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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第10篇 第7节 二项分布与正态分布课时训练 理



【导与练】 (新课标) 2016 届高三数学一轮复习 第 10 篇 第 7 节 二 项分布与正态分布课时训练 理

【选题明细表】 知识点、方法 条件概率 相互独立事件同时发生的概率 独立重复试验与二项分布 正态分布 概率综合 基础过关 一、选择题 1.已知 A,B 是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则 1-P(A)P(B)是下列

哪个事件的概率( C ) 题号 3、9 1、2、6、11、12 4、8、13、14 5、7、10 15、16

(A)事件 A,B 同时发生 (B)事件 A,B 至少有一个发生 (C)事件 A,B 至多有一个发生 (D)事件 A,B 都不发生 解析:P(A)P(B)是指 A,B 同时发生的概率,1-P(A)·P(B)是 A,B 不同时发生的概率,即至多有 一个发生的概率. 2.从应届毕业生中选拔飞行员,已知该批学生体型合格的概率为 ,视力合格的概率为 ,其他

几项标准合格的概率为 ,从中任选一名学生,则该学生三项均合格的概率为(假设三次标准 互不影响)( B ) (A) (B) (C) (D)

解析:由题意 P= × × = .故选 B.

1

3.(2014 西宁模拟)已知 P(B|A)= ,P(A)= ,则 P(AB)等于(

C )

(A) (B) (C)

(D)

解析:由题意,P(B|A)=

,

又 P(B|A)= ,P(A)= ,

所以 P(AB)=P(B|A)·P(A)= × = . 4.甲、乙两人进行象棋比赛,比赛采用五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲 每局比赛获胜的概率均为 ,则甲以 3∶1 的比分获胜的概率为( A )

(A)

(B)

(C) (D)

解析:甲以 3∶1 的比分获胜,即前三局甲胜二局,第四局甲胜,所求的概率为 P=

( )

2

× × = .故选 A. C )

5.(2014 潍坊模拟)设随机变量 X~N(3,1),若 P(X>4)=p,则 P(2<X<4)等于(

(A) +p

(B)1-p

(C)1-2p (D) -p 解析:因为随机变量 X~N(3,1),观察图得,P(2<X<4)=1-2P(X>4)=1-2p. 6.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点 数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是( C )

2

(A)

(B) (C)

(D)

解析:法一 由题得 P(A)= ,P(B)= , 事件 A、B 至少有一件发生的概率为 P=P(A )+P( B)+P(AB)=P(A)·P( )+P( )·P(B)+P(A)·P(B)= × + × + × = ,故选 C.

法二 依题意得 P(A)= ,P(B)= , 事件 A,B 中至少有一件发生的概率等于 1-P( 故选 C. 7.(2014 南宁模拟)设随机变量ξ 服从正态分布 N(3,4),若 P(ξ <2a-3)=P(ξ >a+2),则 a 的值 为( A ) (D)3 )=1-P( )·P( )=1- × = ,

(A) (B) (C)5

解析:因为ξ 服从正态分布 N(3,4), 且 P(ξ <2a-3)=P(ξ >a+2), 所以 二、填空题 8.(2014 广州模拟)一射手对同一目标独立地射击四次,已知至少命中一次的概率为 ,则此 射手每次射击命中的概率为 . =3,解得 a= .

解析:由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为 1- = .

设此射手每次射击命中的概率为 p,则(1-p) = ,

4

3

所以 p= .

答案: 9.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙相 邻的概率是 .

解析:设“甲、乙二人相邻”为事件 A,“甲、丙二人相邻”为事件 B,则所求概率为 P(B|A), 由于 P(B|A)= ,

而 P(A)=

= ,AB 是表示事件“甲与乙、丙都相邻”,

故 P(AB)=

= ,于是 P(B|A)= = .

答案: 10.已知 X~N(μ ,σ ),P(μ -σ <X≤μ +σ )=0.68,P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=0.95,某次全市 20000 人参加的考试,数学成绩大致服从正态分布 N(100,100),则本次考试 120 分以上的学生 约有 人.
2

解析:依题意可知μ =100,σ =10. 由于 P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=0.95, 所以 P(80<X≤120)=0.95, 因此本次考试 120 分以上的学生约有 20000× 答案:500 11.(2014 江苏盐城模拟)如图所示的电路有 a,b,c 三个开关,每个开关开或关的概率都是 , 且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为 . =500(人).

