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2014届高中数学步步高大一轮复习讲义第九章9.2



数学

北(理)

§9.2 两条直线的位置关系
第九章 解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1, l2, 其斜率 分别为 k1,k2,则有 l1∥l2? k1=k2 . 特别地,当直线 l1、l2 的斜率都不

存 在时,l1 与 l2 平行 . (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1, l2 斜率存在, 设为 k1,
k2=-1 ,当一条直线 k2,则 l1⊥l2? k1·

难点正本 疑点清源
1.两条直线平行、垂直的 充要条件是有大前提 的,就是两条直线都有 斜率. 当直线无斜率时, 要单独考虑.

斜率为零,另一条直线斜率不存在时, 两条直线 垂直 .
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基础知识·自主学习
要点梳理
2.两直线相交 交点: 直线 l1: A1x+B1y+C1=0 和 l2: A2x+B2y+C2=0 的公共点的坐标与 ?A1x+B1y+C1=0, 方程组 ? 的解一 ?A2x+B2y+C2=0 一对应. 相交?方程组有 唯一解 , 交点坐标 就是方程组的解; 平行?方程组 无解 ; 重合?方程组有 无数个解 .
难点正本 疑点清源
2.与直线 Ax+By+C = 0(A2+B2≠0)平行、垂 直的直线方程的设法: 一般地,平行的直线 方程设为 Ax + By+m =0;垂直的直线方程 设为 Bx-Ay+n=0.

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基础知识·自主学习
要点梳理
3.三种距离公式 (1)点 A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离: 2 2 ? x - x ? + ? y - y ? 2 1 2 1 |AB|= . (2)点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C =0 的距离: |Ax0+By0+C| 2 2 A + B d=
难点正本 疑点清源
2.与直线 Ax+By+C = 0(A2+B2≠0)平行、垂 直的直线方程的设法: 一般地,平行的直线 方程设为 Ax + By+m =0;垂直的直线方程

.

设为 Bx-Ay+n=0.

(3)两平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2: Ax+By+C2=0 (C1≠C2)间的距离 |C2-C1| A2+B2 为 d= .
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基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
-4
1

解析

x+y+1=0 或 x+y-3=0
A
D

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题型一 两条直线的平行与垂直
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.

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题型分类·深度剖析
题型一 两条直线的平行与垂直
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.

运用两条直线平行或垂直的条 件求解,要注意斜率为 0 或斜 率不存在的情形.

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题型分类·深度剖析
题型一 两条直线的平行与垂直
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.



(1)方法一

当 a=1 时,

l1:x+2y+6=0,

l2:x=0,l1 不平行于 l2;

当 a=0 时,l1:y=-3,
l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2;

当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化 a 1 为 l1:y=- x-3,l2:y= x 2 1-a -(a+1),

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 两条直线的平行与垂直
思维启迪 解析 探究提高
2

【例 1】已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a -1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.

l1∥l2

1 ? a ?- = , 2 1 - a ? ? ? ?-3≠-?a+1?,

解得 a=-1,
综上可知,a=-1 时,l1∥l2, 否则 l1 与 l2 不平行.

方法二 由 A1B2-A2B1=0,得 a(a-1)-1×2=0 ,由 A1C2 - A2C1≠0 , 得 1×6≠0,
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a(a2 - 1) -

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题型一 两条直线的平行与垂直
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.

∴l1∥l2? ? ?a?a-1?-1×2=0, ? 2 ? ?a?a -1?-1×6≠0,
2 ? ?a -a-2=0, ?? 2 ? ?a?a -1?≠6,

?a=-1,

故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. (2)方法一 当 a=1 时,l1:x +2y+6=0,l2:x=0,
l1 与 l2 不垂直, 故 a=1 不成立;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 两条直线的平行与垂直
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.

当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x -y-1=0,l1 不垂直于 l2; 当 a≠1 且 a≠0 时,l1:y= a - x-3, 2 1 l2 : y = x - (a + 1) , 由 1-a ? a? 1 2 ?- ?· =- 1 ? a = . 2 3 1 - a ? ?
方法二 由 A1A2+B1B2=0 得 a 2 +2(a-1)=0?a= . 3

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题型分类·深度剖析
题型一 两条直线的平行与垂直
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.

