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导数寒假(无题)



? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ?

? ? ? ○ ? ? ? ?

参考答案 1. (1)详见解析; (2) ? ??, 【解析】 试题分析: (1)将 k ?

? ?

e? (3)详见解析. ?; 2?

1 代入函数解析式,利用导数函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上的单调性, 2

进而由单调性证明 f ? x ? ? 1 ; (2)解法一是“将函数 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增”转 化为“不等式 f ? ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ?? ? 上恒成立” ,然后利用参数分离法等价转化为“不等 式k ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ex ? ex 在区间 ? 0, ?? ? 上恒成立” ,最终转化为 k ? ? ? ;解法二是先将问题转化为 2x ? 2 x ?min

f ? ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ?? ? 上恒成立,对参数 k 进行分类讨论,围绕 f ? ? x ?min ? 0 ,从而对
参 数

k

进 行 求 解 ;( 3 ) 先 将 不 等 式 等 价 转 化 证 明

1 2? 2? 2? 2? ? ? ? ? ln ?1 ? 4 ? ? ln ?1 ? 4 ? ? ln ?1 ? 4 ? ? ? ? ln ?1 ? 4 ? ? 4 ,在( 2 )中,令 x ? 2 得到 n ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? n ?

1 ? ? ln ? 1? 4 ? ,然后在(2)中得到 e2 x ? 2 x 2 ? 1 ,两边取对数得到 ln ? 2 x 2 ? 1? ? 2 x ,在令 ? n ?
x? 1 2 2 2? 2 2? 2 ? ? ? ,需注意 ,得到 ln ?1 ? 4 ? ? 2 ,再结合放缩法得到 ln ?1 ? 4 ? ? 2 ? 2 n n ?1 n ? n ? n ? n ? n

第 一 个 不 等 式 不 用 放 缩 法 , 即 ln ?1 ?

? ?

2? ??2 , 利 用 累 加 法 便 可 得 到 14 ?

2? 2? 2? 2 2? ? ? ? ? ln ?1 ? 4 ? ? ln ?1 ? 4 ? ? ln ?1 ? 4 ? ? ? ? ln ?1 ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ,从而证明相应的不等 n ? 2 ? ? 3 ? ? n ? ? 1 ?
式. 试题解析: (1) f ? x ? ? e x ?

1 2 x ,则 h ?x ? ?f ?x e x? x ? ?? 2

, ?h? ? x ? ? e ?1 ? 0 ? x ? 0? ,
x

?h ? x ? ? f ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,? f ? ? x ? ? f ? ? 0? ? 1 ? 0 ,
故函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,所以 f ? x ? ? f ? 0? ? 1 ; (2)解法一: f ? ? x ? ? e ? 2kx ,下求使 f ? ? x ? ? 0 ? x ? 0? 恒成立的 k 的取值范围.
x

当 x ? 0 时,由 e x ? 2kx ? 0 ,得 k ?

ex 在 ? 0, ?? ? 上恒成立, 2x

试卷第 1 页,总 24 页

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e x ? x ? 1? ex ? 令 p ? x? ? ,则有 k ? p ? x ?min ,则 p ? x ? ? ,令 p? ? x ? ? 0 ,解得 x ? 1 , 2x 2 x2
列表如下:

x
p? ? x ?

? 0,1?
?


1

?1, ???
?


0
极小值

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

p ? x?

故函数 p ? x ? 在 x ? 1 处取得极小值,亦即最小值,即 p ? x ? min ? p ?1? ? 故实数 k 的取值范围是 ? ??, ? ; 2

e e ,? k ? , 2 2

? ?

e? ?

解法二: f ? ? x ? ? e ? 2kx ,下求使 f ? ? x ? ? 0 ? x ? 0? 恒成立的 k 的取值范围.
x

若 k ? 0 ,显然 f ? ? x ? ? 0 ,则 f ? x ? 在区间 ? 0, ?? ? 上单调递增; 记 ? ? x ? ? e ? 2kx ,则 ?? ? x ? ? e ?2k ,
x

x

当0 ? k ?

1 时,? e x ? e0 ? 1 , 2 k ? 1 ,??? ? x ? ? 0 ,则 ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, 2

于是 f ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? 0? ? 1 ? 0 ,? f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增; 当k ?

1 x 时, ? ? x ? ? e ? 2kx 在 ? 0,ln 2k ? 上单调递减,在 ? ln 2k , ?? ? 上单调递增, 2
ln2k

于是 f ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? ln 2k ? ? e

? 2k ln 2k ,
1 e ?k? , 2 2

由 eln 2k ? 2k ln 2k ? 0 得 2k ? 2k ln 2k ? 0 ,则 综上所述, k 的取值范围是 ? ??, ? ; 2

? ?

e? ?

(3)由(1)知,对于 x ? ? 0, ?? ? ,有 f ? x ? ? e x ?
2 则 ln 2 x ? 1 ? 2 x ,从而有 ln ?

1 2 x ? 1 ,?e2 x ? 2 x2 ? 1 , 2

?

?

? 2 ? 2 ? 1? ? 2 ? n ? N ? ? , 4 ?n ? n

于是 ln ?

2 ?2 ? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ? 2 2 2 ? 1? ? ln ? 4 ? 1? ? ln ? 4 ? 1? ? ? ? ln ? 4 ? 1? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 4 n ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?n ? 1 2 3

试卷第 2 页,总 24 页

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?

2 2 2 2 1 1? 2 ? 1 1 1 ? ? ??? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 4 , 1 1? 2 2 ? 3 n ?1 n ? n ? n ?1? ? n ? 2 2 3
?2 ? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ? ? 1? ? ? 4 ? 1? ? ? 4 ? 1? ??? ? 4 ? 1? ? e4 . 4 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?n ?

故?

考点:1.利用导数证明不等式;2.函数不等式恒成立;3.放缩法证明数列不等式 2. (1) (0,1] ; ( 2) (ⅰ)13; (ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)由直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x) 相切可以求出 g ( x) 中的参数 b .再由对

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

[1,??) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 a ? x 2 ? 2 x ln x 在 [1,??) 上恒成
立,然后构造函数 h( x) ? x 2 ? 2 x ln x ,研究其导函数以确定其单调性,从而得到其最小值 1.又 a ? 0 ,所以实数 a 的取值范围是 (0,1] ; (2) (ⅰ)先通过导函数确定 f ( x ) 在 [e,3] 上 是增函数,从而得到 f ( x ) 在 [e,3] 上的最大值.由题意,必须使得不等式左边的最大值小于 或等于右边的最小值 .经计算知 xk ? e 时不等式右边取得最小值,然后代入不等式,解得

k ? 13 .因此, k 的最大值为 13 ; (ⅱ)根据(1)的推导 x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,
从而 ln x ?

1 1 2k ? 1 ( x ? ) ,再通过令 x ? 代入化简即可得证. 2 x 2k ? 1

试题解析: (1)设点 ( x0 , y0 ) 为直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x) 的切点,则有

2 ln x0 ? bx0 ? 2x0 ? 2 .
? g ?( x) ?

(*)

2 2 ? b ,? ? b ? 2 . x x0

(**)

由(*) 、 (**)两式,解得 b ? 0 , g ( x) ? 2 ln x . 由 f ( x) ? g ( x) 整理,得

1分

a ? x ? 2 ln x , x
2分

? x ? 1 ,? 要使不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,必须 a ? x 2 ? 2 x ln x 恒成立.
2 设 h( x) ? x ? 2 x ln x , h ?( x) ? 2 x ? 2(ln x ? x ? ) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 ,

1 x

? h ??( x ) ? 2 ?