4

解析:理解事件之间的关系,设“a 闭合”为事件 A,“b 闭合”为事件 B,“c 闭合”为事件 C, 则灯亮应为事件 AC ,且 A,C, 之间彼此独立,且 P(A)=P( )=P(C)= .

所以 P(A C)=P(A)P( )P(C)= .

答案: 三、解答题 12.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 . (1)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (2)若甲、乙两人各投球 2 次,求两人共命中 2 次的概率. 解:设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙投球一次命中”为事件 B,则 P(A)= ,P(B)= . (1)法一 由题设知, P(A)= ,P( )= .

故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 1-P( 法二 由题设知, P(A)= ,P( )= . 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 P(A)P( )+P(A)P(A)= .

)= ,

5

(2)由题设知,P(A)= ,P( )= ,

P(B)= ,P( )= . 甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各命中一次;甲命中 2 次,乙 2 次均不命中;甲 2 次均不命中,乙命中 2 次.概率分别为 P1= P(A)P( ) P(B)P( )= ,

P2=P(AA)P(

)= ,

P3=P(

)P(BB)= .

所以甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次的概率为 P=P1+P2+P3= + + = . 能力提升 13.设随机变量 X~B(2,p),随机变量 Y~B(3,p),若 P(X≥1)= ,则 P(Y≥1)= 解析:因为 X~B(2,p), 所以 P(X≥1)=1-P(X=0)=1(1-p) = ,
2

.

解得 p= . 又 Y~B(3,p), 所以 P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1(1-p) = .
3

答案:

6

14.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下 落的过程中,将遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时, 向左、右两边下落的概率都是 ,则小球落入 A 袋中的概率为 .

解析:记“小球落入 A 袋中”为事件 A,“小球落入 B 袋中”为事件 B,则事件 A 的对立事件为 B,若小球落入 B 袋中,则小球必须一直向左落下或一直向右落下, 故 P(B)=( ) +( ) = ,
3 3

从而 P(A)=1-P(B)=1- = .

答案: 15.(2014 烟台市一模)PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺 颗粒物,对人体健康和大气环境质量的影响很大.我国 PM 2.5 标准采用世卫组织设定的最宽 限值,即 PM 2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克 /立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空气质量为超标.

某市环保局从 360 天的市区 PM 2.5 监测数据中,随机抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎 叶图所示(十位为茎,个位为叶). (1)从这 15 天的数据中任取 3 天的数据,记ξ 表示空气质量达到一级的天数,求ξ 的分布列; (2)以这 15 天的 PM 2.5 日均值来估计一年 360 天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空 气质量达到一级.

7

解:(1)ξ 的可能取值为 0,1,2,3, 其分布列为 P(ξ =k)= ξ P 0 (k=0,1,2,3),即 1 2 3

(2)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 p= = ,

一年中空气质量达到一级的天数为η ,则η ~B(360, ),

所以 E(η )=360× =144(天), 即一年中空气质量达到一级的天数为 144 天. 探究创新 16.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市 100000 名男生的身高服从正态分布 N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高,测量发现被测学生身高全 部介于 160 cm 和 184 cm 之间,将测量结果按如下方式分成 6 组:第 1 组[160,164),第 2 组 [164,168),?,第 6 组[180,184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况; (2)求这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数; (3)在这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人中任意抽取 2 人,将该 2 人中身高排 名(从高到低)在全市前 130 名的人数记为ξ ,求ξ 的数学期望. 参考数据: 若ξ ~N(μ ,σ ),则 P(μ -σ <ξ ≤μ +σ )=0.6826, P(μ -2σ <ξ ≤μ +2σ )=0.9544,
2

8

P(μ -3σ <ξ ≤μ +3σ )=0.9974. 解:(1)由频率分布直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为 (162× +166× +170× +174× +178× +182× )×4=168.72,

高于全市的平均值 168. (2)由频率分布直方图知,后 3 组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为 0.2×50=10,即这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数为 10. (3)∵P(168-3×4<ξ ≤168+3×4)=0.9974, ∴P(ξ ≥180)= =0.0013,

0.0013×100000=130. ∴全市前 130 名的身高在 180 cm 以上,这 50 人中 180 cm 以上的有 2 人. 随机变量ξ 可取 0,1,2,于是 P(ξ =0)= = ,

P(ξ =1)=

= ,

P(ξ =2)=

= ,

∴E(ξ )=0× +1× +2× = .

9



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