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衡阳市八中招生考试数学试卷



数学试卷 一.选择题(共 10 小题) 1. (2012 铜仁) ? 2 的相反数是( A.
1 2

) D.2

B. ?

1 2

C. ? 2

考点:相反数。 解答:解:∵2+(﹣2)=0, ∴ ? 2 的相反数是 2. 故选 D. 2. (2012 铜仁)下

列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有(



A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 考点:中心对称图形;轴对称图形。 解答:解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形; B、是轴对称图形,不是中心对称图形; C、是轴对称图形,也是中心对称图形; D、是轴对称图形,也是中心对称图形. 故选 B. 3. (2012 铜仁)某中学足球队的 18 名队员的年龄情况如下表:

则这些队员年龄的众数和中位数分别是( ) A.15,15 B.15,15.5 C.15,16 D.16,15 考点:众数;中位数。 解答:解:根据图表数据,同一年龄人数最多的是 15 岁,共 6 人, 所以众数是 15, 18 名队员中,按照年龄从大到小排列, 第 9 名队员的年龄是 15 岁,第 10 名队员的年龄是 16 岁, 所以,中位数是
15 ? 16 2

=15.5.

故选 B. 4. (2012 铜仁)铜仁市对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树, 要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.如果每隔 5 米栽 1 棵,则树苗缺 21 棵; 如果每隔 6 米栽 1 棵,则树苗正好用完.设原有树苗 x 棵,则根据题意列出方程正确的是 ( ) A. 5( x ? 2 1 ? 1) ? 6 ( x ? 1) C. 5( x ? 2 1 ? 1) ? 6 x B. 5( x ? 2 1) ? 6 ( x ? 1) D. 5( x ? 2 1) ? 6 x

考点:由实际问题抽象出一元一次方程。

解答:解:设原有树苗 x 棵,由题意得
5( x ? 2 1 ? 1) ? 6 ( x ? 1) .

故选 A. 5. (2012 铜仁)如图,正方形 ABOC 的边长为 2,反比例函数 y ? 的值是( )
k x

的图象过点 A,则 k

A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4 考点:反比例函数系数 k 的几何意义。 解答:解:因为图象在第二象限, 所以 k<0, 根据反比例函数系数 k 的几何意义可知|k|=2×2=4, 所以 k=﹣4. 故选 D. 6. (2012 铜仁)小红要过生日了,为了筹备生日聚会,准备自己动手用纸板制作一个底面 半径为 9cm,母线长为 30cm 的圆锥形生日礼帽,则这个圆锥形礼帽的侧面积为( ) 2 2 2 2 A.270πcm B.540πcm C.135πcm D.216πcm 考点:圆锥的计算。 2 解答:解:圆锥形礼帽的侧面积=π×9×30=270πcm , 故选 A. 7. (2012 铜仁) 如图, 在△ ABC 中, ∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E, 过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于 M,交 AC 于 N,若 BM+CN=9,则线段 MN 的长为( )

A.6 B.7 C.8 D.9 考点:等腰三角形的判定与性质;平行线的性质。 解答:解:∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 E, ∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB, ∵MN∥BC, ∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB, ∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN, ∴BM=ME,EN=CN, ∴MN=ME+EN, 即 MN=BM+CN. ∵BM+CN=9

∴MN=9, 故选 D. 8. (2012 铜仁)如图,六边形 ABCDEF∽六边形 GHIJKL,相似比为 2:1,则下列结论正 确的是( )

A.∠E=2∠K

B.BC=2HI

C.六边形 ABCDEF 的周长=六边形 GHIJKL 的周长

D.S 六边形 ABCDEF=2S 六边形 GHIJKL 考点:相似多边形的性质。 解答:解:A、∵六边形 ABCDEF∽六边形 GHIJKL,∴∠E=∠K,故本选项错误; B、∵六边形 ABCDEF∽六边形 GHIJKL,相似比为 2:1,∴BC=2HI,故本选项正确; C、∵六边形 ABCDEF∽六边形 GHIJKL,相似比为 2:1,∴六边形 ABCDEF 的周长=六边 形 GHIJKL 的周长×2,故本选项错误; D、∵六边形 ABCDEF∽六边形 GHIJKL,相似比为 2:1,∴S 六边形 ABCDEF=4S 六边形 GHIJKL, 故本选项错误. 故选 B. 9. (2012 铜仁)从权威部门获悉,中国海洋面积是 299.7 万平方公里,约为陆地面积的三分 之一,299.7 万平方公里用科学记数法表示为( )平方公里(保留两位有效数字) A. 3 ? 10
6