2 ,? 当 x ? 1 时, h??( x) ? 0 ,则 h ?( x ) 是增函数, x

? h?( x) ? h?(1) ? 0 , h( x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 1, a ? 1 .
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因此,实数 a 的取值范围是 (0,1] . (2) (ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ?

4分

1 , x

? f ?( x) ? 1 ?

8 1 ?0, ? f ( x) 在 [e,3] 上是增函数, f ( x) 在 [e,3] 上的最大值为 f (3) ? . 2 3 x

要对 [e,3] 内的任意 k 个实数 x1 , x2 ,?, xk 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16g ( xk ) 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,

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? 当 x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ? 3 时不等式左边取得最大值, xk ? e 时不等式右边取得最小值.
? (k ? 1) ? 8 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 .因此, k 的最大值为 13 . 8 分 3

(ⅱ)证明:当 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,

1 1 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 (x ? ) . 令 x ? ? ( ? ), ,得 ln 2 x 2k ? 1 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k 化简得 ln( 2k ? 1) ? ln( 2k ? 1) ? , 4k 2 ? 1
即 ln x ?

ln(2n ? 1) ? ?[ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? ?
i ?1 i ?1

n

n

4i . 13 分 4i ? 1
2

考点:1.用导数研究函数的单调性;2.函数的单调性与最值;3.不等式. 3. (Ⅰ)曲线 f ( x ) 在点 (1,1) 处的切线方程为 y ? 1 ; (Ⅱ)当 a ? ?1 时, 所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增;②当 a ? ?1 时,函数 h( x) 在

(0, ?) 上单调递增. (Ⅲ)所求 a 的范围是:
【解析】

a?

e2 ? 1 e ? 1 或 a ? ?2 .

试题分析: (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程,由导数的几何意义可得,

对函数 f ( x ) 求导得

f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x ,令 x ? 1 ,求出 f ?(1) ? 0 ,得切线斜率,由点斜

式可写出曲线 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ) 设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) , 求函数 h( x) 的 单调区间,求函数 h( x) 的单调区间,首先确定定义域 x ? (0, ??) ,可通过单调性的定义,

h( x ) ? x ?
或求导确定单调区间,由于

1? a ? a ln x x ,含有对数函数,可通过求导来确定单

调区间,对函数 h( x) 求导得

h ' ( x) ?

? x ? 1?? x ? 1 ? a ?
x2
,由此需对参数 a 讨论,有范围判断
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导数的符号,从而得单调性; (Ⅲ)若在

?1, e? (e ? 2.718...)上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) <

g ( x0 ) 成立,既不等式 f ( x0 ) < g ( x0 ) 有解,即在 ?1, e? 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即函
数 从而可求出 a 的取值范围.
h( x ) ? x ? 1? a ? a ln x x 在

?1, e? 上的最小值小于零,结合(Ⅱ) ,分别讨论它的最小值情况,

试题解析: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ?) ,

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当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x ,

f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x ,

f (1) ? 1 , f ?(1) ? 0 ,切点 (1,1) ,斜率 k ? 0
∴曲线 f ( x ) 在点 (1,1) 处的切线方程为 y ? 1

h( x ) ? x ?
(Ⅱ)
h?( x) ? 1 ?

1? a ? a ln x x ,

1 ? a a x 2 ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? ? ? x2 x x2 x2

? ? ①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a) 上 h ( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h ( x) ? 0 ,

所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增;
? ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ?) 上 h ( x) ? 0 ,所以,函数 h( x) 在 (0, ?) 上单调递增.

(Ⅲ)在

?1, e? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ?
h( x ) ? x ? 1? a ? a ln x x 在

g ( x0 )

成立,即在

?1, e? 上存在一点 x0 ,使得

h( x0 ) ? 0 ,即函数

?1, e? 上的最小值小于零.

?1, e? 上单调递减, 由(Ⅱ)可知:①当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在
所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由 e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ?1 a? e ?1 ; 因为 e ? 1 ,所以
h(e) ? e ?

e2 ? 1 1? a a? ?a?0 e ?1 , e 可得

?1, e? 上单调递增, ②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在
所以 h( x) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,可得 h( x) 最小值为 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) , 因为 0 ? ln(1 ? a ) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a) ? a
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故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时不存在
a? e2 ? 1 e ? 1 或 a ? ?2 .

x? 使 h( x? ) ? 0 成立.

综上可得所求 a 的范围是: 考点:函数与导数,函数单调性,存在解问题. 4. (1) a ? ?2 ; (2)存在,且 e 的范围是 (1, 【解析】 试题分析: (1)由于 f ( x ) 是多项式函数,故对最高次项系数分类, a ? 0 时它是一次函数, 是增函数,不是减函数,当 a ? 0 时, f ( x ) 是二次函数,需要考虑对称轴和开口方向; (2) 首 先 把 方 程

e2 ? e ). 2e ? 1

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

g ( x) ? f ?( x) ? (2a ? 1) 化 简 , 变 为 ax2 ? (1 ? 2a) x ? ln x ? 0 , 设 x 1 2 ,即方程 H ( x)? a x ? (1 ? 2a )? x ln x? ( x 0 )H ( x) ? 0 在区间 ( , e) 内有且只有两个不相 e

等的实数根,转化为讨论函数 y ? H ( x) 的单调性及极值问题,如本题中,通过分析导函数 上 , ) 增函数,因此条件为 H '( x) , 知 H ( x ) 在 (0,1) 上 是 减 函 数 , 在 ( 1??

? 1 ? H ( e )? 0 , ? a 的取值范围. ? H( 1 ? ) 解这个不等式组即得所求 0, ? H ( x) m i n ? H (e )? 0 , ? ?
试题解析: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 x 在 [1, ??) 是单调增函数,不符合题意; 当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? ? 不符合题意; 当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调减函数,则 ? 综上, a 的取值范围是 a ? ?2 . 4 分 (2)把方程
2

2 ,由于 y ? f ( x) 在 [1, ??) 上是单调增函数, a

2 ? 1 ,解得 a ? ?2 . a

g ( x) ln x ? f '( x) ? (2a ? 1) 整理为 ? ax ? 2 ? (2a ? 1) , x x
5分

即为方程 ax ? (1 ? 2a) x ? ln x ? 0 ,

2 设 H ( x) ? ax ? (1 ? 2a) x ? ln x( x ? 0) ,原方程在区间 ( , e) 内有且只有两个不相等的实

1 a

数根,即为函数 H ( x ) 在区间 ( , e) 内有且只有两个零点. 6 分

1 a

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H '( x) ? 2ax ? (1 ? 2a) ?

1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) , ? ? x x x
1 (舍) , 2a

令 H '( x) ? 0 ,∵ a ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?

当 x ? (0,1) 时, H '( x) ? 0 , H ( x ) 是减函数, 当 x ? (1, ??) 时, H '( x) ? 0 , H ( x ) 是增函数. 10 分

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? 1 ? H ( e ) ? 0, ? 1 H ( x ) 在 ( , e) 内有且只有两个不相等的零点,只需 ? H ( x) min ? 0, e ? H (e) ? 0, ? ?

