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四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷



四川省绵阳市南山中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、填空题:本大题共 10 小题.每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题 目要求的. 1. (4 分)tan(﹣225°)的值等于() A.﹣1 B.1 C .﹣ D.

2. (4 分)设集合 A={a,b,c},B={0,1},则从 A 到 B

的映射共有() A.6 个 B.8 个 C .7 个 3. (4 分)已知 α 是第三象限的角,那么 A.第二 B.第三 是()象限的角. C.第二或第三

D.5 个

D.第二或第四

4. (4 分)下列各组函数中,表示同一个函数的是() A.y=x﹣1 和 B. y=x 和 y=1
0

C. f(x)=x 和 g(x)=(x+1)

2

2

D.



5. (4 分)设 a=log A.a<b<c

3,b=( ) ,c=2 B.c<b<a

0.2

,则() C.c<a<b D.b<a<c

6. (4 分)若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16) , (0,8) , (0,4) , (0,2)内,那么下列命 题中正 确的是() A.函数 f(x)在区间(0,1)内没有零点 B. 函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C. 函数 f(x)在区间(1,16)内有零点 D.函数 f(x)在区间(2,16)内没有零点 7. (4 分)要得到函数 y=sin(﹣2x+ A.向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 )+2 的图象,只需将函数 y=sin(﹣2x)图象上的所有点()

个单位长度,再向上平移 2 个单位长度 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度

D.向左平移

个单位长度,再向上平移 2 个单位长度

8. (4 分)点 P 从 O 点出发,按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动一周,O、P 两点间的距离 y 与点 P 所走 路程 x 的函数关系如图,那么点 P 所走的图形是()

A.

B.

C.

D.

9. (4 分)已知 f(x)=sin2x+|sin2x|(x∈R) ,则下列判断正确的是() A.f(x)是周期为 2π 的奇函数 B. f(x)是值域为周期为 π 的函数 C. f(x)是周期为 2π 的偶函数 D.f(x)是值域为周期为 π 的函数 10. (4 分) 设f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 对 x∈R, 都有 f (x﹣2) =f (x+2) , 且当 x∈时, ﹣1,则函数 y=f(x)﹣log2(x+2)的零点个数为() A.7 B.6 C .5

D.4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案直接填在答题卷中横线上. 11. (4 分)已知集合 A={1,2},集合 B 满足 A∪B={1,2},则集合 B 有个. 12. (4 分)若 2 =5 =10,则
2 a b

=.

13. (4 分)已知函数 f(x)=2x ﹣mx+5 的增区间为 19. (10 分)已知函数 f(x)=loga (a>0,a≠1)是奇函数;

(1)求 m 的值; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 f(x)的定义域为(1,a﹣2)时,f(x)的值域为(1,+∞) ,求 a 的值.

四川省绵阳市南山中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 10 小题.每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题 目要求的. 1. (4 分)tan(﹣225°)的值等于() A.﹣1 B. 1 C. ﹣ D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解答: 解:原式=tan(﹣180°﹣45°)=tan(﹣45°)=﹣tan45°=﹣1, 故选:A. 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 2. (4 分)设集合 A={a,b,c},B={0,1},则从 A 到 B 的映射共有() A.6 个 B. 8 个 C. 7 个 D.5 个 考点: 映射. 专题: 计算题. 分析: 利用映射的定义进行求解,注意 A 集合有三个元素,每个元素可以有两种可能,从而求解; 解答: 解:∵集合 A={a,b,c},B={0,1},关于 A 到 B 的映射设为 f ∴f(a)=0 或 1;两种可能; f(b)=0 或 1; f(c)=0 或 1; ∴从 A 到 B 的映射共有:2×2×2=8, 故选 B. 点评: 此题主要考查映射的定义, 在平时的学习中一定要打牢基础, 学好课本知识, 此题是一道基础题;

3. (4 分)已知 α 是第三象限的角,那么 A.第二 B.第三

是()象限的角. C.第二或第三 D.第二或第四

考点: 象限角、轴线角. 专题: 三角函数的求值. 分析: 先根据 α 所在的象限确定 α 的范围,进而确定 象限. 解答: 解:∵α 是第三象限角,即 2kπ+π<α<2kπ+ π,k∈Z. 当 k 为偶数时, 当 k 为奇数时, 为第二象限角; 为第四象限角. 的范围,进而看当 k 为偶数和为奇数时所在的

故选:D. 点评: 本题主要考查了半角的三角函数.解题的关键是根据角的范围确定其所在的象限. 4. (4 分)下列各组函数中,表 示同一个函数的是()

A.y=x﹣1 和

B. y=x 和 y=1

0

C. f (x)=x 和 g(x)=(x+1)

2

2

D.