B. 0 . 3 ? 10

7

C. 3 . 0 ? 10

6

D. 2 . 99 ? 10

6

考点:科学记数法与有效数字。 6 6 解答:解:299.7 万=2.997×10 ≈3.0×10 . 故选:C. 10. (2012 铜仁)如图,第①个图形中一共有 1 个平行四边形,第②个图形中一共有 5 个平 行四边形,第③个图形中一共有 11 个平行四边形,…则第⑩个图形中平行四边形的个数是 ( )

A.54 B.110 C.19 D.109 考点:规律型:图形的变化类。 解答:解:第①个图形中有 1 个平行四边形; 第②个图形中有 1+4=5 个平行四边形; 第③个图形中有 1+4+6=11 个平行四边形; 第④个图形中有 1+4+6+8=19 个平行四边形; … 第 n 个图形中有 1+2(2+3+4+…+n)个平行四边形; 第⑩个图形中有 1+2(2+3+4+5+6+7+8+9+10)=109 个平行四边形;

故选 D.

二、填空题: (本大题共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分)
11. (2012 铜仁)|﹣2012|= 考点:绝对值。 解答:解:∵﹣2012<0, ∴|﹣2012|=2012. 故答案为:2012. 12. (2012 铜仁)当 x 考点:二次根式有意义的条件。 解答:解:根据题意得,
1 x



时,二次根式

1 x

有意义.

>0,

解得 x>0. 故答案为:x>0. 13. (2012 铜仁) 若一个多边形的每一个外角都等于 40°, 则这个多边形的边数是 . 考点:多边形内角与外角。 解答:解:360÷40=9,即这个多边形的边数是 9. 14. (2012 铜仁)已知圆 O1 和圆 O2 外切,圆心距为 10cm,圆 O1 的半径为 3cm,则圆 O2 的半径为 . 考点:圆与圆的位置关系。 解答:解:∵圆 O1 和圆 O2 外切,圆心距为 10cm,圆 O1 的半径为 3cm, ∴圆 O2 的半径为:10﹣3=7(cm) . 故答案为:7cm. 15. (2012 铜仁)照如图所示的操作步骤,若输入 x 的值为 5,则输出的值为 .

考点:代数式求值。 2 解答:解: (5+5) ﹣3=100﹣3=97, 故答案为 97. 16. (2012 铜仁)一个不透明的口袋中,装有红球 6 个,白球 9 个,黑球 3 个,这些球除颜 色不同外没有任何区别,现从中任意摸出一个球,恰好是黑球的概率为 . 考点:概率公式。 解答:解:根据题意可得:一袋中装有红球 6 个,白球 9 个,黑球 3 个,共 18 个, 任意摸出 1 个,摸到黑球的概率是= 故答案为: . 17. (2012 铜仁)一元二次方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解
2

= .

是 . 考点:解一元二次方程-因式分解法。 解答:解:原方程可化为: (x﹣3) (x+1)=0, ∴x1=3,x2=﹣1.

18. (2012 铜仁)以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正 方形的边交于 A、B 两点,则线段 AB 的最小值是 . 考点:正方形的性质;垂线段最短;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线。 解答:解:

∵四边形 CDEF 是正方形, ∴∠OCD=∠ODB=45°,∠COD=90°,OC=OD, ∵AO⊥OB, ∴∠AOB=90°, ∴∠CAO+∠AOD=90°,∠AOD+∠DOB=90°, ∴∠COA=∠DOB, ∵在△ COA 和△ DOB 中 , ∴△COA≌△DOB, ∴OA=OB, ∵∠AOB=90°, ∴△AOB 是等腰直角三角形, 由勾股定理得:AB= = OA,

要使 AB 最小,只要 OA 取最小值即可, 根据垂线段最短,OA⊥CD 时,OA 最小, ∵正方形 CDEF, ∴FC⊥CD,OD=OF, ∴CA=DA, ∴OA= CF=1, 即 AB= , 故答案为: . 三、解答题: (本题共 4 个题,19、20 题每小题 5 分,第 21、22、23 每题 10 分,共 40 分,要有解题的主要过程) 19. (2012 铜仁)化简: ( 考点:分式的混合运算。 解答:解:原式= (
1 x ?1 ? 1 x ?1 )? x ?1
2

1 x ?1

?