11 分

? a 1 ? 2a (1 ? 2a)e ? a ? e 2 ? ? 1 ? ? 0, ? e2 2 e e ? ? 即 ? H (1) ? a ? (1 ? 2a) ? 1 ? a ? 0, ?ae2 ? (1 ? 2a)e ? 1 ? (e2 ? 2e)a ? (e ? 1) ? 0, ? ? ?
解得 1 ? a ?

? e2 ? e a ? , ? 2 e ? 1 ? ? ∴ ?a ? 1, ? 1? e ?a ? 2 , e ? 2e ? ?

e2 ? e e2 ? e ,所以 a 的取值范围是 (1, ). 2e ? 1 2e ? 1
1 2

考点: (1)单调减函数的判定; (2)方程根的个数的判定.

2 ) ,及(1,+∞) ,递减区 3 49 2 2 2 间为(- ,1) ,当 x=- 时,f (x)有极大值,f (- )= ;当 x=1 时,f (x)有 27 3 3 3 1 极小值,f (1)=- ; (3) 0 ? c ? 1 或 c ? ?3 . 2
5. (1) a ? ? , b ? ?1 ; (2)f (x)的递增区间为(-∞,- 【解析】 试题分析: (1)函数的极值点是使导数等于 0 的 x 的值,因此本题中一定有 f '(1) ? 0 和

2 3 f '(? ) ? 0 ,由此可解出 a , b 的值; (2)再由 f ( ?1) ? 可求出 c ,而求单调区间,很显 3 2
然是解不等式 f '( x) ? 0 (得增区间)或 f '( x) ? 0 (得减区间) ,然后可得相应的极大值和

3 恒成立,实际上就是当 x ?? ?1, 2? 时 f ( x ) 的最大 c 3 3 值小于 ,因此问题转化为先求 f ( x ) 在 x ?? ?1, 2? 上的最大值 m ,然后再解不等式 m ? c c
极小值; (3) x ?? ?1, 2? 不等式 f ( x ) ? 即可. 2 试题解析: (1)f ′(x)=3x +2a x+b=0.
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2 为 f ′(x)=0 的解. 3 2 2 b 2 1 - a=1- , =1×(- ).∴a=- ,b=-2 3分 3 3 3 3 2 2 经检验得:这时 x ? 1 与 x ? ? 都是极值点. ?4 分 3 1 2 1 3 3 (2)f (x)=x - x -2 x+c,由 f (-1)=-1- +2+c= ,c=1. 2 2 2 1 2 3 ∴f (x)=x - x -2 x+1. 2
由题设,x=1,x=-

2 2 ) ,及(1,+∞) ,递减区间为(- ,1) . 3 3 49 2 2 当 x=- 时,f (x)有极大值,f (- )= ; 27 3 3 1 当 x=1 时,f (x)有极小值,f (1)=- ?8 分 2 1 2 3 (3)由(1)得,f′(x)=(x-1)(3x+2),f (x)=x - x -2 x+c, 2 2 2 f (x)在[-1,- ) 及(1,2]上递增,在(- ,1)递减. 3 3 8 22 2 2 4 而 f (- )=- - + +c=c+ .f (2)=8-2-4+c=c+2. 27 9 5 27 3
∴f(x)的递增区间为(-∞,- ∴ f (x)在[-1,2]上的最大值为 c+2.∴

c?2?

3 ,∴ c

c 2 ? 2c ? 3 ?0 c
12 分

∴?

?c ? 0 ?c ? 2c ? 3 ? 0
2

或?

?c ? 0
2 ?c ? 2c ? 3 ? 0



0 ? c ? 1 或 c ? ?3

考点: (1)导数与极值; (2)导数与单调区间; (3)不等式恒成立问题.

1 , ?? ) 上, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 6. (I) 当 a ? 0 时, 当 a ? 0 时, 在 (0,1] 上, f ' ( x ) ? 0 , 在(
在 (0,1] 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增;当 a ?

1 时,函数 f ( x ) 在 (0,??) 单调递减;当 2

0?a?
(1,

1 1? a 时, x ? (0,1] 时 ,, 函数 f ( x ) 在 (0,1] 上单调递减; x ? (1, ] 时 , 函数 f ( x ) 在 a 2

1? a 1? a 1? a (II)实数 b ] 上单调递增; x ? ( ,??) 时,函数 f ( x ) 在 ( ,??) 上单调递减; a a a 7 . 3
试卷第 8 页,总 24 页

取值范围 b ?

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【解析】 试题分析:(I) 当 0 ? a ?

1 时,试讨论 f ( x ) 的单调性,首先确定定义域 x ? (0, ??) ,可通 2

1 ? 1(a ? R) ,含有对 x ( x ? 1)(ax ? a ? 1) ' 数函数,可通过求导来确定单调区间,对函数 f ( x) 求导得 f ( x) ? ? ,由 x2
过单调性的定义,或求导确定单调性,由于 f ( x) ? ln x ? a( x ? ) ? 此需对参数 a 讨论,分 a ? 0 ,a ?

1 x

1 1 ,0 ? a ? 三种情况, 判断导数的符号, 从而得单调性; 2 2 1 时 , 若 对 任 意 x1 ? (0,2] , 存 在 x 2 ? [2,3] , 使 3 1 时, 若对任意 x1 ? (0,2] 时, f ( x ) 3 1 时,f ( x ) 在 (0,1] 3

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

( II ) 设 g( x ) ? x 2 ? bx ? 2 , 当 a ?

f ( x1 ) ? g( x 2 ) , 求实数 b 取值范围, 由题意可知, 当a ?

的最小值大于或等于当 x 2 ? [2,3] 时 g ( x) 的最小值即可, 由 (I) 知, 当a ? 单调递减,在 (1,2] 单调递增.? f min ( x ) ? f (1) ?

4 ,只需求出 g ( x) 的最小值,由于本题属 3 于对称轴不确定,需讨论,从而确定实数 b 取值范围.也可用分离参数法来求.
试题解析: (I) f ' ( x) ? 3分
1 ? 当 a ? 0 时,在 (0,1] 上, f ' ( x ) ? 0 ,在 (1, ??) 上, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0,1] 上单调

( x ? 1)( ax ? a ? 1) ? ax 2 ? x ? a ? 1 1 a 1 ?? ( x ? 0) ?a? 2 ? 2 = 2 x x x2 x x

递减,在 (1, ??) 上单调递增;
2? 当 a ?

4分 5分

1 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0,??) 单调递减; 2

3? 当 0 ? a ?

1? a 1 时, ? 1 , x ? (0,1] 时 , f ' ( x ) ? 0 , 函 数 f ( x ) 在 (0,1] 上 单 调 递 减 ; a 2

x ? (1,

1? a 1? a 1? a ] 上单调递增;x ? ( ] 时, f ' ( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ,??) 时, f ' ( x ) ? 0 , a a a 1? a ,??) 上单调递减. a
7分

函数 f ( x ) 在 (

(II)若对任意 x1 ? (0,2] ,存在 x 2 ? [2,3] ,使 f ( x1 ) ? g( x 2 ) 成立,只需 f min ( x ) ? g min ( x ) 9分 由(I)知,当 a ? 11 分 法一: g( x ) ? x 2 ? bx ? 2 ,对称轴 x ? 得:

1 4 时, f ( x ) 在 (0,1] 单调递减,在 (1,2] 单调递增.? f min ( x ) ? f (1) ? , 3 3 b b 4 , 1 ? 当 ? 2 ,即 b ? 4 时, g min ( x ) ? g(2) ? , 2 2 3

7 ? b? 4; 3

试卷第 9 页,总 24 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

2? 当

b 4 ? 3 ,即 b ? 6 时, g min ( x ) ? g(3) ? ,得: b ? 6 ; 2 3

3? 当 2 ?

b b 4 ? 3 ,即 4 ? b ? 6 时, g min ( x ) ? g( ) ? ,得: 4 ? b ? 6 . 2 3 2
7 . 3 2 , 3x
15 分

14 分

综上: b ? 法二:

参变量分离: b ? x ? 令 h( x ) ? x ?

