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数学河南省洛阳市2015-2016学年高二(上)期中数学试题(解析版)(理科)



2015-2016 学年河南省洛阳市高二(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.若 a<b<0,则下列结论不正确的是( ) A. > B. >0 C.a <b
2 2

D.a <b

3

3

2.下列结论正确的是( A.当

x>0 且 x≠1 时,lgx+ B.当 x C.当 x>0 时,



时,sinx+ ≥2

的最小值为 4

D.当 0<x≤2 时,x﹣ 无最大值

3. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 a=1, b= A.30° B.60° C.30°或 150° D.60°或 120°
2

, B=45°, 则角 A= (



4.不等式 lg(x ﹣3x)<1 的解集为( ) A. (﹣2,5) B. (﹣5,2) C. (3,5) D. (﹣2,0)∪(3,5) 5.下列结论正确的是( ) 2 A.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=n +n+1,则{an}为的等差数列 n B.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2 ﹣2,则{an}为等比数列 C.非零实数 a,b,c 不全相等,若 a,b,c 成等差数列,则 , , 可能构成等差数列 D.非零实数 a,b,c 不全相等,若 a,b,c 成等比数列,则 , , 一定构成等比数列

6.在等比数列{an} 中,a1=4,公比为 q,前 n 项和为 Sn,若数列{Sn+2}也是等比数列,则 q 等于( ) A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3 7. 设集合 A={x 丨﹣2≤x<4}, B={x 丨 x ﹣ax﹣4≤0}, 若 B?A, 则实数 a 的取值范围为 ( A.[﹣1,2] B.[﹣1,2) C.[0,3) D.[0,3] 8.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos 是( ) A.正三角形 B.直角三角形
2 2



=

,则△ ABC 的形状一定

C.等腰三角形

D.等腰直角三角形
2

9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 m>1 且 am﹣1+am+1﹣am ﹣1=0,S2m﹣1=39,则 m 等于( ) A.10 B.19 C.20 D.39 10.设数列{an}满足 A.an= B.an= C.an= …+2
n﹣1

an= (n∈N ) ,通项公式是(

*



D.an=

11.若实数 x,y 满足不等式组

且 x+y 的最大值为 9,则实数 m=(



A.﹣2 B.﹣1 C.1 12. 设 an= +

D.2 +…+ , 则对任意正整数 m, n (m>n) 都成立的是 ( )

A.am﹣an<

B.am﹣an>

C.am﹣an<

D.am﹣an>

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

13.若实数 x,y 满足条件

,则 2x+y 的最大值为



14.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=an+2n﹣1(n∈N ) ,则 an=

*



15.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 tanA= ,tanB= ,且最长 边的长为 1,则△ ABC 最短边的长为 .

16.若 x、y、z 均为正实数,则

的最大值为



三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分) (2015 秋?洛阳期中) (1)已知正数 a,b 满足 a+4b=4,求 + 的最小值.

(2)求函数 f(k)=

的最大值.

18. (12 分) (2015 秋?洛阳期中)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 2 2 2 a +c =b +ac. (1)若 b= ,sinC=2sinA,求 c 的值; (2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值. 19. (12 分) (2015 秋?洛阳期中)解关于 x 的不等式 ax ﹣2x﹣2﹣a<0(a>﹣1) . 20. (12 分) (2014?余杭区校级模拟)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已 知 (Ⅰ)求 的值; .
2

(Ⅱ)若 B 为钝角,b=10,求 a 的取值范围. 21. (12 分) (2011?佛山一模)设数列{an}是首项为 a1(a1>0) ,公差为 2 的等差数列,其 前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ)求数列{an]的通项公式; (Ⅱ)记 的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 成等差数列.

22. (12 分) (2015 秋?洛阳期中) 数列{an}的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和, 对于任意 n∈N , 2 总有 an,Sn,an 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}中,bn=a1?a2?a3?…?an,数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<2.