1 x ?1

)? x

2
2

?1

=

x ?1? x ?1 x ?1
2

?

x

2

?1 2

= -1

2

19. (2012 铜仁)某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉 M 到广场的两个入口 A、B 的距离相等,且到广场管理处 C 的距离等于 A 和 B 之间距离的一 半,A、B、C 的位置如图所示,请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉 M 的位置, (要求: 不写已知、求作、作法和结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图)

考点:作图—应用与设计作图。 解答:解:作图:连接 AB…(1 分) 作出线段 AB 的垂直平分线…(3 分) 在矩形中标出点 M 的位置…(5 分) ( 必须保留尺规作图的痕迹,痕迹不全少一处扣(1 分) ,不用直尺连接 AB 不给分,无圆 规痕迹不给分. )

20. (2012 铜仁)如图,E、F 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上的两点,AE∥CF,AE=CF, BE=DF.求证:△ ADE≌△CBF.

考点:全等三角形的判定。 解答:证明:∵AE∥CF ∴∠AED=∠CFB,…(3 分) ∵DF=BE, ∴DF+EF=BE+EF, 即 DE=BF,…(6 分) 在△ ADE 和△ CBF 中,
? AE ? CF ? ? ? AED ? ? CFB ,…(9 分) ? DE ? BF ?

∴△ADE≌△CBF(SAS)…(10 分) .

21. (2012 铜仁)某区对参加 2010 年中考的 5000 名初中毕业生进行了一次视力抽样调查, 绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分.请根据图表信息回答下列问题:

(1)在频数分布表中,a 的值为 ,b 的值为 ,并将频数分 布直方图补充完整; (2)甲同学说:“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”,问甲同学的视力情况 应在什么范围? (3)若视力在 4.9 以上(含 4.9)均属正常,则视力正常的人数占被统计人数的百分比 是 ;并根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人?

考点:频数(率)分布直方图;用样本估计总体;频数(率)分布表;中位数。 解答:解: (1)∵20÷0.1=200, ∴a=200﹣20﹣40﹣70﹣10=60, b=10÷200=0.05; 补全直方图如图所示. 故填 60;0.05. (2)∵根据中位数的定义知道中位数在 4.6≤x<4.9, ∴甲同学的视力情况范围:4.6≤x<4.9; (3)视力正常的人数占被统计人数的百分比是: ∴估计全区初中毕业生中视力正常的学生有 35%×5000=1750 人. 故填 35%. ,

22. (2012 铜仁)如图,定义:在直角三角形 ABC 中,锐角 α 的邻边与对边的比叫做角 α 的余切,记作 ctanα,即 ctanα= (1)ctan30°= ;
3 4

=

,根据上述角的余切定义,解下列问题:

(2)如图,已知 tanA=

,其中∠A 为锐角,试求 ctanA 的值.

考点:锐角三角函数的定义;勾股定理。 解答:解: (1)∵Rt△ ABC 中,α=30°, ∴BC= AB, ∴AC= ∴ctan30°= 故答案为: = ; = . = AB,

(2)∵tanA= , ∴设 BC=3,AC=4,则 AB=5, ∴ctanA= = .

23. (2012 铜仁)如图,已知⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E,AB⊥CD,⊙O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F. (1)求证:CD∥BF;

(2)若⊙O 的半径为 5,cos∠BCD=

4 5

,求线段 AD 的长.

考点:切线的性质;圆周角定理;解直角三角形。 解答: (1)证明:∵BF 是⊙O 的切线,AB 是⊙O 的直径, ∴BF⊥AB,…3 分 ∵CD⊥AB, ∴CD∥BF; …6 分 (2)解:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°,…7 分 ∵⊙O 的半径 5, ∴AB=10,…8 分 ∵∠BAD=∠BCD,…10 分 ∴cos∠BAD=cos∠BCD= = ,

