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江苏省盐城中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学(理)



江苏省盐城中学 2013—2014 学年度第二学期期中考试 高二年级数学(理科)试题(2014.04)
命题人:盛冬山 尹震霞 高考资源网 试卷说明:本场考试时间 120 分钟,总分 150 分. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写 在答题纸的指定位置上) 1.命题“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1

? 0 ”的否定是 ▲ . ▲ . 审核人:徐瑢

2.在区间 [0,4] 上任取一个实数 x ,则 x ? 1 的概率是

3.某中学高中一年级有 400 人,高中二年级有 320 人,高中三年级有 280 人,现从中抽取 一个容量为 200 人的样本,则高中二年级被抽取的人数为 ▲ . 4.下图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是 开始
S ?0
50 1 2 3




甲 0 乙 8 2 889 5

S ? S ? 400 S≤2000

32 52

Y

N 输出S 结束
第 4 题图

第 7 题图

第 5 题图

5.如图是样本容量为 200 的频率分布直方图.根据此样本的频率分布直方图估计,样本数 据落在 [6,10)内的频数为 ▲ . 6.已知 A 为函数 f ( x) ? x ? x 图像上一点,在 A 处的切线平行于直线 y ? 5 x ,则 A 点坐
4

标为 ▲



7.甲、乙两名运动员某赛季一些场次的得分的茎叶图(如图所示) , 甲、乙两名运动员的 得分的平均数分别为 a, b 则 a ? b ? ▲ .
x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程,则此 a 2 b2

8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 y ? 3x 是双曲线 双曲线的离心率为 ▲ .

9.用数字 1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数中偶数的个数为



. (用数字

作答) 10.已知甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是 0.8 、 0.6 、 0.5 ,则 三人中至少有一人达标的概率是 11. (2 x ? ▲ ▲ . .

1 6 ) 的展开式的常数项是 x

12.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中标号 为 1,2 的卡片放入同一信封,则有
2



种不同的放法. (用数字作答)

13 .圆心在抛物线 x ? 4 y 上,并且和抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ .
2 2 2

14.设函数 f ( x) ? a ln x ? x ? ax , a ? 0 ,不等式 e ? 1 ? f ( x) ? e 对 x ? [1, e] 恒成立, 则 a 的取值集合是 ▲ .

二、解答题: (本大题共 6 小题,计 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.将一颗正方体的骰子先后抛掷 2 次(每个面朝上等可能) ,记下向上的点数,求: (1)求两点数之和为 5 的概率; ( 2 )以第一次向上点数为横坐标 x ,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点 ( x, y ) 在圆

x 2 ? y 2 ? 15 的内部的概率.

16.某医院有内科医生 5 名,外科医生 4 名,现要派 4 名医生参加赈灾医疗队, (1)一共有多少种选法? (2)其中某内科医生必须参加,某外科医生因故不能参加,有几种选法? (3)内科医生和外科医生都要有人参加,有几种选法?

17.设 (1 ?

1 m x) ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? .... ? am x m ,若 a 0 , a1 , a 2 成等差数列. 2

(1) 求 (1 ?

1 m x) 展开式的中间项; 2

(2)求 (1 ?

1 m x) 展开式中所有含 x 奇次幂的系数和. 2

18.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单 位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数,已知销售价 x?3

格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. ⑴求 a 的值; ⑵若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的 利润最大.

19.已知椭圆

x2 y 2 2 , A, B 是椭圆上 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率 e ? 2 a b 2

的两动点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? OB , (其中实数 ? 为常数) . (1)求椭圆标准方程; (2)当 ? ? 1 ,且直线 AB 过 F 点且垂直于 x 轴时,求过 A, B, P 三点的外接圆方程; (3)若直线 OA 与 OB 的斜率乘积 kOA ? kOB ? ?

1 ,问是否存在常数 ? ,使得动点 P 满足 2

PG ? PQ ? 4 ,其中 G (? 2, 0), Q( 2, 0) ,若存在求出 ? 的值,若不存在,请说明理由.
y

O

F

x

20.已知函数 f ( x) ? (2 ? a )( x ? 1) ? 2 ln x . ( a 为常数) (1)当 a ? 0 时,①求 f ? x ? 的单调增区间;②试比较 f (m) 与 f (

1 ) 的大小; m

( 2 ) g ( x) ? e x ? x ? 1 , 若 对 任意 给定的 x0 ? ? 0,1? , 在 ? 0, e ? 上 总存 在两 个 不同 的

xi (i ? 1, 2) ,使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

盐城中学 2013-2014 学年高二年级期中考试 数学(理科)答题纸 2014、04
一、填空题(14×5=70 分) 1、 ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

2、

3 4

3、64 5、64 7、 ? 0.5 9、48 11、160 13、 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

4、2400 6、 (1,2) 8、2 10、0.96 12、18 14、 ?e?

二、解答题(共 80 分)

15、 (12 分) 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件 (1)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有 4 个基本事件, 所以 P(A)=

4 1 ? ; 36 9 1 . 9

答:两数之和为 5 的概率为
2 2

(2)点(x,y)在圆 x +y =15 的内部记为事件 C,则 C 包含 8 个事件 所以 P(C)=

8 2 ? . 36 9
2 2

答:点(x,y)在圆 x +y =15 的内部的概率

2 . 9

16、 (12 分) (1) C9 ? 126; (2) C7 ? 35; (3) C9 ? C5 ? C4 ? 120
4 4 4 4 4

17、 (13 分) 解: ( 1 ) 依 题 意 a 0 ? 1 , a1 ?

m 2 1 2 , a2 ? Cm ( ) , 由 2 2

2a1 ? a0 ? a2
可得 m ? 1 (舍去) ,或 m ? 8 所 以 (1 ?

