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2013年安庆“二模”考试文科数学参考答案


2013 年安庆市高三模拟考试(二模) 数学试题(文科)参考答案及评分标准
一、选择题

3?i (3 ? i) 2 8 ? 6i 4 3 1.A. 【解析】 z ? ? ? ? ? i. 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 10 5 5
因为点 ( , ) 在第一象限 ,所以复数 z ?

4 3 5 5

3?i 对应的点在第一象限. 3?i

2 2.D.【解析】 x ? x ? 2 ? 0 ? ?2 ? x ? 1 ,所以 M ? N ? {?2,?1,1} .

3.B.【解析】

5k 5 b 3 ? , b ? 3k , a ? 4k , c ? 5k , e ? ? . a 4 4k 4

4.B.【解析】 ? n ? p ,? n ? p ? 0 ,? 3a ? 3 ? 0 ,? a ? ? 3 .设 m 与 n 的夹角为 ? ,

cos? ?

m?n mn

?

1 ? ? ? 60? . 2

y 4

5. A.【解析】选 A.
2 6. C.【解析】 an ?1 ? 4an , q ? ?2 . 2

A

7. B. 【解析】可行域是 ?ABC 围成的区域(含边界) ,如图所

1
OP ? x 2 ? y 2 的最小值为 O 点到直线 x ? y ? 1 距离的平方,
2

B 2

示 。 x 即

O C -1

1 x ? y 的最小值为 . 2
2 2

8. C.【解析】圆心到直线的距离为

6 9 ? a2

? 3 ,解得 a ? 3 .

9. D. 【 解 析 】 g ?(0) ? 2, g (0) ? 1. f ?(0) ? 3, f (0) ? 2. 则 曲 线 y ? f (x) 点 Q(0, f (0)) 处 的 切 线 方 程 是

y ? 3x ? 2 .

?
10. C.【解析】对称轴是 x ? 6

?

? ? ? ? ? . 取 k ? 0 , ? ? 16 . ? 3 6 3
二、填空题 11. t ? ?1, 或t ? 1 .【解析】 ? ? 0 .

3 ? ? , ? ? ? ? ? 2k? ? 3? , k ? Z , 6 2 2 4 4

?

12. ? 0.61 .【解析】易得样本中心为 ( , ) ,代入回归直线方程 y ? 1.46x ? a 中,
1

7 9 2 2

?

得a ?

9 7 ? 1.46 ? ? ?0.61 . 2 2
【解析】四棱锥的直观图如图所示,表面积为 s ? 2 ? 2 . 2; P

13. s ? 2 ? 14.

2013 1 1 1 ? ??? ; 【解析】 S ? 2014 1? 2 2 ? 3 2013 ? 2014 1 1 1 1 1 2013 ? 1? ? ? ??? ? ? . 2 2 3 2013 2014 2014

D A B

C

15. ①②③⑤ 【 解 析 】 (0,0) 满 足 f ( x) ? x x ? a ,① 正 确 ;

f ( x) ? x x ? a 为奇函数 a ? 0 ,②正确;当 a ? 2 , x ? 2 时, ?

f ( x) ? x(a ? x) ? ? x2 ? ax, ③正确;当 a ? 1 时,
? x 2 ? x ( x ? 1) ? f ( x) ? x x ? 1 ? ? 2 , 画 出 图 像 可 知 , f (x ) 没 有 最 大 值 ,④ 错 误 ; 当 a ? 2 时 , ?? x ? x ( x ? 1) ? ? x 2 ? 2 x ( x ? 2) ? f ( x) ? x x ? 2 ? ? 2 ,从图像可知, f ( x) ? m 有三个零点,即直线 y ? m 与 f (x ) 的图像 ?? x ? 2 x ( x ? 2) ?
有三个交点,则 0 ? m ? 1 ,⑤正确. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 【解析】 f ( x) ? sin x ? cos( x ?

?
6

) ? 3 sin( x ?

?
6

)

………… 4 分 ………… 6 分

(Ⅰ)? x ? R ,? f (x ) ? [? 3, 3] (Ⅱ)当 x ? 2k? ?

?
3

, k ? Z 时,函数 f (x) 取最大值 3
………… 8 分

?B ?

?
3

又由题意知 ?

?a ? c ? 4 ?ac ? 2
2 2 2

2 由余弦定理知 b ? a ? c ? 2ac cos B ? (a ? c) ? 2ac ? 2ac cos B ? 10

? b ? 10
17. (本题满分 12 分) 【解析】 )由频率分布直方图知,成绩在 ?100,120?内的人数为: (Ⅰ 50× 0.16+50× 0.38=27(人) 所以该班成绩良好的人数为 27 人

…………12 分

.…………………………………… 4 分
2

(Ⅱ )由频率分布直方图知,成绩在 ?90,100? 的人数为 50×0.06=3 人,设为 x、y、z; 成绩在 ?130,140?的人数为 50×0.08=4 人,设为 A、B、C、D. 若 m, n ? ?90,100? 时,有 xy,xz,yz 3 种情况; …………………………5 分

若 m, n ? ? ,140?时,有 AB,AC,AD,BC,BD,CD6 种情况;………………7 分 130 若 m, n 分别在 ?90,100? 和 ?130,140?内时,共有 12 种情况.