*

2015-2016 学年河南省洛阳市高二 (上) 期中数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.若 a<b<0,则下列结论不正确的是( ) A. > B. >0 C.a <b
2 2

D.a <b

3

3

【考点】不等式的基本性质. 【专题】不等式. 【分析】根据幂函数的单调性即可判断. 【解答】解:∵b<a<0, 2 且 y=x 在(﹣∞,0)上单调递增减, 2 2 故 a >b ,C 错误; 故选:C. 【点评】本题考查不等式的基本性质,解题时要注意幂函数单调性的合理运用. 2.下列结论正确的是( A.当 x>0 且 x≠1 时,lgx+ B.当 x C.当 x>0 时, 时,sinx+ ≥2 的最小值为 4 )

D.当 0<x≤2 时,x﹣ 无最大值 【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】对于 A,考虑 0<x<1 即可判断;对于 B,考虑等号成立的条件,即可判断;对于 C,运用基本不等式即可判断;对于 D,由函数的单调性,即可得到最大值. 【解答】解:对于 A,当 0<x<1 时,lgx<0,不等式不成立; 对于 B,当 xx 不成立; 对于 C,当 x>0 时, ≥2 =2,当且仅当 x=1 等号成立; 时,sinx∈(0,1],sinx+ 的最小值 4 取不到,由于 sinx=2

对于 D,当 0<x≤2 时,x﹣ 递增,当 x=2 时,取得最大值 . 综合可得 C 正确. 故选:C. 【点评】本题考查基本不等式的运用:求最值,注意满足的条件:一正二定三等,考查运算 能力,属于中档题和易错题. 3. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若 a=1, b= A.30° B.60° C.30°或 150° D.60°或 120° 【考点】正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】由正弦定理可解得 sinA= 解得 A 的值. 【解答】解:∵a=1,b= , B=45°, 则角 A= ( )

= ,利用大边对大角可得范围 A∈(0,45°) ,从而

,B=45°,

∴由正弦定理可得:sinA=

=

= ,

∵a=1<b= ,由大边对大角可得:A∈(0,45°) , ∴解得:A=30°. 故选:A. 【点评】本题主要考查了正弦定理,大边对大角,正弦函数的图象和性质等知识的应用,解 题时要注意分析角的范围. 4.不等式 lg(x ﹣3x)<1 的解集为( ) A. (﹣2,5) B. (﹣5,2) C. (3,5) D. (﹣2,0)∪(3,5) 【考点】指、对数不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 2 【分析】利用对数的定义、性质能求出不等式 lg(x ﹣3x)<1 的解集. 2 【解答】解:∵lg(x ﹣3x)<1, ∴ ,
2

解得﹣2<x<0 或 3<x<5, 2 ∴不等式 lg(x ﹣3x)<1 的解集为(﹣2,0)∪(3,5) . 故选:D. 【点评】本题考查不等式的解集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数的性 质的合理运用. 5.下列结论正确的是( )
2

A.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=n +n+1,则{an}为的等差数列 n B.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2 ﹣2,则{an}为等比数列 C.非零实数 a,b,c 不全相等,若 a,b,c 成等差数列,则 , , 可能构成等差数列 D.非零实数 a,b,c 不全相等,若 a,b,c 成等比数列,则 , , 一定构成等比数列 【考点】等比数列;等差数列. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 在 A 中, 由 , 得到{an}不为的等差数列; 在 B 中, 由 a1=S1=2

﹣2=0,得到{an}不为等比数列;在 C 中,若 , , 构成等差数列,能推导出 a=c,与非 零实数 a,b,c 不全相等矛盾,从而 , , 不可能构成等差数列;在在 D 中,若 a,b,c 成等比数列,则 = , , , 一定成等比数列.
2

【解答】解:在 A 中,∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=n +n+1, ∴a1=S1=1+1+1=3,

an=Sn﹣Sn﹣1=(n +n+1)﹣[(n﹣1) +(n﹣1)+1]=2n, n=1 时,an=2≠a1,故{an}不为的等差数列,故 A 错误; n 在 B 中,∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2 ﹣2, ∴a1=S1=2﹣2=0, ∴{an}不为等比数列,故 B 错误; 在 C 中,若 , , 构成等差数列,则 ∴b =ac,∴ac=( 等矛盾, ∴ , , 不可能构成等差数列,故 C 错误; 在 D 中,∵非零实数 a,b,c 不全相等,a,b,c 成等比数列, ∴b =ac,∴
2 2