∴AD=cos∠BAD?AB= ×10=8, ∴AD=8.…12 分 24. (2012 铜仁)为了抓住梵净山文化艺术节的商机,某商店决定购进 A、B 两种艺术节纪 念品.若购进 A 种纪念品 8 件,B 种纪念品 3 件,需要 950 元;若购进 A 种纪念品 5 件,B 种纪念品 6 件,需要 800 元. (1)求购进 A、B 两种纪念品每件各需多少元? (2) 若该商店决定购进这两种纪念品共 100 件, 考虑市场需求和资金周转, 用于购买这 100 件纪念品的资金不少于 7500 元,但不超过 7650 元,那么该商店共有几种进货方案? (3)若销售每件 A 种纪念品可获利润 20 元,每件 B 种纪念品可获利润 30 元,在第(2) 问的各种进货方案中,哪一种方案获利最大?最大利润是多少元? 考点:一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用。 解答:解: (1)设该商店购进一件 A 种纪念品需要 a 元,购进一件 B 种纪念品需要 b 元, 根据题意得方程组得: ?
? a ? 100 ? b ? 50 ? 8 a ? 3 b ? 950 ? 5 a ? 6 b ? 800

,…2 分

解方程组得: ?



∴购进一件 A 种纪念品需要 100 元,购进一件 B 种纪念品需要 50 元…4 分;

(2)设该商店购进 A 种纪念品 x 个,则购进 B 种纪念品有(100﹣x)个, ∴?
?100 x ? 50 (100 ? x ) ? 7500 ?100 x ? 50 (100 ? x ) ? 7650

,…6 分

解得:50≤x≤53,…7 分 ∵x 为正整数, ∴共有 4 种进货方案…8 分; (3)因为 B 种纪念品利润较高,故 B 种数量越多总利润越高, 因此选择购 A 种 50 件,B 种 50 件.…10 分 总利润=50×20+50×30=2500(元) ∴当购进 A 种纪念品 50 件, 种纪念品 50 件时, B 可获最大利润, 最大利润是 2500 元.…12 分 25.2012 铜仁) ( 如图, 已知: 直线 y ? ? x ? 3 交 x 轴于 点 A, y 轴于点 B, 交 抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、C(1,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2) 若点 D 的坐标为 (-1, , 0) 在直线 y ? ? x ? 3 上有一点 P,使 ΔABO 与 ΔADP 相似, 求出点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,在 x 轴下方的抛物线上,是否存在点 E,使 ΔADE 的面积等 于四边形 APCE 的面积?如果存在,请求出点 E 的坐标;如果不存在,请说明理由 .

考点:二次函数综合题。 解答:解: :由题意得,A(3,0) (1) ,B(0,3) ∵抛物线经过 A、 C 三点, B、 ∴把 A (3, , 0)B (0, , 3)C (1, 三点分别代入 y = a x + b x + c 0) 得方程组
2

? 9 a ? 3b ? c ? 0 ? ?c ? 3 ?a ? b ? c ? 0 ? ?a ? 1 ? 解得: ? b ? ? 4 ?c ? 3 ?

∴抛物线的解析式为 y = x - 4 x + 3 (2)由题意可得:△ ABO 为等腰三角形,如图所示,

2

若△ ABO∽△AP1D,则

AO AD

?

OB DP 1

∴DP1=AD=4 , ∴P1 ( - 1, 4 ) 若△ ABO∽△ADP2 ,过点 P2 作 P2 M⊥x 轴于 M,AD=4, ∵△ ABO 为等腰三角形, ∴△ADP2 是等腰三角形,由三线合一可得:DM=AM=2= P2M,即 点 M 与点 C 重合∴P2(1,2) (3)如图设点 E ( x , y ) ,则

S ? ADE ?

1 2

? AD ? | y | ? 2 | y |

①当 P1(-1,4)时,

S
?

四边形 AP1CE

=S 三角形 ACP +S 三角形 ACE
1

1 2

?2?4?

1 2

? 2? | y |

= 4+ y ∴2 y = 4 + y ∴ y = 4

∵点 E 在 x 轴下方 ∴ y = - 4 代入得: x - 4 x + 3 = - 4 ,即 x ? 4 x ? 7 ? 0
2

2

∵△=(-4) -4×7=-12<0 ∴此方程无解 ②当 P2(1,2)时,S 四边形 AP CE=S 三角形 ACP +S 三角形 ACE = 2 + y
2 2
[来源:Zxxk.Com]

2

∴2 y = 2 + y

∴ y = 2 代入得: x - 4 x + 3 = - 2
2

∵点 E 在 x 轴下方 ∴ y = - 2
2

即 x ? 4 x ? 5 ? 0 ,∵△=(-4) -4×5=-4<0 ∴此方程无解 综上所述,在 x 轴下方的抛物线上不存在这样的点 E。

2



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