13 分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

7 2 7 , 只需 b ? hmin ( x ) , 可知 h( x ) 在 [2,3] 上单调递增, b? . hmin ( x ) ? h(2) ? , 3 3x 3

15 分 考点:函数与导数,函数单调性,存在解问题. 7. (1) f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数; (2)所以 x ? log2 (1 ? 2) ?1 或 x ? ?1 ; (3) 当 b ? ?1 时, a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b) ,当 ? 1 ? b ? 2 2 ? 3 时, a 的取值范围是

(1 ? b,2 ? b ) ;当 2 2 ? 3 ? b ? 0 时, a 的取值范围是 ? .
【解析】 试题分析: (1) a ? 1, b ? 0 时, f ( x) ? x x ?1 为确定的函数,要证明它具有奇偶性,必须 按照定义证明,若要说明它没有奇偶性,可举一特例,说明某一对值 f ( m) 与 f (? m) 不相
x 等(不是偶函数)也不相反(不是奇函数) . ( 2 ) 当 a ? 1, b ? 1 时 , f ( 2 ) ?

5 为 4

2x 2x ?1 ?1 ?
x

5 ,这是含有绝对值符号的方程,要解这个方程一般是分类讨论绝对值符号 4

里的式子 2 ? 1 的正负,以根据绝对值定义去掉绝对值符号,变成通常的方程来解. (3)不 等式 f ( x) ? 0 恒成立时要求参数 a 的取值范围,一般要把问题进行转化,例如分离参数法, 或者转化为函数的最值问题. f ( x) ? 0 即为 x x ? a ? b ? 0 , 可以先把绝对值式子 x ? a 解 出来,这时注意首先把 x ? 0 分出来,然后讨论 0 ? x ? 1 时,不等式化为 x ? a ? 是 有

?b ,于 x

b b b b ? x?a ? ? , 即 x? ? a ? x? , 这 个 不 等 式 恒 成 立 , 说 明 x x x x b b ( x ? ) max ? a ? ( x ? ) min , x ? ?0,1? , 这 时 我 们 的 问 题 就 转 化 为 求 函 数 x x b b y ? x ? , x ? ? 0,1? 的最大值,求函数 y ? x ? , x ? ? 0,1? 的最小值. x x

试题解析: (1)当 a ? 1, b ? 0 时, f ( x) ? x x ? 1 既不是奇函数也不是偶函数(2 分)

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? f (?1) ? ?2, f (1) ? 0,? f (?1) ? f (1), f (?1) ? ? f (1)
所以 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数 (4 分)

(2)当 a ? 1, b ? 1时, f ( x) ? x x ? 1 ? 1 ,
x 由 f (2 ) ?

5 5 x x 得 2 2 ?1 ?1 ? 4 4

(1 分)

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

?2 x ? 1 ?2 x ? 1 ? ? 即? x 2 或? x 2 1 1 x x ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ?(2 ) ? 2 ? ? 0 4 4 ? ?
解得 2 ?
x

(3 分)

1? 2 1? 2 1 或2 x ? (舍),或2 x ? 2 2 2 1? 2 ? log2 (1 ? 2 ) ? 1 或 x ? ?1 2

(5 分)

所以 x ? log2

(6 分)

(3)当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式 f ( x) ? 0 恒成立, 故只需考虑 x ? ?0,1? ,此时原不等式变为 x ? a ? 即x?

?b (1 分) x

b b ?a? x? x x b b 故 ( x ? ) max ? a ? ( x ? ) min , x ? ?0,1? x x b b 又函数 g ( x) ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增,所以 ( x ? ) max ? g (1) ? 1 ? b ; (2 分) x x b 对于函数 h( x) ? x ? , x ? ?0,1? x b ①当 b ? ?1 时,在 ?0,1? 上 h( x) 单调递减, ( x ? ) min ? h(1) ? 1 ? b ,又 1 ? b ? 1 ? b , x
所以,此时 a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b) (3 分) ②当 ? 1 ? b ? 0 ,在 ?0,1? 上, h( x) ? x ? 当x?

b ? 2 ?b , x

b ? b 时, ( x ? ) min ? 2 ? b ,此时要使 a 存在, x

必须有 ?

?1 ? b ? 2 ? b ?? 1 ? b ? 0

即 ? 1 ? b ? 2 2 ? 3 ,此时 a 的取值范围是 (1 ? b,2 ? b ) (4 分)

综上,当 b ? ?1 时, a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b) 当 ? 1 ? b ? 2 2 ? 3 时, a 的取值范围是 (1 ? b,2 ? b ) ;
试卷第 11 页,总 24 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

当 2 2 ? 3 ? b ? 0 时, a 的取值范围是 ?

(6 分)

考点: (1)函数的奇偶性; (2)含绝对值的方程; (2)含参数的不等式恒成立问题. 8. (1) a ? 0 ; (2)证明过程详见解析. 【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等基础知 识,考查函数思想,考查综合分析和解决问题的能力 .第一问,将已知条件转化为

a ? (? ln x ? x ?1)min ,所以重点是求函数 g ( x) 的最小值,对所设 g ( x) 求导,判断函数的
单调性,判断最小值所在位置,所以 a ? 0 ;第二问,将所求证的表达式进行转化,变成

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

1 2 1 x ? ax ? x ln x ? a ? ? 0 ,设函数 G ( x) ,则需证明 G ( x) ? 0 ,由第一问可知 G(1) ? 0 2 2
且 x ? ln x ? 1 ? 0 , 所以利用不等式的性质可知 G' ( x) ? 0 , 所以判断函数 G ( x) 在 (1, ??) 为 增函数,所以最小值为 G (1) ,即 G ( x) ? 0 . 试题解析: f ?x? ? ln x ? x ? a ? 1 ( x ? 0 ) (1)即存在 x 使得 ln x ? x ? a ? 1 ? 0 ∴ a ? ? ln x ? x ? 1 ∴ g ?x ? ? ?
/

1分

令 g ?x ? ? ? ln x ? x ? 1 3分

1 x ?1 ?1 ? x x

令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1
/ ∵ 0 ? x ? 1 时, g ?x? ? 0

∴ g ( x) 为减 ∴ g ( x) 为增 5分

x ? 1 时,

g / ?x ? ? 0

∴ g ?x ?min ? g ?1? ? 0 ∴ a ? g ?1? ? ? ln1 ? 1 ? 1 ? 0 ∴a ? 0 (2)即 6分

1 2 1 x ? ax ? x ln x ? a ? ? 0 ( x ? 1, a ? 0 ) 2 2 1 2 1 令 G ( x) ? x ? ax ? x ln x ? a ? ,则 G(1) ? 0 2 2 由(1)可知 x ? ln x ? 1 ? 0
则 G?( x) ? x ? a ? ln x ? 1 ? x ? ln x ? 1 ? 0

7分

10 分

, +?) 上单调递增 ∴ G ( x) 在 (1
∴ G( x) ? G(1) ? 0 成立
试卷第 12 页,总 24 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?



