 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ,??) 时, f ' ( x ) ? 0 , a a a 1? a ,??) 上单调递减. a
7分

函数 f ( x ) 在 (

(II)若对任意 x1 ? (0,2] ,存在 x 2 ? [2,3] ,使 f ( x1 ) ? g( x 2 ) 成立,只需 f min ( x ) ? g min ( x ) 9分 由(I)知,当 a ? 11 分 法一: g( x ) ? x 2 ? bx ? 2 ,对称轴 x ? 得:

1 4 时, f ( x ) 在 (0,1] 单调递减,在 (1,2] 单调递增.? f min ( x ) ? f (1) ? , 3 3 b b 4 , 1 ? 当 ? 2 ,即 b ? 4 时, g min ( x ) ? g(2) ? , 2 2 3

7 ? b? 4; 3

试卷第 9 页,总 24 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

2? 当

b 4 ? 3 ,即 b ? 6 时, g min ( x ) ? g(3) ? ,得: b ? 6 ; 2 3

3? 当 2 ?

b b 4 ? 3 ,即 4 ? b ? 6 时, g min ( x ) ? g( ) ? ,得: 4 ? b ? 6 . 2 3 2
7 . 3 2 , 3x
15 分

14 分

综上: b ? 法二:

参变量分离: b ? x ? 令 h( x ) ? x ?

13 分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

7 2 7 , 只需 b ? hmin ( x ) , 可知 h( x )