考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 通过对各选项的函数求出定义域、对应法则、值域,若三者相同时同一个函数. 解答: 解:对于 A,y=x﹣1 定义域为 R,
0

的定义域为 x≠﹣1,故不是同一个函数

对于 B,y= x 定义域为 x≠0,y=1 的定义域为 R,故不是同一个函 数 对于 C,两个函数的对应法则不同,故不是同一个函数 对于 D,定义域都是(0,+∞)而法则 ,是同一函数

故选 D 点评: 本题考查函数的三要素:定义域、值域、对应法则.利用函数的三要素判断两个函数是否是同一 函数.

5. (4 分)设 a=log A.a<b<c

3,b=( ) ,c=2 B.c<b<a

0.2

,则() C.c<a<b D.b<a<c

考点: 对数值大小的比较;指数函数单调性的应用. 分析: 易知 a<0 0<b<1 c>1 故 a<b<c 解答: 解析:∵由指、对函数的性质可知: , ,

∴有 a<b<c 故选 A. 点评: 本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识. 6. (4 分)若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16) , (0,8) , (0, 4) , (0,2)内,那么下列 命题中正确的是() A.函数 f(x)在区间(0,1)内没有零点 B. 函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C. 函数 f(x)在区间(1,16)内有零点 D.函数 f(x)在区间(2,16)内没有零点 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 压轴题;阅读型.

分析: 由题意可确定 f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,故在区间=sin(﹣2x+ 再向上平移 2 个单位长度得到的函数解析式为 y=sin(﹣2x+ )+2.

) ,

故选:A. 点评: 本题考查三角函数图象的平移变换,该类题目要注意平移方向及平移对象,属于基础题. 8. (4 分)点 P 从 O 点出发,按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动一周,O、P 两点间的距离 y 与点 P 所走 路程 x 的函数关系如图,那么点 P 所走的图形是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析 : 认真观察函数的图象,根据其运动特点,采用排除法求解. 解答: 解:观察函数的运动图象,可以发现两个显著特点: ①点 P 运动到周长的一半时,OP 最大; ②点 P 的运动图象是抛物线. 设点 M 为周长的一半,如下图所示: 由图可知,

图 1 中,OM≤OP,不符合条件①,因此排除选项 A; 图 4 中,OM≤OP,不符合条件①,并且 OP 的距离不是对称变化的,因此排除选项 D. 另外,在图 2 中,当点 P 在线段 OA 上运动时,y=x,其图象是一条线段,不符合条件②,因此排除选项 B. 故选:C. 点评: 本题考查动点问题的函数图象,考查对于运动问题的深刻理 解,解题关键是认真分析函数图象的 特点.选项 D 中出现了椭圆,增加了试题的难度. 9. (4 分)已知 f(x)=sin2x+|sin2x|(x∈R) ,则下列判断正确的是() A.f(x)是周期为 2π 的奇函数 B. f(x)是值域为周期为 π 的函数 C. f(x)是周期为 2π 的偶函数 D.f(x)是值域为周期为 π 的函数

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用绝对值的代数意义化简函数 f(x) ,并画出此分段函数的图象,根据函数的图象即可得到函 数的最小正周期和值域. 解答: 解:若 2kπ≤2x≤2kπ+π,即 kπ≤x≤kπ+ f(x)=sin2x+|sin2x|=2sin2x; 若 2kπ+π≤2x≤2kπ+2π,即 kπ+ f(x)=sin2x+|sin2x|=0, 作出函数图象,如下图: ≤x≤kπ+π 时,sin2x<0, 时,sin2x≥0,