1 m x) 展 开 式 的 中 间 项 是 第 五 项 为 : 2

1 35 T5 ? C84 ( x) 4 ? x 4 ; 2 8
(2) (1 ? 即 (1 ?

1 m x) ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? .... ? am x m 2

1 8 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? .... ? a8 x8 2 3 8 令 x ? 1 则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? .... ? a8 ? ( ) 2 1 8 令 x ? ?1 则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? .... ? a8 ? ( ) 2
所以 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ?

38 ? 1 205 ? 29 16
205 16

所以展开式中含 x 的奇次幂的系数和为

18、 (13 分) 解:(1)因为 x ? 5 时 y ? 11 ,所以

座位号

a ? 10 ? 11 ? a ? 2 ; 2 2 ? 10( x ? 6) 2 ,所以商场 (2)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量 y ? x?3
每日销售该商品所获得的利润:

f ( x) ? ( x ? 3)[


2 ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ,3 ? x ? 6 x ?3

f / ( x) ? 10[( x ? 6)2 ? 2( x ? 3)( x ? 6)] ? 30( x ? 4)( x ? 6) ,
补充说明:也可 f ( x) ? a ? 10( x ? 15x ? 72x ? 108 ) 进而多项式
3 2

求导 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 4 函数 f ( x ) 在 (3,4) 上递增,在 ( 4,6) 上递减,所以当 x ? 4 时函数

f ( x) 取得最大值 f (4) ? 42

19、 (15 分)

?c ? 1 ? 解: ( I )有题设可知: ? c 2 ∴a? 2 ? ? 2 ?a
∴ b ? 1 ,∴椭圆标准方程为
2

又 b ? a ?c ,
2 2 2

x2 ? y2 ? 1 2

(2)由题意可求 A(1,

2 2 ), B(1,? ), P(2,0) 2 2

2 2 设圆的方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 A, B, P 三点代入求 出

5 5 D ? ? , E ? 0, F ? 1 ,所以圆的方程是 x 2 ? y 2 ? x ? 1 ? 0 2 2
(3)设 P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 则由 OP ? OA ? ?OB 得 (x,y)=(x1,y1)+ ? (x2,y2)=(x1+ ? x2,y1+ ? y2),即 x=x1+ ? x2, y=y1+ ? y2. 因为点 A、B 在椭圆 x2+2y2=2 上,
2 2 2 2 所以 x2 x2 故 x2+2y2=(x2 1+2y1=2, 2+2y2=2, 1+ ? x2+2 ? x1x2)+2(y1+
2 2 2 2 2 ? 2 y2 (x2 +2y2 2+2 ? y1y2)=(x1+2y1)+ ? 2)+2 ? (x1x2+2y1y2)

=2+2 ? +2 ? (x1x2+2y1y2).
2

设 kOA,kOB 分别为直线 OA,OB 的斜率, y1y2 1 由题设条件知 kOA· kOB= =- ,因此 x1x2+2y1y2=0, x1x2 2 所以 x2+

20、 (15 分)解: (Ⅰ)当 a ? 0 时,① f ( x) ? 2 x ? 2 ? 2ln x( x ? 0)

2 . x ? (1, ??) 时 f ' ( x) ? 0 f ( x) 的 增 区 间 (1,??) x 1 2 1 2 ② f (m) ? 2m ? 2 ? 2ln m f ( ) ? ? 2 ? 2 ln ? ? 2 ? 2 ln m m m m m 1 2 记 h( m) ? f ( m) ? f ( ) = 2m ? ? 4 ln m m m 2 2 4 2m ? 4m ? 2 2(m ? 1)2 h' (m) ? 2 ? 2 ? ? ? 0 所 以 h( m) 在 = m m m2 m2 (0, ??) 上单调递增,又 h(1) ? 0 ,所以 (0,1) 时 h(m) ? 0 , (1, ??) 时 h(m) ? 0 所以 1 1 m ? (0,1) f (m) ? f ( ) ; m ? (1, ??) f (m) ? f ( ) ; m ? 1 m m 1 f ( m) ? f ( ) m ' x ' (2)∵ g ( x) ? e ?1 ,当 x ? ? 0,1? , g ( x) ? 0 ,∴函数 g ( x) 在区
则 f ( x) ? 2 ?
'

间 ? 0,1? 上是增函数。∴ g ( x) ? ? 2, e?

当 a ? 2 时 , f ( x) ? ?2ln x , 不 符 题 意 当 a ? 2 时 ,

f ' ( x) ?? 2 ? a ? 0?

2 ?e 2?a 2 ( , e], f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 先减后增 2?a 2 ? )?2 2 ?f( ? 2 ② (2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? e ③ 所以 ? 2 ? a 即 a ? 2 ln 2 ? a ? ? f (e ) ? e

2 (2 ? a) x ? 2 ? 由题意有 f ( x ) 在 ? 0, e? 上不单调 x x 2 2 a ? 2? (0, ), f ' ( x) ? 0, ∴ ① e 2?a



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