2

2

=

=



)=

2

,∴a=c,继而 a=c=b,与非零实数 a,b,c 不全相

=



∴ , , 一定成等比数列,故 D 正确. 故选:D. 【点评】本题考查等差数列和等比数列的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数 列、等比数列的性质,公式 的合理运用.

6.在等比数列{an} 中,a1=4,公比为 q,前 n 项和为 Sn,若数列{Sn+2}也是等比数列,则 q 等于( ) A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3 【考点】等比关系的确定. 【专题】计算题. 2 【分析】 由数列{Sn+2}也是等比数列可得 s1+2, s2+2, s3+2 成等比数列, 即 (s2+2) = (S1+2) (S3+2) 2 2 代入等比数列的前 n 项和公式整理可得(6+4q) =24(1+q+q )+12 解方程即可求解 【解答】解:由题意可得 q≠1 由数列{Sn+2}也是等比数列可得 s1+2,s2+2,s3+2 成等比数列 2 则(s2+2) =(S1+2) (S3+2) 代入等比数列的前 n 项和公式整理可得 (6+4q) =24(1+q+q )+12 解可得 q=3 故选 C. 【点评】等比数列得前 n 项和公式的应用需要注意公式的选择,解题时要注意对公比 q=1, q≠1 的分类讨论,体现了公式应用的全面性. 7. 设集合 A={x 丨﹣2≤x<4}, B={x 丨 x ﹣ax﹣4≤0}, 若 B?A, 则实数 a 的取值范围为 ( A.[﹣1,2] B.[﹣1,2) C.[0,3) D.[0,3] 【考点】集合的包含关系判断及应用.
2 2 2



【专题】计算题;集合. 【分析】因为 B?A,所以不等式 x ﹣ax﹣4≤0 的解集是集合 A 的子集,即函数 f(x)=x ﹣ax﹣4 的两个零点在[﹣2,4)之间,结合二次函数的图象性质只需 f(﹣2)≥0,f(4)> 0,列不等式组即可得 a 的取值范围. 2 【解答】解:∵△=a +16>0 2 ∴设方程 x ﹣ax﹣4=0 的两个根为 x1,x2, (x1<x2) 2 即函数 f(x)=x ﹣ax﹣4 的两个零点为 x1,x2, (x1<x2) 则 B=[x1,x2] 2 若 B?A,则函数 f(x)=x ﹣ax﹣4 的两个零点在[﹣2,4)之间 注意到函数 f(x)的图象过点(0,﹣4) ∴只需 ,
2 2

解得:0≤a<3, 故选:C. 【点评】本题考查了集合之间的关系,一元二次不等式的解法,二次函数的图象和性质,函 数方程不等式的思想. 8.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos 是( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】在△ ABC 中,利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知 cos 1+cosA= +1,整理即可判断△ ABC 的形状.
2 2 2

=

,则△ ABC 的形状一定

=

,转化为

【解答】解:在△ ABC 中,∵cos ∴ = +1, =

=



+

∴1+cosA=

∴cosAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴sinAcosC=0,sinA≠0, ∴cosC=0, ∴C 为直角. 故选:B. 【点评】本题考查三角形的形状判断,着重考查二倍角的余弦与正弦定理,诱导公式的综合 运用,属于中档题.