1 1 x ? ax ? x ln x ? a ? >0 成立 2 2

12 分

考点:1 利用导数判断函数的单调性;2 利用导数求函数的最值 9. (1) f ( x) ? ( x ? a)(? x ? 2) ; (2)① a ? 2 ? 3 时, m ?

3 ;② a ? 4 时, m ? 1 ;③ 4

a?

3a 2 ? 20a ? 12 10 ? 4 7 时, m ? . 16 3

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

【解析】 试题分析:本题考查函数的奇偶性、函数解析式、函数零点问题以及等差数列的定义,考查 化归与转化思想,考查计算能力.第一问,先把 x ? ?2 转化成 ? x ? 2 ,利用已知 x ? 2 时的 解析式, 利用偶函数转化解析式; 第二问, 把 g ( x) 有 4 个零点, 先转化为 y ? f ( x) 与 y ? m 有 4 个交点且均匀分布,所以利用等差中项,偶函数等基础知识列出表达式,分情况进行讨 论分析. 试题解析: (1)设 x ? ?2, 则 ? x ? 2 ,? f (? x) ? (? x ? 2)(a ? x) , 又? y ? f ( x) 偶函数? f ( x) ? f (? x) , 所以, f ( x) ? ( x ? a )(? x ? 2) .

x ,x ,x ,x (2) f ( x) ? m 零点 1 2 3 4 , y ? f ( x) 与 y ? m 交点有 4 个且均匀分布,
? x1 ? x 2 ? ?2 ? ?2 x 2 ? x1 ? x3 ?x ? x ? 0 3 ? 2

(Ⅰ) a ? 2 时,

3 1 1 3 x1 ? 3 x 2 , x1 ? ? , x 2 ? ? , x3 ? , x 4 ? 2 2 2 2, 得

所以 a ? 2 时,

m?

3 4 ,

(Ⅱ) 2 ? a ? 4 且

m?

a 3 3 ( ? 1) 2 ? 4 , ? 3 ?2 ? a ? 3 ?2, 4时 , 2
m? 3 4,

所以 2 ? a ?

3 ? 2 时,

(Ⅲ) a ? 4 时 m ? 1 时,符合题意,

? x3 ? x4 ? 2 ? a 6 ? 3a 3a 2 ? 20a ? 12 ? (Ⅳ) a ? 4 时, m ? 1 , ? 2 x3 ? x2 ? x4 , ? x4 ? ,m ? , 4 16 ? x ? ?x 2 3 ?
此时, 1 ? m ? ( ? 1) ,所以 a ?
2

a 2

10 ? 4 7 10 ? 4 7 或a ? (舍) 3 3

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

3a 2 ? 20a ? 12 10 ? 4 7 a ? 4且a ? 时, m ? 时存在. 16 3
综上,① a ? 2 ? 3 时, m ? ② a ? 4 时, m ? 1 ; ③a ?

3 ; 4

3a 2 ? 20a ? 12 10 ? 4 7 时, m ? 符合题意. 16 3

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

考点:1.求函数解析式;2.函数零点问题;3.图像交点问题. 10.(I)-2ln2 (II)当 ?2 ? x ? 0 时,(0, ?a) 和 (2, ??) 为单调增区间,(?a, 2) 为单调减区间; 当 a=-2 时,

(0, ??) 为单调增区间;当 a<-2 时, (0, 2) 和 (?a, ??) 为单调增区间, (2, ?a) 为单调减区
间. (III)存在 (??, ? ] . 【解析】 试题分析:(I) 首先确定函数的定义域,然后求导,根据函数导函数的性质,确定函数的 单 调 区 间 , 判 断 极 小 值 就 是 最 小 值 , 求 出 即 可 . (II) 求 导 、 同 分 整 理 得

1 2

f ?( x) ?

( x ? 2)( x ? a) .再分当 ?2 ? x ? 0 或当 a=-2 或 a<-2 时,判断 f ?( x ) 的符号,确定 x

函数单调区间即可. (III) 假设存在实数 a 使得对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都 有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 恒 成 立 . 不 妨 设 0 ? x1 ? x2 , 使 得 ?a ,即 x2 ? x1 x2 ? x1
g ( x) ? f ( x) ? ax ? ( f 1x )? ,构造函数令 a 1 x 1 2 x ? 2a ln x ? 2 x ,利用导函 2

f( x ? a 2x? 2 )

数求出满足函数 g(x)在 (0, ??) 为增函数的 a 取值范围即可. 试题解析:解:(I)定义域为 (0, ??) ,当 a=1 时, f ?( x) ?

x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) ,所 ? x x

以当 x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (2, ??), f ?( x) ? 0 ,所以 f(x)在 x=2 时取得最小值, 其最小值为 f (2) ? ?2ln 2 . (II) 因为 f ?( x) ? x ?

2a ( x ? 2)( x ? a) ? (a ? 2) ? ,所以 x x

(1) 当 ?2 ? x ? 0 时, 若 x ? (0, ?a) ,f ?( x) ? 0 , f (x) 为增函数;x ? (?a, 2) 时,f ?( x) ? 0 , f(x)为减函数; x ? (2, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,f(x)为增函数;
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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

(2)当 a=-2 时, x ? (0, ??) ,f(x)为增函数; (3)当 a<-2 时, x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,f(x)为增函数; x ? (2, ?a) 时, f ?( x) ? 0 , f(x)为减函数; x ? (?a, ??) , f ?( x) ? 0 ,f(x)为增函数; (III)假设存在实数 a 使得对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) , 且 x1 ? x2 , 都有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a恒 x2 ? x1

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

成立,不妨设 0 ? x1 ? x2 ,使得 令 g ( x) ? f ( x) ? ax ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a ,即 f ( x2 ) ? ax2 ? f ( x1 ) ? ax1 , x2 ? x1

1 2 x ? 2a ln x ? 2 x ,只要 g ( x )在 (0,?? )为增函数,考察函数 2

g ?( x) ? x ?
即a ? ?

2a ( x ? a)2 ? 1? 2a , 要使 g ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立.只需 ?1 ? 2a ? 0 , ? 2? x x

1 1 ,故存在实数 a ? (??, ? ] 符合题意. 2 2

考点:1.导数法;2.函数的单调性;3、不等式恒成立. 11.(I) a ? 0 时,单调减区间为(0,1),单调增区间为 (1, ??) ; ? 1 ? a ? 0 时,单调减区间 为 (?

1 1 , ??) ,单调增区间为 (1,? ) .(II) a ? (?1, 0) ? (2, ??) a a

【解析】 试题分析:(I) 首先求函数的导数,然后分 a ? 0 或 ? 1 ? a ? 0 求出使 f ?( x ) >0 或 f ?( x ) <0 的 区 间 即 可 .(II) 存 在 x0 ? (0,??), 使 f ( x0 ) ? 0, 等 价 于 f ( x)min ? 0 , 分 a ? 0 或

? 1 ? a ? 0 ,分别求出满足 f ( x)min ? 0 的 a 的取值即可.
试题解析:函数定义域为 (0,??), f ?( x) ? ax ? 1 ? a ? (I)当 a ? 0 时,

1 (ax ? 1)( x ? 1) ? x x

2分

x

(0,1) 1

(1, ??)

f ?( x ) ?