根据图象可知 f(x)为周期函数,最小正周期为 π, 函数的值域为. 故选:B 点评: 本题主要考查函数的周期性及其求法,涉及的知识有绝对值的代数意义,以及正弦函数的图象与 性质,利用了分类讨论及数形结合的数学思想,根据题意正确画出已知函数的图象是解本题的关键. 10. (4 分) 设f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 对 x∈R, 都有 f (x﹣2) =f (x+2) , 且当 x∈时, ﹣1,则函数 y=f(x)﹣log2(x+2)的零点个数为() A.7 B. 6 C. 5 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 函数 y=f(x)﹣log2(x+2)的零点个数转化为函数 f(x)与函数 y=log2(x+2)的图象的交点的 个数,作图求解. 解答: 解:由题意作函数 f(x)与函数 y=log2(x+2)的图象如下,

D.4

两个函数有 4 个交点, 故函数 y=f(x)﹣log2(x+2)的零点个数为 4; 故选 D. 点评: 本题考查了函数的零点与函数的图象的应用,属于基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案直接填在答题卷中横线上. 11. (4 分)已知集合 A={1,2},集合 B 满足 A∪B={1,2},则集合 B 有 4 个. 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据集合 B 满足 A∪B={1,2},可得 B?A,进而根据 n 元集合有 2 个子集,得到答案. 解答: 解:∵集合 A={1,2}有两个元素, 若 A∪B={1,2}, 则 B?A 故满足条件的集合 B 有 2 =4 个 故答案为:4 点评: 本题考查的知识点是并集及其运算,子集的个数,由已知得到 B?A,及 n 元集合有 2 个子集, 是解答的关键.
a b n 2 n

12. (4 分)若 2 =5 =10,则

=1.

考点: 对数 的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 首先分析题目已知 2 =5 =10,求
a b

的值,故考虑到把 a 和 b 用对数的形式表达出来代入



再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得,即可得到答案. a b 解答: 解:因为 2 =5 =10, 10 10 故 a=log2 ,b=log5 =1 故答案为 1. 点评: 此题主要考查对数的运算性质的问题,对数函数属于三级考点的内容,一般在高考中以选择填空 的形式出现,属于基础性试题同学们需要掌握. 13. (4 分)已知函数 f(x)=2x ﹣mx+5 的增区间为 解得 m=﹣8, 2 ∴f(x)=2x +8x+5, ∴f(1)=2+8+5=15, 故答案为:15. 点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键. 的单调递增区间是,k∈Z.
2

14. (4 分)函数

考点: 正弦函数的图象.

专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用正弦函数的单调性进行求解即可. 解答: 解:∵ ∴由 2kπ 即 kπ+ ≤3x﹣ ≤x≤ kπ+ ≤2kπ ,k∈Z, =﹣sin(3x﹣ ,k∈Z, )

故函数的递增区间为,k∈Z, 故答案为: ,k∈Z 点评: 本题主要考查三角函数单调区间的求解,根据正弦函数的单调性是解决本题的关键. 15. (4 分)对任意 x∈R,函数 f(x)表示﹣x+3, x+ ,x ﹣4x+3 中的较大者,则 f(x)的最小值是 2.
2

考点: 函数的最值及其几何意义;函数的图象. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用.

分析: 由题意比较三者之间的大小,从而可得 f(x)=

,从而求最小值.

解答: 解:由 x+ ﹣(﹣x+3)>0 得,x>1; 由 x ﹣4x+3﹣(﹣x+3)>0 得,x>3 或 x<0; 由 x ﹣4x+3﹣( x+ )>0 得,x>5 或 x< ;
2 2

则 f(x)=



结合函数的图象如下, fmin(x)=f(1)=﹣1+3=2; 故答案为:2.

点评: 本题考查了分段函数的化简与应用,属于中档题. 三、解答题:本大题共 4 小题,每小题 10,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (10 分)已知集合 A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<﹣1 或 x>1} (I)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 A∪B=R,求 a 的取值范围. 考点: 并集 及其运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (I)由 A∩B=?,分 A 为空集与不为空集两种情况,求出 a 的取值范围即可; (Ⅱ)由 A∪B=R,确定出 a 的范围即可. 解答: 解: (I)分两种情况考虑: (i)当 A=?时,则有 2a>a+3,解得:a>3,满足 A∩B=?; (ii)当 A≠?时,则有 2a≤a+3,即 a≤3,不满足 A∩B=?,无解, 综上,a 的范围为{a|a>3}; (II)∵A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<﹣1 或 x>1},且 A∪B=R, ∴2a≤﹣1 或 a+3≥1, 解得:﹣2≤a≤﹣ , 则 a 的范围为{a|﹣2≤a≤﹣ }. 点评: 此题考查了交集及其运算,以及并集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 17. (10 分)如图,函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ,x∈R, (其中 A>0,ω>0,0≤φ≤ 象与 y 轴交于点(0, ) (Ⅰ)求函数的解析式;

)的部分图象,其图

(Ⅱ)若

,求

的值.