(1)当直线的方程中存在字母参 数时, 不仅要考虑到斜率存在的 一般情况, 也要考虑到斜率不存 在的特殊情况. 同时还要注意 x、 y 的系数不能同时为零这一隐含 条件. (2)在判断两直线的平行、垂直 时, 也可直接利用直线方程的系 数间的关系得出结论.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
变式训练 1 已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0.试确定

m、n 的值,使:(1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1);(2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.

2 ? ?m -8+n=0 (1)由题意得? ? ?2m-m-1=0

,解得 m=1,n=7.

(2)当 m=0 时,显然 l1 不平行于 l2;
m 8 n 当 m≠0 时,由 = ≠ , 2 m -1
? m-8×2=0, ?m· ? 得 ? m≠0, ?8×?-1?-n· ? ?m=4, ∴? ? ?n≠-2, ? ?m=-4, 或? ? ?n≠2.

即 m=4,n≠-2 时或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2.
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基础知识

题型分类·深度剖析
变式训练 1 已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0.试确定

m、n 的值,使:(1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1);(2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.
(3)当且仅当 m· 2+8· m=0,即 m=0 时,l1⊥l2.
n 又-8=-1,∴n=8.

即 m=0,n=8 时,l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.

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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

两条直线的交点问题
求经过直线 l1:3x+2y-1
思维启迪 解析 探究提高

=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点, 且垂直于直线 l3 : 3x- 5y + 6 = 0 的直线 l 的方程.

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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

两条直线的交点问题
求经过直线 l1:3x+2y-1
思维启迪 解析 探究提高

=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点, 且垂直于直线 l3 : 3x- 5y + 6 = 0 的直线 l 的方程.

可先求出 l1 与 l2 的交点,再用点 斜式; 也可利用直线系方程求解.

基础知识

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思想方法

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题型二
【例 2】

两条直线的交点问题
求经过直线 l1:3x+2y-1
思维启迪 解析 探究提高

=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点, 且垂直于直线 l3 : 3x- 5y + 6 = 0 的直线 l 的方程.

解 方法一 先解方程组 ? ?3x+2y-1=0 ? , ? 5 x + 2 y + 1 = 0 ? 得 l1、l2 的交点坐标为(-1,2),

3 5 再由 l3 的斜率5求出 l 的斜率为-3,

于是由直线的点斜式方程求出 l: 5 y-2=-3(x+1), 即 5x+3y-1=0. 方法二 由于 l⊥l3, 故 l 是直线系 5x+3y+C=0 中的一条,而 l 过 l1、l2 的交点(-1,2),
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题型二
【例 2】

两条直线的交点问题
求经过直线 l1:3x+2y-1
思维启迪 解析 探究提高

=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点, 且垂直于直线 l3 : 3x- 5y + 6 = 0 的直线 l 的方程.

故 5×(-1)+3×2+C=0,由此 求出 C=-1, 故 l 的方程为 5x+3y-1=0. 方法三 由于 l 过 l1、l2 的交点,

故 l 是直线系 3x+2y-1+λ(5x+ 2y+1)=0 中的一条, 将其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y

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基础知识 题型分类

+(-1+λ)=0. 3+5λ 5 1 其斜率- =- ,解得 λ= , 3 5 2+2λ 代入直线系方程即得 l 的方程为 5x+3y-1=0.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

两条直线的交点问题
求经过直线 l1:3x+2y-1
思维启迪 解析 探究提高

=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点, 且垂直于直线 l3 : 3x- 5y + 6 = 0 的直线 l 的方程.