9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 m>1 且 am﹣1+am+1﹣am ﹣1=0,S2m﹣1=39,则 m 等于( ) A.10 B.19 C.20 D.39 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题. 【分析】利用等差数列的性质 am﹣1+am+1=2am,根据已知中 am﹣1+am+1﹣am ﹣1=0,我们易 求出 am 的值,再根据 am 为等差数列{an}的前 2m﹣1 项的中间项(平均项) ,可以构造一个 关于 m 的方程,解方程即可得到 m 的值. 【解答】解:∵数列{an}为等差数列 则 am﹣1+am+1=2am 2 则 am﹣1+am+1﹣am ﹣1=0 可化为 2 2am﹣am ﹣1=0 解得:am=1,又∵S2m﹣1=(2m﹣1)am=39 则 m=20 故选 C. 【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质,其中等差数列最重要的性质:当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq,是解答本题的关键. 10.设数列{an}满足 A.an= B.an= C.an= …+2
n﹣1 2

2

an= (n∈N ) ,通项公式是(

*



D.an=

【考点】等比数列的通项公式. 【专题】计算题. 【分析】设{2 (n∈N ) ,知 【解答】解:设{2 ∵数列{an}满足 ∴ ∴2
n﹣1 * n﹣1

?an}的前 n 项和为 Tn,由数列{an}满足 ,故 2
n﹣1 n﹣1

…+2

n﹣1

an=

an=Tn﹣Tn﹣1=

= ,由此能求出通项公式.

?an}的前 n 项和为 Tn, …+2
n﹣1

an= (n∈N ) ,

*

, an=Tn﹣Tn﹣1= = ,



=

, .

经验证,n=1 时也成立,故

故选 C. 【点评】 本题主要考查了数列递推式以及数列的求和, 同时考查了利用错位相消法求数列的 和,属于中档题.

11.若实数 x,y 满足不等式组

且 x+y 的最大值为 9,则实数 m=(



A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】先根据约束条件画出可行域,设 z=x+y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出直 线 x+y=9 过可行域内的点 A 时,从而得到 m 值即可. 【解答】解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=x+y, 将最大值转化为 y 轴上的截距, 当直线 z=x+y 经过直线 x+y=9 与直线 2x﹣y﹣3=0 的交点 A(4,5)时,z 最大, 将 m 等价为斜率的倒数, 数形结合,将点 A 的坐标代入 x﹣my+1=0 得 m=1, 故选 C.

【点评】 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画 出可行域、求出关键点、定出最优解. 12. 设 an= + +…+ , 则对任意正整数 m, n (m>n) 都成立的是 ( )

A.am﹣an<

B.am﹣an>

C.am﹣an<

D.am﹣an>

【考点】数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列;三角函数的求值. 【分析】利用“放缩法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出.

【解答】解:am﹣

an=

+

+…+



+…+

=

. 故选:A. 【点评】本题考查了“放缩法”、等比数列的前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

13.若实数 x,y 满足条件

,则 2x+y 的最大值为 4 .

【考点】简单线性规划.

【分析】足约束条件

的平面区域,求出可行域中各个角点的坐标,分析代入

后即可得到答案.

【解答】解:满足约束条件

的平面区域如下图所示:

由图可知:当 x=1,y=2 时,2x+y 取最大值 4 故答案为:4

【点评】本题考查的知识点是简单线性规划,其中根据约束条件,画出满足约束条件的可行 域并求出各角点的坐标,是解答此类问题的关键. 14.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=an+2n﹣1(n∈N ) ,则 an= 【考点】数列递推式.
*

n ﹣2n+2 .

2

【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由已知利用 an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 即可得出. * 【解答】解:∵a1=1,an+1=an+2n﹣1(n∈N ) , ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =(2n﹣3)+(2n﹣5)+…+1+1 =
2

+1

=n ﹣2n+2. 2 故答案为:n ﹣2n+2. 【点评】本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 15.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 tanA= ,tanB= ,且最长 边的长为 1,则△ ABC 最短边的长为 .

【考点】解三角形. 【专题】解三角形. 【分析】由题意和两角和的正切公式易得 tanC,可得 c=1,b 为最短边,由正弦定理可得. 【解答】解:由题意可得 tanC=﹣tan(A+B)

=﹣

=﹣

=﹣1,

∴C=135°,c 为最长边,故 c=1, 又∵0<tanB= < =tanA, ∴B 为最小角,b 为最短边, ∵tanB= ,∴sinB= 由正弦定理可得 b= 故答案为: . , = ,

【点评】本题考查解三角形,涉及正弦定理和两角和的正切公式,属中档题.

