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高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版必修4



2.4.2平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角

复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义:

复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义:

已知两个非零向量 a 和 b, 它们的 夹角为? ,我们把数量| a || b | cos ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) .

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复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义:

已知两个非零向量 a 和 b, 它们的 夹角为? ,我们把数量| a || b | cos ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) .

记为: a ? b , 即 a ? b ? | a || b | cos? .

复习引入
1. 平面向量的数量积(内积)的定义:

已知两个非零向量 a 和 b, 它们的 夹角为? ,我们把数量| a || b | cos ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) .

记为: a ? b , 即 a ? b ? | a || b | cos? .
规定:

零向量与任一向量的数 量积

为0,即a ? 0 ? 0 .

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:

设 a、b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量 .

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:

设 a、b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量 .

(1) e ? a ? a ? e ? a ? cos ? .

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:

设 a、b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量 .

(1) e ? a ? a ? e ? a ? cos ? .

(2) a ? b ? a ? b ? 0 .

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:

( 3) 当 a 与 b 同向时, a ? b ? a ? b .

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:

( 3) 当 a 与 b 同向时, a ? b ? a ? b . 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a ? b .

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:

( 3) 当 a 与 b 同向时, a ? b ? a ? b . 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a ? b .
特别地, a ? a ? a 或 a ? a ? a .
2

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:

( 3) 当 a 与 b 同向时, a ? b ? a ? b . 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a ? b .
特别地, a ? a ? a 或 a ? a ? a .
(4) cos ? ? a?b a b .
2

复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:

( 3) 当 a 与 b 同向时, a ? b ? a ? b . 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a ? b .
特别地, a ? a ? a 或 a ? a ? a .
(4) cos ? ? a?b a b .
2

( 5) a ? b ? a b .

复习引入
3. 练习:
(1) 已知 a ? 1, b ? 2 , 且(a ? b)与a垂直, 则 a 与 b 的夹角是( )

A. 60

o

B. 30

o

C. 135

o

D. 45

o

复习引入
3. 练习:
( 2) 已知 a ? 2, b ? 1, a 与 b 之间的夹角 为 , 那么向量 m ? a ? 4b 的模为 ( 3

?

)

A. 2

B. 2 3

C. 6

D. 12

讲授新课
探究:

已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x 2 , y2 ), 怎样用 a 和 b 的坐标 表示 a ? b ?

1. 平面两向量数量积的坐标表示:
两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即

1. 平面两向量数量积的坐标表示:
两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .

2.平面内两点间的距离公式:

(1) 设 a ? ( x , y ), 则

2.平面内两点间的距离公式:

(1) 设 a ? ( x , y ), 则
a ?x ?y或 a?
2 2 2

x ?y .
2 2

2.平面内两点间的距离公式:

( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
那么

2.平面内两点间的距离公式:

( 2)如果表示向量 a 的有向线段的起 点和终边的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ),
那么

| a |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2

2

(平面内两点间的距离公式)

3.向量垂直的判定:

设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则

3.向量垂直的判定:

设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

4.两向量夹角的余弦:

4.两向量夹角的余弦:

讲解范例:
例1. 已知A(1,2),B(2,3),C(?2,5),
试判断△ABC的形状,并给出证明.

讲解范例:
例2. 设 a ? (5, ?7), b ? ( ?6, ?4), 求

a ? b 及 a、b 间的夹角? (精确到1 ).
o

讲解范例:
例3. 已知 a ? (1,

3 ), 3 ? 1),

b ? ( 3 ? 1,

则 a 与 b 的夹角是多少?

讲解范例:
例3. 已知 a ? (1,

3 ), 3 ? 1),

b ? ( 3 ? 1,

则 a 与 b 的夹角是多少?
评述:已知三角形函数值求角时,

应注重角的范围的确定.

练习:
1.教材P.107练习第1、2、3题.

练习:
1.教材P.107练习第1、2、3题.

2. 已知A(3,2),B(-1,-1),若点

1 P ( x , ? )在线段AB的中垂线上,则 2
1 2

x=

.

课堂小结
1. a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .
2. 平面内两点间的距离公式:
| a |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2 2

3. 向量垂直的判定:

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

课后作业
1. 阅读教材P.106到P.107; 2. 《习案》作业二十四.

课后思考:
1. 以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角 △OAB,使?B=90?,求点B和向量 的坐标. 2. 在△ABC中, 且△ABC的一个内角为直角,求k值.



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