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文科立体几何考试大题题型分类



高考文科数学立体几何大题题型
基本平行、垂直证明
1. (2013 年高考北京卷(文) )如图,在四棱锥 P ? ABCD

中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面 ABCD , PA ? AD , E 和

F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:
(

1) PA ? 底面 ABCD ;(2) BE / / 平面 PAD ;(3)平面 BEF ? 平面 PCD

【答案】(I)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA 垂直于这个平面的交线 AD

所以 PA 垂直底面 ABCD. (II)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点 所以 AB∥DE,且 AB=DE 所以 ABED 为平行四边形, 所以 BE∥AD,又因为 BE ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 所以 BE∥平面 PAD. (III)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形 所以 BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD 所以 CD⊥PD,因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 所以 PD∥EF,所以 CD⊥EF,所以 CD⊥平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PCD.

2 . ( 2013

年 高 考 山 东 卷 ( 文 )) 如 图 , 四 棱 锥

P ? ABCD

中, AB ? AC , AB ? PA , AB∥CD, AB ? 2CD , E , F , G , M , N 分别为

PB, AB, BC , PD, PC 的中点

1

(Ⅰ)求证: CE∥平面PAD ;(Ⅱ)求证: 平面EFG ? 平面EMN

【答案】

2

体积
3. ( 2013 年高考安徽(文) ) 如图 , 四棱锥 P ? ABCD 的底面

ABCD 是边长为 2 的菱

形, ?BAD ? 60? .已知 PB ? PD ? 2, PA ?

6 .

3

(Ⅰ)证明: PC ? BD (Ⅱ)若 E 为 PA 的中点,求三菱锥 P ? BCE 的体积.

【答案】解:

(1)证明:连接 BD, AC 交于 O 点

? PB ? PD ? PO ? BD ? BD ? AC 又? ABCD 是菱形 而 AC ? PO ? O ? BD ⊥面 PAC (2) 由(1) BD ⊥面 PAC

? BD ⊥ PC

S△ PEC ?

2 1 1 ?3 S△ PAC ? ? 6 ? 2 3 ? sin 45? = 6 ? 3 ? 2 2 2
1 1 1 1 ? S ?PEC ? BO ? ? 3 ? ? 2 3 2 2

VP ? BEC ? VB ? PEC ?

4. (2013 年高考重庆卷(文) )(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分)

如题 (19) 图 , 四棱锥 P ? ABCD 中 , PA ⊥底面 ABCD, PA ? 2 3 , BC ? CD ? 2 ,

?ACB ? ?ACD ?

?
3

.zhangwlx

(Ⅰ)求证: BD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF ? 7 FC ,求三棱锥 P ? BDF 的体积.

4

【答案】

立体几何中的三视图问题
1.已知某几何体的直观图与它的三视图,其中俯视图为正三角形,其它两个视图是矩形 . 已知 D 是这个几何体的棱 A1C1 上的中点。 (1)求出该几何体的体积;
5

(2)求证:直线 BC1 / / 平面AB1 D ; (3)求证:平面 AB1 D ? 平面AA1 D .

D A1 3 _

C1 B1

C A 3 _ B

3.一个三棱柱 ABC ? A1B1C1 直观图和三视图如图所示,

3
设 E 、 F 分别为 AA1 和 B1C1 的中点. (Ⅰ)求几何体 E ? B1C1CB 的体积; (Ⅱ)证明: A1 F // 平面 EBC1 ; (Ⅲ)证明:平面 EBC ? 平面 EB1C1 . 主视图

1
左视图

2
C

俯视图 视图

C1

F
B A E
A1 B1

立体几何中的动点问题

6

1.已知四边形 ABCD 为矩形,AD ? 4, AB ? 2, E 、F 分别是线段 AB 、BC 的中点,PA ? 平面 ABCD. (1)求证: PF ? FD ; (2)设点 G 在 PA 上,且 EG / / 平面 PFD ,试确定点 G 的位置.
P

A E B

D C

·
F

2.如图,己知 ?BCD 中, ?BCD ? 90 , BC ? CD ? 1, AB ? 平面BCD ,
0

?ADB ? 600 , E, F 分别是AC,AD上的动点, 且

AE AF = =? ,(0<? <1) AC AD

(1)求证:不论 ? 为何值,总有 EF ? 平面ABC; (2)若 ? =

1 , 求三棱锥 A-BEF 的体积. 2

3.如图,已知△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE

7

为平行四边形,DC ? 平面 ABC , AB ? 2 , tan ?EAB ? (1)证明:平面 ACD ? 平面 ADE ;

3 . 2

(2)记 AC ? x , V ( x ) 表示三棱锥 A-CBE 的体积,求 V ( x ) 的表达式; (3)当 V ( x ) 取得最大值时,求证:AD=CE.

立体几何中的翻折问题
(2013 年高考广东卷 (文) )如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC

边上的点, AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起 , 得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ? (1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?

2 . 2

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
A

A

G

E

D

G

D

E
F

C

B

F 图 4

C
B 图 5

【答案】(1)在等边三角形 ABC 中, AD ?

AE
8

?

AD AE ? DB EC ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中

也成立,? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF ,

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;
BF ? CF ? 1 2.

(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①,

? 在三棱锥 A ? BCF 中,

BC ?

2 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ②

? BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / /CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ? ? 3 2 ? 3 324
3、如图甲,直角梯形 ABCD 中, AB ? AD , AD // BC , F 为 AD 中点, E 在 BC 上, 且 EF // AB ,已知 AB ? AD ? CE ? 2 ,现沿 EF 把四边形 CDFE 折起如图乙,使平 面 CDFE ⊥平面 ABEF . ( ? )求证: AD // BCE (Ⅱ)求证: AB ? 平面 BCE ; (Ⅲ求三棱锥 C ? ADE 的体积。

9



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