0

?

f ( x) 在(0,1)上递减, (1, ??) 上递增
当 ? 1 ? a ? 0 时, f ?( x) ?

4分

(ax ? 1)( x ? 1) ?a ? 1? ? ? x ? ? ( x ? 1) x x ? a?

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

x
f ?( x )
即 f ( x) 在(0,1), ( ?

(0,1)

1

?

0

1 (1, ? ) a ?

?
0

1 a

1 (? , ??) a ?

1 1 , ??) 递减,在 (1,? ) 上递增 a a

8分

(Ⅱ)存在 x0 ? (0,??), 使 f ( x0 ) ? 0, 等价于 f ( x)min ? 0

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

a ?1? a ? 0 ? a ? 2 2 1 2 当 l<a<0 时,当 x ? ?? 时, ax ? (1 ? a ) x ? ?? , ? ln x ? ??, 2
当 a ? 0 时, f ( x) min ? f (1) ? 则 f ( x) ? ??, 显然存在 x0 , 使 f ( x0 ) ? 0 综上, a ? (?1, 0) ? (2, ??) 12 分 11 分

考点:1.求函数的导数;2.导数的性质; 12. (1) a ? 1 ; (2) x ? 2 时, f ( x ) 取最大值 f (2) ? ln 2 ? 2a ; (3) m ? 【解析】 试题分析:(1)先求出 f ?( x) ,因为当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 取得极值,所以 f ?(1) ? 0 ,从 而求出 b ; (2)根据 f ?( x) 判断函数 f ( x) 在区间[1,2]上的单调性,从而判断出最大值点,
2 求出最大值; (3) 由题意可知, 方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解, 所以 x ? 2m ln x ? 2mx ? 0
2

1 . 2

有唯一实数解,设 g ( x) ? x ? 2m ln x ? 2mx ,则函数 g ( x) 图像与 x 轴有且只有一个交点,
2

根据导数判断函数的单调性,可知函数存在极小值即为最小值,最小值为 0 ,从中求出 m . 试题解析: (1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 所以 f ?( x) ?

1 ? a .因为当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得极值, x

所以 f ?(1) ? 1 ? a ? 0 ,所以 a ? 1 .经检验, a ? 1 符合题意.

1 1 ? ax 1 ?a ? ,x ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? , x x a 1 1 因为 0 ? a ? ,所以 ? 2 ,即 f ( x ) 在[1,2]上单调递增, 2 a
(2) f ?( x) ? 所以 x ? 2 时, f ( x ) 取最大值 f (2) ? ln 2 ? 2a . (3)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,
2

所以 x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解,
2

试卷第 16 页,总 24 页

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

设 g ( x) ? x2 ? 2m ln x ? 2mx ,则 g ?( x) ? 令 g ?( x) ? 0 ,因为 m ? 0 , x ? 0 ,

2 x 2 ? 2mx ? 2m , x

所以 x1 ?

m ? m 2 ? 4m m ? m 2 ? 4m , x2 ? , ? 0 (舍去) 2 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减, 当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上单调递增,

? g ( x2 ) ? 0 所以当 x ? x2 时, g ( x) 取最小值 g ( x2 ) ,则 ? ? g ?( x2 ) ? 0

2 ? ? x2 ? 2m ln x2 ? 2mx2 ? 0 即? 2 , ? ? x2 ? mx2 ? m ? 0

所 以 2m ln x2 ? mx2 ? m ? 0 , 因 为 m ? 0 , 所 以 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 ( * ) ,设函数

h( x) ? 2ln x ? x ?1 ,
因为当 x ? 0 时, h( x) 是增函数,所以 h( x) ? 0 至多有一解. 因为 h(1) ? 0 ,所以方程(*)的解为 x2 ? 1 ,



1 m ? m2 ? 4m ? 1 ,解得 m ? . 2 2

考点:本题考查了导数在研究函数中的应用,突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化 等数学思想方法. 13. (1)实数 a 的值组成的集合 A ? [?1, 1] ; ( 2 ) 存 在 实 数 m ? ?2或m ? 2 , 使 得 不 等 式 m2 ? tm ? 1 ? x1 ? x2 对 任 意 a ? A 及

t ?[?1, 1] 恒成立.
【解析】 试题分析: (1)先求出函数 f ? x ? 的导数 f ? ? x ? ,将条件 f ? x ? 在区间 ??1,1? 上为增函数这 一条件转化为 f ? ? x ? ? 0 在区间 ??1,1? 上恒成立,结合二次函数的图象得到 ? 从而解出实数 a 的取值范围; (2)先将方程 f ( x) ? 2 x ? 达定理得到 x1 x2 与 x1 ? x2 ,然后利用 x1 ? x2

? ? f ? ? ?1? ? 0 , ? f 1 ? 0 ? ? ? ?

1 3 x 转化为一元二次方程,结合韦 3

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 将 x1 ? x2 用 参 数 a 进 行 表 示 , 进 而 得 到 不 等 式

m2 ? tm ? 1 ? a2 ? 8 对任意 a ? A
及 t ?[?1, 1] 恒成立,等价转化为 m2 ? tm ? 1 ? 不等式 只需考虑相应的端点值即可, m2 ? tm ? 1 ? 3 转化为以 t 为自变量的一次函数不等式恒成立, 从而解出参数 m 的取值范围. 试题解析: (1)因为 f ? x ? ? 4 x ? ax ?
2

?

a2 ? 8

?

对任意 t ?[?1, 1] 恒成立,将
max

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

2 3 x ? x ? R ? 在区间 ??1,1? 上是增函数, 3

所以, f ? ? x ? ? ?2x2 ? 2ax ? 4 ? 0 在区间 ??1,1? 上恒成立,

? ? f ? ? ?1? ? ?2 ? 2a ? 4 ? 0 ?? ? ?1 ? a ? 1 , ? ? f ? ?1? ? ?2 ? 2a ? 4 ? 0
所以,实数 a 的值组成的集合 A ? ? ?1,1 ? ;

1 3 2 1 x 得 4 x ? ax 2 ? x 3 ? 2 x ? x 3 ,即 x ? x 2 ? ax ? 2 ? ? 0 , 3 3 3 1 3 2 因为方程 f ? x ? ? 2 x ? x ,即 x ? x ? ax ? 2 ? ? 0 的两个非零实根为 x1 、 x2 , 3
(2)由 f ? x ? ? 2 x ?

? x1 、 x2 是方程 x ? x 2 ? ax ? 2 ? ? 0 两个非零实根,于是 x1 ? x2 ? a , x1 ? x2 ? ?2 ,
? x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? a 2 ? 8 ,

? a ? A ? ??1,1? ,? x1 ? x2 max ? 12 ? 8 ? 3 ,
设 g ? t ? ? m ? tm ? 1 ? tm ? m ? 1 , t ? ? ?1,1? ,
2 2

?

?

则 g ? t ?min

?m2 ? m ? 1, m ? 0 ? ? h ? m ? ? ?1, m?0 , ?m2 ? m ? 1, m ? 0 ?