xA, xB, xC, xD, yA, yB, yC, yD, zA, zB, zC , zD ………………………………9 分
所以基本事件总数为 21 种,事件“ m ? n ? 30 ”所包含的基本事件个数有 12 种. ∴P ( m ? n ? 30 ) ? 18. (本题满分 12 分) 【解析】 )取 AC 的中点为 N,连结 MN,BN。 (Ⅰ ∵ 是 AE 的中点,∴ M MN∥ 且 CE=2MN。 CE 又∵ CE∥ 且 CE=2BD, BD ∴ MN∥ 且 MN=BD。∴ BD 四边形 MNBD 是平行四边形, ∴ BN∥ DM, 又 BN ? 平面 ABC,DM ? 平面 ABC, ∴ DM∥ 平面 ABC。 (Ⅱ )∵ ABC 是正三角形, △ ∴ BN⊥ AC。 …………6 分

12 4 ? . 21 7

………………………………………… 12 分

∵ CE⊥ 平面 ABC,∴ BN⊥ CE,∴ BN⊥ 平面 ACE。 而 BN∥ DM,∴ DM⊥ 平面 ACE,∴ DM 是三棱锥

D ? ECA 的高.
故三棱锥 D ? ECA 的体积为 ? 19. (本题满分 13 分) 【解析】 (I) f ?( x) ? 此时 f ?( x) ?

1 1 2 3 3 3 a ? a? a 3 2 2 12

…………12 分

2 ? 2 x ? a 2 . 由 f ?(1) ? 2 ? 2 ? a2 ? 0 得, a ? ?2 ; x

2 2( x ? 1) 2 ? 2x ? 4 ? ? 0, f (x) 在定义域上始终单调递增,没有极小值. x x
………… 4 分

因此不存在实数 a ,满足条件.

3

(II) f ?( x) ?

2 2 2 ? 2 x ? a 2 ? 0 , a 2 ? ? 2 x, a 2 ? ( ? 2 x ) max . x x x 2 1 当 x ? 2 时, ? 2 x ? 2( x ? ) 在 ?1,2? 上取最大值 5 。所以 a 2 ? 5, x x

? a ? 0 ,∴a ? 5. ∴
(Ⅲ )当 a ?

a 的最小值为 5 .

…………8 分

5 时, f ' ( x) ?

2 2 x 2 ? 5 x ? 2 (2 x ? 1)( x ? 2) ? 2x ? 5 ? ? x x x

∴ x ? (0, ) ? (2,?? ) 时, f ' ( x) ? 0 , 当 ∴ f (x ) 在区间 x ? (0, )和(2,?? ) 上单调递增. 当 x ? ( ,2) 时, f ' ( x) ? 0 , ∴ f (x ) 在区间 ( ,2) 上单调递减. 要使函数 f (x ) 在 ( k ?

1 2

1 2

1 2

1 2

…………10 分

1 , k ) 上单调,则 2

1 ? ?k ? 2 ? 0 1 1 ? ① ? 当 时, k ? ,此时 f (x ) 在 (0, ) 上单调递增,满足题意; 2 2 ?k ? 1 ? 2 ?

1 1 ? 1 ?k ? ? ② ? 当 2 2 时, k ? [1,2] ,此时 f (x) 在 (k ? , k ) 上单调递减,满足题意; 2 ?k ? 2 ?
③ k? 当

1 1 ?5 ? ? 2 时, k ? ? ,?? ? ,此时 f (x) 在 (k ? , k ) 上单调递增,满足题意; 2 2 ?2 ?

综上,实数 k 的取值范围是 { } ? [1,2] ? ? ,?? ? . 20. (本题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2 pn ? p ? 1 )当

1 2

?5 ?2

? ?

………… 13 分

? a3 ? 4 ,? 6 p ? p ? 1 ? 4 ,? p ? 1

…………3 分

? n ? 2 时, an ? 2n ? 2
当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? p ? 1 ? 0 ,满足 an ? 2n ? 2 .

? p ? 1 , an ? 2n ? 2 , n ? N ?
4

…………6 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )知, bn ? 2

an

? 4n ?1 .

…………8 分

Tn ? b1 ? 2b2 ? 3b3 ? ?nbn
? 40 ? 2 ? 41 ? 3 ? 42 ? ? ? n ? 4n -1

4Tn ? 41 ? 2 ? 42 ? ? ? (n - 1) ? 4n-1 ? n ? 4n

…………10 分

? 3Tn ? 40 ? 41 ? 42 ? ? ? 4n ?1 ? n ? 4n
1 ? 4n (1 ? 3n)4 n ? 1 n ? ?n?4 ? 1? 4 3

? Tn ?

(3n ? 1)4 n ? 1 9

…………13 分

21.(本题满分 13 分) 【解析】 )∵ (Ⅰ 四边形 OABC 为平行四边形,∴ BC∥ OA. 由椭圆的对称性知,B、C 两点关于 y 轴对称. 由题意知, a ? OA ? CB ? 3 . 于是可设 B( ? 代入椭圆方程解得, y 0 ? …………3 分

3 , y 0 ) y0 ? 0 ) ( , 2

3 b. 2

∵ OAB=30°, ∴ ∠

3 3 b ? tan30? ,∴b ? 1 . 2 2
………7 分

∴ 椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 9 x2 ? y 2 ? 1 中, 9

(Ⅱ )直线 l 的方程为 y ? ?( x ? 1) ? 1 ? x, 代入椭圆方程

9 4 5 x 2 ? 9 x ? 0, x1 ? 0, x2 ? . 代入直线 l 的方程 y ? 1 ? x, 得 y1 ? 1, y2 ? ? . 5 5 9 而 FM ? 2 2 ? 1 , y1 ? y2 ? , 5
所以 ?FPQ 的面积为

1 9 18 2 ? 9 (2 2 ? 1) ? ? . 2 5 10

…………13 分

5


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