16.若 x、y、z 均为正实数,则 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用.

的最大值为



【分析】把要求的式子化为

,利用基本不等式求得

它的最大值. 【解答】解:∵x + ∴ =
2



xy, y +z ≥

2

2

yz, ≤ = ,当且仅当

x=z=

时,等号成立, .

故答案为:

【点评】本题主要考查基本不等式的应用,注意检验等号成立的条件,式子的变形是解题的 关键,属于基础题. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分) (2015 秋?洛阳期中) (1)已知正数 a,b 满足 a+4b=4,求 + 的最小值.

(2)求函数 f(k)=

的最大值.

【考点】基本不等式在最值问题中的应用;函数的最值及其几何意义. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】 (1)运用乘 1 法,可得 + = (a+4b) ( + )= (5+ + 即可得到最小值; (2)令 t= (t≥ ) ,则 g(t)= = ,再由基本不等式即可得到最大值. ) ,再由基本不等式

【解答】解: (1)由 a,b>0,且 a+4b=4, 即有 + = (a+4b) ( + )= (5+ + ≥ (5+2 )= , )

当且仅当 a=2b= 时取得最小值, 则 + 的最小值为 ; (2)令 t= 则 g(t)= = (t≥ ≤ ) , = ,

当且仅当 t=2,即 k=

时,取得等号,

即有 f(k)的最大值为 . 【点评】本题考查基本不等式的运用:求最值,注意乘 1 法和换元法的运用,以及满足的条 件:一正二定三等,属于中档题. 18. (12 分) (2015 秋?洛阳期中)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a +c =b +ac. (1)若 b= ,sinC=2sinA,求 c 的值; (2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值. 【考点】余弦定理. 【专题】解三角形;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)由正弦定理化简已知可得:c=2a,根据 a +c =b +ac.b= ,即可解得 a,c 的值. 2 2 2 (2)由余弦定理可求 cosB,从而可求 sinB,又 b=2,a +c =b +ac.解得 ac≤4,利用三角形 面积公式即可求得△ ABC 面积的最大值. 【解答】解: (1)∵sinC=2sinA, ∴由正弦定理可得:c=2a, 2 2 2 又∵a +c =b +ac.b= , 2 2 2 ∴a +4a =3+2a , 解得:a=1,c=2…6 分 (2)由余弦定理可得:cosB= ∴sinB= ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

=



又∵b=2,a +c =b +ac. 2 2 ∴4+ac=a +c ≥2ac,即 ac≤4, ∴S△ ABC= ,当且仅当 a=c=2 时等号成立.

故△ ABC 面积的最大值为 …12 分 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,基本不等式的综合应用, 属于中档题. 19. (12 分) (2015 秋?洛阳期中)解关于 x 的不等式 ax ﹣2x﹣2﹣a<0(a>﹣1) . 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由﹣1<a<0,a=0,0<a<1,a≥1,进行分类讨论,由此利用分类讨论思想和一元 二次方程的解法能求出原不等式的解集. 【解答】解: (1)当 a=0 时,有﹣2x<0,∴x>0. 2 (2)a>0 时,∵△=4﹣4a . ①当△ >0,即 0<a<1.方程 ax ﹣2x+a=0 的两根为
2 2

=



∴不等式的解集为{x|
2

<x<

}.

②当△ =0,即 a=1 时,有 x ﹣2x+1<0,∴x∈?; 2 2 ③当△ <0,即 a>1 时,方程 ax ﹣2x+a=0 无实数根,不等式 ax ﹣2x+a<0 无解,∴x∈?. (3)当﹣1<a<0 时,△ >0, 不等式 ax ﹣2x+a<0 的解集为{x|x<
2 2

或 x>

}.