若 g ?t ? ? m2 ? tm ? 1 ? x1 ? x2 对任意 a ? A 及 t ? ? ?1,1? 恒成立, 则 g ?t ?min ? h ? m? ? x1 ? x2
max

? 3 ,解得 m ? ?2 或 m ? 2 ,

因 此 , 存 在 实 数 m ? ?2 或 m ? 2 , 使 得 不 等 式 m2 ? tm ? 1 ? x1 ? x2 对 任 意 a ? A 及

t ? ? ?1,1? 恒成立.
考点:1.函数的单调性;2.二次函数的零点分布;3.韦达定理;4.主次元交换
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14. (1)函数 f ? x ? 的单调减区间为 ? 0, 2? , 单调增区间为 ? 2, ?? ? ; (2)实数 a 的最小值为

2 ? 4 ln 2 ;
(3)实数 a 的取值范围是 ? ??, 2 ? 【解析】 试题分析: (1)把 a ? 1 代入函数 f ? x ? 的解析式,直接利用导数求函数 f ? x ? 在定义域上的 单调区间; (2)利用参数分离法将问题中的不等式等价转化为 a ? 2 ?

? ?

3 ? ?. e ? 1?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

2 ln x ? 1 ? 在 0, ? 上恒 x ?1 ? ? 2?

成立,即 a ? ? 2 ?

? ?

2ln x ? (3)先 ? ,进而求出参数 a 的取值范围,从而求出 a 的最小值; x ? 1 ?max

利用导数求出函数 g ? x ? 在 ? 0, e? 上的值域, 利用导数研究函数 f ? x ? 的单调性, 并求出方程

f ? ? x ? ? 0 的唯一根 x ?

2 ,将条件“对于任意给定的 2?a

x0 ? ? 0, e? ,在 ? 0, e? 总存在两个不同的 xi ? i ? 1, 2? ,使得 f ? xi ? ? g ? x0 ? ”转化为“函数
f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上存在唯一极值点 x ?
2 2 ? e ,且函数 f ? x ? 在区间 ,即 0 ? 2?a 2?a

2 ? ? ? 2 ? 和区间 ? ,从而列出 , e ? 上的值域均包含函数 g ? x ? 在区间 ? 0, e? 上的值域” ? 0, ? ? 2?a? ?2 ? a ?
相应的不等式进行求解参数 a 的取值范围. 试题解析: (1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ?1 ? 2ln x , f ? ? x ? ? 1 ? 由 f ? ? x ? ? 0 , x ? 2 ,由 f ? ? x ? ? 0 , 0 ? x ? 2 , 故 f ? x ? 的单调减区间为 ? 0, 2? ,单调增区间为 ? 2, ?? ? ; (2)即对 x ? ? 0, ? , a ? 2 ?

2 , x

? ?

1? 2?

2 ln x 恒成立, x ?1

2 2 x ? 1? ? 2 ln x 2 ln x ? ? 2 ? 2 ln x ? 1? x 令 l ? x? ? 2 ? , x ? ? 0, ? ,则 l ? ? x ? ? ? x , ? 2 2 x ?1 ? 2? ? x ? 1? ? x ? 1?
再令 m ? x ? ? 2 ln x ?

2 2 2 ?2 ?1 ? x ? ? 1? ? 2 , x ? ? 0, ? , m? ? x ? ? ? 2 ? ? ? 0, x x x x2 ? 2?

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?1? ? 1? m ? x ? 在 ? 0, ? 上为减函数,于是 m ? x ? ? m ? ? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , ?2? ? 2?
从而, l ? ? x ? ? 0 ,于是 l ? x ? 在 ? 0, ? 上为增函数, l ? x ? ? l ? 故要 a ? 2 ?

? ?

1? 2?

?1? ? ? 2 ? 4 ln 2 , ?2?

2 ln x 恒成立,只要 a ??2 ? 4ln 2, ??? ,即 a 的最小值为 2 ? 4 ln 2 ; x ?1

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(3) g? ? x ? ? e1? x ? xe1? x ? ?1 ? x ? e1? x ,当 x ? ? 0,1 ? 时, g? ? x ? ? 0 ,函数 g ? x ? 单调递增, 当 x ? ?1, e? 时, g? ? x ? ? 0 ,函数 g ? x ? 单调递减,

? g ? 0? ? 0 , g ?1? ? 1, g ? e? ? e ? e1?e ? 0 ,
所以,函数 g ? x ? 在 ? 0, e? 上的值域为 ? 0,1? . 当 a ? 2 时,不合题意;

当 a ? 2 时, f ? ? x ? ? 2 ? a ? 故0 ?

2 ? x

?2 ? a?? ?x?
? x


2 ? ? 2?a ?

, x ? ? 0, e? ,

2 2 ? e,a ? 2 ? , 2?a e

此时,当 x 变化时, f ? ? x ? 、 f ? x ? 的变化情况如下:

x

2 ? ? ? 0, ? ? 2?a ?

2 2?a
0
最小值

? 2 ? , e? ? ? 2?a ?

f ? ? x?

?
单调减

?
单调增

f ? x?

2 ? 2 ? ? x ? 0 , f ? x ? ? ?? , f ? , f ? e? ? ? 2 ? a ?? e ?1? ? 2 , ? ? a ? 2 ln 2?a ? 2?a ?
所以,对任意给定的 x0 ? ? 0, e? ,在区间 ? 0, e? 上总存在两个不同的 xi ? i ? 1, 2? , 使得 f ? xi ? ? g ? x0 ? 成立,当且仅当 a 满足下列条件

? ?f ? ?f ?

? 2 ? 2 ? ? 0, ② ? ??0 ?a ? 2 ln ,即 ? 2?a ? 2?a ? ?? 2 ? a ?? e ? 1? ? 2 ? 1, ③ ?e? ? 1 ?

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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

令 h ? a ? ? a ? 2 ln

2 2? ? , a ? ? ??, 2 ? ? , 2?a e? ? 2 a ? ,令 h? ? a ? ? 0 ,得 ? 0 , 2?a 2?a

? h? ? a ? ? 1 ? 2 ? ?ln 2 ? ln ? 2 ? a ? ? ? ? 1?

当 a ? ? ??,0? 时, h? ? a ? ? 0 ,函数 h ? a ? 单调递增, 当 a ? ? 0, 2 ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ?

2? ? 时, h? ? a ? ? 0 ,函数 h ? a ? 单调递减, e?
? ? 2? ? ,有 h ? a ? ? h ? 0? ? 0 , e?

所以,对任意 a ? ? ??, 2 ?

即②对任意 a ? ? ??, 2 ? 由③式解得: a ? 2 ?

? ?

2? ? 恒成立, e?


3 , e ?1

综合①④可知,当 a ? ? ??, 2 ?

? ?

3 ? 时,对任意给定的 x0 ? ? 0, e? , e ? 1? ?

在 ? 0, e? 总存在两个不同的 xi ? i ? 1, 2? ,使得 f ? xi ? ? g ? x0 ? 成立. 考点:1.函数的单调区间;2.不等式恒成立;3.参数分离法;4.函数值域的包含关系 15. (1) a ? ?1 ;(2)

k??

1 2 ;(3)详见解析.

