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函数y=Asin(ωx+φ) 的图象



课 题:函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象 题型一:图形变换 题型变换法则: 作 y=sinx(长度为 2?的某闭区间) 沿 x 轴平 移|φ |个单位 得 y=sin(x+φ ) 横坐标伸 长或缩短 得 y=sin(ω x+φ ) 纵坐标伸 长或缩短 横坐标 伸长或缩短 得 y=sinω x 沿 x 轴平 移|

? |个单位 ?

/>得 y=sin(ω x+φ ) 纵坐标伸 长或缩短

得 y=Asin(ω x+φ )的图象,先在一 个周期闭区间上再扩充到 R 上。

主要题例: 1.y=sin(x-

? ? ? )是由 y=sin(x+ )向右平移 个单位得到的. 4 4 2 ? ? 以后所得到的图象的函数式是 y=sin(x+ ), 则原来的函 2 4 ? ) 2
C.y=sin(x-

2.若将某函数的图象向右平移 数表达式为( A.y=sin(x+ 答案:A 3.把函数 y=cos(3x+ 是( ) )

3? ) 4

B.y=sin(x+

? ) 4

D.y=sin(x+

? ? )- 4 4

? )的图象适当变动就可以得到 y=sin(-3x)的图象,这种变动可以 4

? ? ? C.向右平移 D.向左平移 12 12 4 ? ? ? 解:∵y=cos(3x+ )=sin( -3x)=sin[-3(x- )] 12 4 4 ? ? ∴由 y=sin[-3(x)]向左平移 才能得到 y=sin(-3x)的图象. 12 12
A.向右平移

? 4

B.向左平移

答案:D 4.将函数 y=f(x)的图象沿 x 轴向右平移

? ,再保持图象上的纵坐标不变,而横坐标变为原 3
) C.y=sin(2x+

来的 2 倍,得到的曲线与 y=sinx 的图象相同,则 y=f(x)是( A.y=sin(2x+

? ? ) B.y=sin(2x- ) 3 3

2? ) 3

D.y=sin(2x-

2? ) 3

分析:这是三角图象变换问题的又一类逆向型题,解题的思路是逆推法. 解:y=f(x)可由 y=sinx,纵坐标不变,横坐标压缩为原来的 1/2,得 y=sin2x;再沿 x 轴向

左平移

? ? 2? 得 y=sin2(x+ ),即 f(x)=sin(2x+ ). 3 3 3

答案:C 题型二:根据图象求函数解析式 题型介绍:本类题主要是设函数解析式为 y=sin(ω x+φ ),从图象上的已知量中分别找出 A, ? 再用 待定系数法求解出 ? .难点集中在 ? 的确定上. 1. 巧求初相角 求初相角是高中数学学习中的一个难点,怎样求初相角?初相角有几个?下面通过错解剖析, 介绍四种方法. 如图,它是函数 y=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0),| ? |<π 的图象, 由图中条件,写出该函数解析式. 错解: 由图知:A=5

T 5? 3? 2? 2 ? ?? ? 得 T=3π ,∴ω = = 2 2 2 T 3 2 ∴y=5sin( x+ ? ) 3 2 将(π ,0)代入该式得:5sin( π + ? )=0 3 2? 2? 2? 由 sin( + ? )=0,得 + ? =kπ , ? =kπ - (k∈Z) 3 3 3 2? ? 2 2? 2 ? ∵| ? |<π ,∴ ? =- 或 ? = ,∴y=5sin( x- )或 y=5sin( x+ ) 3 3 3 3 3 3 ? 2 2? ? 分析:由题意可知,点( ,5)在此函数的图象上,但在 y=5sin( x- )中,令 x= , 3 3 4 4 ? 2? ? 2 2? 则 y=5sin( - )=5sin(- )=-5,由此可知:y=5sin( x- )不合题意. 3 3 3 6 2
由 那么,问题出在哪里呢?我们知道,已知三角函数值求角,在一个周期内一般总有两个解,只 有在限定的范围内才能得出惟一解 正解一:(最值点法)

? 2 ? ,5)代入 y=5sin( x+ ? )得 5sin( + ? )=5 3 4 6 ? ? ∴ + ? =2kπ + 6 2 ? ? ∴ ? =2kπ + (k∈Z)取 ? = 3 3
将最高点坐标( 正解二:(起始点法) 函数 y=Asin(ω x+ ? )的图象一般由“五点法”作出,而起始点的横坐标 x 正是由ω x+ ? =0 解得的,故只要找出起始点横坐标 x0,就可以迅速求得角 ? .由图象求得 x0=(-

? ? )= . 2 3

x 2 ,∴ ? =-ω x0=2 3

课后作业: 1.如图 a 是周期为 2π 的三角函数 y=f(x)的图象,那么 f(x) 可以写成( ) A.sin(1+x) B.sin(-1-x) C.sin(x-1) D.sin(1-x) 2.如图 b 是函数 y=Asin(ω x+φ ) +2 的图象的一部分,它的振幅、周期、初相各是( )

图b

4? ? aa A.A=3,T= ,φ =- 图c 3 6 4? 3? B.A=1,T= ,φ =- 3 4 2? 3? C.A=1,T= ,φ =- 3 4 4? ? D.A=1,T= ,φ =- 3 6 3.如图 c 是函数 y=Asin(ω x+φ )的图象的一段,它的解析式为
( )

aa

图d

2 ? 2 x ? B. y ? sin( ? ) sin(2x ? ) 3 3 3 2 4 2 ? 2 2? C. y ? sin(x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 3 3 3 3 4.函数 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)在同一周期内,当 x
A. y ? = 是

图e

?
3

时,有 ymax=2,当 x=0 时,有 ymin=-2 ?,则函数表达式 . 5.如图 d 是 f(x)=Asin(ω x+φ ) ,A>0,|φ |<

?
2

的一段图象,则函数 f(x)

的表达式为

.

6.如图 e,是 f(x)=Asin(ω x+φ ) ,A>0,|φ |<

?
2



图f

一段图象,则 f(x)的表达式为 . 7.如图 f 所示的曲线是 y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0) 的图象的一部分,求这个函数的解析式.

8.函数 y=Asin(ω x+φ )+k(A>0,ω >0)在同一周期内,当 x= 大值为

5? 时,y 有最 3

7? 11? 2 ,当 x= 时,y 有最小值- ,求此函数的解析式. 3 3 3

9.由图 g 所示函数图象,求 y=Asin(ω x+φ ) (|φ |<π )的表达式. 选题意图:考查数形结合的思想方法.

10.函数 y=Asin(ω x+φ )?(|φ |?<π )的图象如图 h,求函数的表达式.

图h

11.把函数 y=sin(2x-

? ? )先向右平移 个单位得到 3 3

,而后,横坐标不

变,纵坐标伸长为原来的两倍得到 到 12. 写出 “ 由 y = 5sin( 5sin(

,再纵向不变,横坐标变成原来的

2 得 3

2 2? x- )”的图形变换过程.附纸说明. 3 3

2 2? x- ) 到 y ? sin x ” 和 “由 y ? sin x 变换到 y = 3 3



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