综上,关于 x 的不等式 ax ﹣2x﹣2﹣a<0(a>﹣1)的解集为: 当﹣1<a<0 时, 关于 x 的不等式 ax ﹣2x﹣2﹣a<0 (a>﹣1) 的解集为: {x|x<
2

或 x>

};
2

当 a=0 时,关于 x 的不等式 ax ﹣2x﹣2﹣a<0(a>﹣1)的解集为:{x|x>0}; 当 0<a<1 时,关于 x 的不等式 ax ﹣2x﹣2﹣a<0(a>﹣1)的解集为:{x|
2



x<

}.
2

当 a≥1 时,关于 x 的不等式 ax ﹣2x﹣2﹣a<0(a>﹣1)的解集为:?. 【点评】本题考查不等式的解集的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想 的合理运用. 20. (12 分) (2014?余杭区校级模拟)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已 知 (Ⅰ)求 的值; .

(Ⅱ)若 B 为钝角,b=10,求 a 的取值范围. 【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】 (Ⅰ)直接利用正弦定理化简已知表达式,通过两角和的正弦函数与三角形的内角 和,求出 的值;

(Ⅱ)通过(Ⅰ)求出 a 与 c 的关系,利用 B 为钝角,b=10,推出关系求 a 的取值范围. 【解答】 (本小题满分 14 分) 解: (I)由正弦定理,设 则 , ,

所以

.…(4 分)

即(cosA﹣3cosC)sinB=(3sinC﹣sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=3sin(B+C) .…(6 分) 又 A+B+C=π, 所以 sinC=3sinA 因此 (II)由 .…(8 分) 得 c=3a.…(9 分)

由题意

,…(12 分)



…(14 分)

【点评】本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用,注意三角形的判断与应用,考查计 算能力. 21. (12 分) (2011?佛山一模)设数列{an}是首项为 a1(a1>0) ,公差为 2 的等差数列,其 前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ)求数列{an]的通项公式; (Ⅱ)记 的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 成等差数列.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【专题】计算题. 【分析】 (I)有数列{an}是首项为 a1(a1>0) ,公差为 2 的等差数列且 等差数列,可以先求出数列的首项即可; (II)有 (I)和 ,求出数列 bn 的通项,有通项求出前 n 项和为 Tn. 成

【解答】解: (Ⅰ)∵S1=a1,S2=a1+a2=2a1+2,S3=a1+a2+a3=3a1+6, 由 成等差数列得, ,即 ,

解得 a1=1,故 an=2n﹣1; (Ⅱ)
n



Tn=1× +3× +5× +…+(2n﹣1)?( ) ,①

①× 得,

,② ①﹣②得, =







【点评】此题考查了等差数列的通项公式及等差中项,还考查了错位相减法求数列的前 n 项的和. 22. (12 分) (2015 秋?洛阳期中) 数列{an}的各项均为正数, Sn 为其前 n 项和, 对于任意 n∈N , 2 总有 an,Sn,an 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}中,bn=a1?a2?a3?…?an,数列{ 【考点】数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)对于任意 n∈N ,总有 an,Sn,an 成等差数列,可得 2Sn=
* 2 *

}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<2.

,利用递推

关系化为:化为(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0,由于数列{an}的各项均为正数,可得 an﹣an ﹣1﹣1=0,利用等差数列的通项公式即可得出. (2)bn=a1?a2?a3?…?an=n!.可得数列{ Tn= +…+ ≤1+ +
*

}的前 n 项和为 ,再利用“裂项求和”即可证明.
2

+…+

【解答】 (1)解:∵对于任意 n∈N ,总有 an,Sn,an 成等差数列,∴2Sn= ∴当 n≥时, ,相减可得:2an= ﹣

, ,

化为(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0, ∵数列{an}的各项均为正数,∴an﹣an﹣1﹣1=0, 当 n=1 时, ,a1>0,解得 a1=1.

∴数列{an}是等差数列,首项为 1,公差为 1. ∴an=1+(n﹣1)=n. (2)证明:bn=a1?a2?a3?…?an=n!.

∴数列{ Tn=

}的前 n 项和为 +…+ ≤1+ + +…+ =1+ +…+

=2﹣ <2. 【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题.



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