【解析】 试题分析: (1)根据函数的特征可对函数求导,由导数等于零,可求出函数的零点,利用导 数与函数单调性的关系:导数大于零,函数在对应区间上单调增,导数小于零,函数在对应 区间上单调减,就可用 a 表示出函数的最大值进而求出 a ;(2)先定性分析 k 的范围,发现 当 k ? 0 时,易得 f (1) ? 0 ,即可得出矛盾,进而 k 只有小于零,对函数求导后得出导数为

1 1 1 ? ?1 ,再根据 ?1 ? 与零的大小关系,可发现 k 要以 ? 为界进行讨论, 2 2k 2k 1 又由 g (0) ? 0 结合函数的单调性不难得出只有 k ? ? 时不等式 f ( x) ? kx0 恒成立; (3) 2 当 n ? 1 时,不等式显然成立; 当 n ? 2 时,首先结合(1)中所求函数得出求和的表达式 n n 2 2 ? f( ) ? ln(2 n ? 1) ? ? ,这样与所要证不等式较近了,再结合(2)中所证不等 i ?1 i ? 1 2i ? 1 2i ? 1 1 1 2 式,取 k 的最大值 k ? ? ,即 f ( x) ? ? x ,两式相结合,最后用放缩法可证得所要证明 2 2
零的 x ? ?1 ? 不等式. 试题解析: (1)

f ? x?

(? a, ??) 定义域为
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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

f , ( x) ?

1 1? x ? a ?1 ? , x?a x ? a ,由 f ( x) =0,得 x ? 1 ? a ? ?a .

1分

, f ? x? 当 x 变化时, f ( x) , 变 化情况如下

x
f , ( x)

(-a,1-a) + 增

1-a 0 极大值

(1-a,+∞) 减

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

f ? x?
因此, 分

f ? x?

在 x ? 1 ? a 处取得最大值,故

f ?1 ? a ? ? a ?1 ? 0

,所以 a ? ?1 .

3

( 2 ) 当 k ? 0 时 , 取 x ? 1 有 f (1) ? ln 2 ? 1 ? 0 , 故 k ? 0 不 合 题 意 ; 当 k ? 0 时 , 令

g ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? kx 2 , x ? (?1, ??), g'(x) ?

1 x(?2 kx ? 2 k ? 1) ? 1 ? 2kx ? x ?1 x ?1





1 1 k?? x ? 0, x ? ?1 ? ? ?1 g ' ? ( , x得) 1 0 2 2 时,x2 ? 0, g '( x) ? 0 中 (0, ??) 恒成立, 2k , ①
? 0 因 此 g ( x) 在 (0, ??) 单 调递 增 ,从 而对 任 意的 x ? [0, ??) , 总 有 g ( x ) ? g(0) ,即

f ( x) ? kx 在 x ? [0, ??) 恒 成 立 . 故 符 合 题 意 ; ② 当
2

?

1 ? k ?0 x ?0 对于 2 时, 2

x ? ( 0 ,x g 'x ( ? ) ,故 0 g ( x) 在 (0, x2 ) 内单调递减,因此取 x ? (0, x2 ), g ( x0 ) ? g(0) ,即 2 ),
1 1 ? ?k ?0 k?? f ( x0 ) ? kx0 不成立,故 2 2. 不合题意,综上, k 的最大值为
(3)当 n ? 1 时,不等式左边 ? 2 ? ln3 ? 2 ? 右边,不等式成立. 当 n ? 2 时,
n

?f(
i ?1

n

n 2 ? ? 2 ? 2 ? ) ? ? ?ln ?1 ? ?? 2i ? 1 i ?1 ? ? 2i ? 1 ? 2i ? 1? ?
n n 2 2 ? ln ? 2n ? 1? ? ? 2i ? 1 i ?1 2i ? 1

? ?? ?ln ? 2i ? 1? ? ln ? 2i ? 1?? ???
i ?1 i ?1

10 分

在(2)中取 k ? - 得f ( x) ? ? ∴ f(

1 2

1 2 x ( x ? 0) 2

2 2 2 )?? ?? (i ? N * , i ? 2) 2 2i ? 1 (2i ? 1) (2i ? 1)(2i ? 3)

试卷第 22 页,总 24 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

所以有ln(2n ? 1) ? ?
i ?1

n

n 2 ? 2 ? n ?? f? ? ? 2 ? 2i ? 1 i ?1 ? 2i ? 1 ? = f (2) ? ? f ? ? ? 2i ? 1 ? i ?2

? ln3 ? 2 ?
? ?2 .
综上,

? ?2i ? 3??2i ? 1?
i ?2

n

2

? ln3 ? 2 ?

? ? ?? ? 2i ? 3 2i ? 1 ?
i ?2

n

?

1

1 ?

? ln3 ? 2 ? 1 ?

1 2n ? 1

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? 2i ?1 ? ln(2n ? 1) ? 2
i ?1

n

2

(n ? N * )

12 分

考点:1.导数在函数中的运用;2.数列求和;3. (I)

f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 ?1,?? ? , 减 区 间 为 ?0,1?

;(Ⅱ) 证明详见解析;(Ⅲ)

?

37 ? m ? ?9 3

【解析】 试题分析:(Ⅰ)先求导数,然后求导数大于或小于零的区间,即得原函数的单调区间;(Ⅱ) 由(Ⅰ) 可知 当 x ? (1,??) 时 f ( x) ? f (1) ,即 0 ? ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1,??) 成立, 可得

a (1 ? x) ln n n ? 1 a ,然后叠乘即可. (Ⅲ)求出 f ' ( x) ? ( x ? 0) ,则 f ' (2) ? ? ? 1 , ? x n n 2 m 求 出 f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 , g ( x) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x , 再 求 出 2
0?

? g ' (t ) ? 0 则? , 由于:对于任意的 t ? [1,2] , g '(t ) ? 0 恒成立,, g ' ( x) ? 3 x 2 ? (m ? 4) x ? 2 , ? g ' (3) ? 0

? g '(1) ? 0 ? 所以 ? g '(2) ? 0 ,解出 m 即可. ? g '(3) ? 0 ?
试题解析:解:(Ⅰ)当 a ? ?1 时, f '( x) ?

( x ? 1) ( x ? 0) ,解 f '( x) ? 0 得 x ? (1,??) ;解 x

f '( x) ? 0 得 x ? (0,1) [ f ( x) 的单调增区间为 ?1,?? ? ,减区间为 ?0,1?
( Ⅱ ) 证 明 如 下 : 由 ( Ⅰ ) 可 知 当 x ? (1,??) 时 f ( x) ? f (1) , 即 ? ln x ? x ? 1 ? 0 , [ 来 源:Zxxk.Com] ∴ 0 ? ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1,??) 成立

ln n n ? 1 ? n n ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? (n ? 2, n ? N? ) 2 3 4 n 2 3 4 n n
∵ n ? 2, n ? N * ,则有 0 ? ln n ? n ? 1 ,∴ 0 ?
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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

( Ⅲ ) ∵ f ' ( x) ?

a (1 ? x) a ( x ? 0) ∴ f ' (2) ? ? ? 1 得 a ? ?2 , f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 x 2

g ( x) ? x 3 ? (

m ? 2) x 2 ? 2 x ,∴ g ' ( x) ? 3 x 2 ? (m ? 4) x ? 2 2
'

∵ g ( x) 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,且 g ? 0 ? ? ?2 ∴ ?

? g ' (t ) ? 0 ? g ' (3) ? 0

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? g '(1) ? 0 37 ? 由题意知:对于任意的 t ? [1,2] , g '(t ) ? 0 恒成立, 所以, ? g '(2) ? 0 ,∴ ? ? m ? ?9 . 3 ? g '(3) ? 0 ?
考点:1.函数的导数和导数的性质;2.不等式的证明;3.导数性质的应用.

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