考点: 正弦函数的图象;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)根据图象确定 A,ω 和 φ 的值即可求函数的解析式; (Ⅱ)利用三角函数的诱导公式进行化简即可. 解答: 解: ( I)∵0≤φ≤ ,

∴由五点对应法得

,解得 ω=2,φ=



则 f(x)=Asin(ωx+φ)=Asin(2x+ ∵图象与 y 轴交于点(0, ∴f(0 )=Asin 故 ( II)∵ ∴得 则 , = ) ,

) ,

,解得 A=2, . ,

=

=

=



点评: 本题主要考查三角函数解析式的求解以及诱导公式的应用, 根据图象确定 A, ω 和 φ 的值是解决 本题的关键. 18. (10 分)如图:有一块半径为 2 的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状,它的下底是圆的 直径,上底 CD 的端点在圆周上.梯形的周长令为 y,腰长为 x

(Ⅰ)求周长 y 关于腰长 x 的函数关系式,并求其定义域; (Ⅱ)当梯形周长最大时,求此时梯形的面积 S.

考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ( I)画出图形,结合图形,求出周长 y 关于腰长 x 的函数解析式,再求出函数的定义域即可; (Ⅱ)求出函数 y 的最大值,并求出此时对应的梯形的面积 S.

解答: 解: ( I)如图所示,作 DE⊥AB 于 E,连接 BD, 因为 AB 为直径,所以∠ADB=90°; 在 Rt△ ADB 与 Rt△ AED 中,∠ADB=90°=∠AED,∠BAD=∠DAE, 所以 Rt△ ADB∽Rt△ AED; 所以 = ,即 AE= ; ; =4﹣ , +x=﹣ x +2x+8, >0,4﹣ >0,
2

又 AD=x,AB=4,所以 AE= 所以 CD=AB﹣2AE=4﹣2×

于是 y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣

由于 AD>0,AE>0,CD>0,所以 x>0, 解得 0<x<2 ;
2

故所求的函数为 y=﹣ x +2x+8(0<x<2
2 2

) ;

(Ⅱ)因为 y=﹣ x +2x+8=﹣ (x﹣2) +10, 又 0<x<2 ,所以,当 x=2 时,y 有最大值 10, =1;

此时,梯形的腰长 AD=x=2,下底长 AB=4,所以 AE= 所以上底长 CD=AB﹣2AE=4﹣2×1=2,高 DE= ; =3

∴梯形的面积为 S= (AB+CD)?DE= ×(4+2)×



点评: 本题考查了函数模型的应用问题,也考查了求函数最值的问题,是综合性题目.

19. (10 分)已知函数 f(x)=loga (1)求 m 的值;

(a>0,a≠1)是奇函数;

(2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 f(x)的定义域为(1,a﹣2)时,f(x)的值域为(1,+∞) ,求 a 的值. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)直接利用奇函数的定义,化简即可求 m 的值; (2)求出函数的定义域,通过对数的底数的取值范围讨论 f(x)的单调性; (3)当 f(x)的定义域为(1,a﹣2)时,利用(2)的结果函数的单调性,结合 f(x)的值域为(1,+∞) , 即可求 a 的值. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (1)∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) ,即 得 m=﹣1; (2)由(1)得 令 ,则 ,定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , = 为(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上的减函数,

当 a>1,由复合函数的单调性可得 f(x)为(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上的减函数; 当 0<a<1 时,由复合函数的单调性可得 f(x)为(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上的增函数; (3)∵a﹣2>1∴a>3 由(2)知:函数在(1,a﹣2)上是单调减函数, 又∵f(x)∈(1,+∞) ,∴f(a﹣2)=1, 即 .

解得 . 点评: 本题考查函数的奇偶性的应用,函数的单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力.



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