运用直线系方程,有时会给解题带 来方便,常见的直线系方程有: (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直 线系方程是 Ax+By+m=0 (m∈R 且 m≠C);

(2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直 线 系 方 程 是 Bx - Ay + m = 0 (m∈R); (3)过直线 l1: A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x + B2y+ C2 = 0 的交点的直线系 方程为 A1x+ B1y+ C1+ λ(A2x+ B2y +C2)=0 (λ∈R),但不包括 l2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 如图,设一直线过点(-1,1),它被两平

行直线 l1:x+2y-1=0,l2:x+2y-3=0 所截的 线段的中点在直线 l3:x-y-1=0 上,求其方程.
解 与 l1、l2 平行且距离相等的直线方程为 x+2y-2=0.

设所求直线方程为(x+2y-2)+λ(x-y-1)=0,

即(1+λ)x+(2-λ)y-2-λ=0.又直线过 A(-1,1),
∴(1+λ)(-1)+(2-λ)· 1-2-λ=0. 1 解得 λ=-3.∴所求直线方程为 2x+7y-5=0.

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题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 距离公式的应用
思维启迪 解析

【例 3】 已知三条直线:l1:2x-y +a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1 =0;l3:x+y-1=0.且 l1 与 l2 7 5 的距离是 . 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满 足下列三个条件: ①点 P 在第一象限;②点 P 到 l1 1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ; 2 ③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能, 求点 P 的坐标;若不能,说明理由.
基础知识 题型分类

探究提高

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 距离公式的应用
思维启迪 解析

【例 3】 已知三条直线:l1:2x-y +a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1 =0;l3:x+y-1=0.且 l1 与 l2 7 5 的距离是 . 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满 足下列三个条件: ①点 P 在第一象限;②点 P 到 l1 1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ; 2 ③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能, 求点 P 的坐标;若不能,说明理由.
基础知识 题型分类

探究提高

(1)由 l1 与 l2 的距离构建方程求 a; (2)假设存在点 P,并设出其坐标,根 据条件建立方程求解并作出判断.

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 距离公式的应用
思维启迪 解析

【例 3】 已知三条直线:l1:2x-y +a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1 =0;l3:x+y-1=0.且 l1 与 l2 7 5 的距离是 . 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满 足下列三个条件: ①点 P 在第一象限;②点 P 到 l1 1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ; 2 ③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能, 求点 P 的坐标;若不能,说明理由.
基础知识 题型分类

探究提高



(1)∵l1:4x-2y+2a=0 (a>0),

l2:4x-2y-1=0,

∴两条平行线 l1 与 l2 间的距离为 d |2a+1| = , 2 5 |2a+1| 7 5 由已知, 可得 = .又 a>0, 10 2 5
可解得 a=3.

(2)设点 P 的坐标为(x,y),由条件 ①,可知 x>0,y>0.

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 距离公式的应用
思维启迪 解析

【例 3】 已知三条直线:l1:2x-y +a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1 =0;l3:x+y-1=0.且 l1 与 l2 7 5 的距离是 . 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满 足下列三个条件: ①点 P 在第一象限;②点 P 到 l1 1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ; 2 ③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能, 求点 P 的坐标;若不能,说明理由.
基础知识 题型分类

探究提高

由条件②和③,可得

? ?|2x-y+3|=|4x-2y-1|, ? 5 4 5 ? |x+y-1| ? |2x-y+3| 5· = 2· , ? 5 2 ?
? ?4|2x-y+3|=|4x-2y-1|, 化简得? ? ?|2x-y+3|=|x+y-1|,

于是可得,4|x+y-1|=|4x-2y-1|, 也就是 4(x+y-1)=4x-2y-1,

或 4(x+y-1)=-4x+2y+1, 1 解得 y=2,或 8x+2y-5=0.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 距离公式的应用
思维启迪 解析

【例 3】 已知三条直线:l1:2x-y +a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1 =0;l3:x+y-1=0.且 l1 与 l2 7 5 的距离是 . 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满 足下列三个条件: ①点 P 在第一象限;②点 P 到 l1 1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ; 2 ③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能, 求点 P 的坐标;若不能,说明理由.
基础知识 题型分类

探究提高

1 当 y= 时,代入方程|2x-y+3|= 2 |x+y-1|, 2 解得 x=-3<0 或 x=- <0, 均舍去. 3 ? ?8x+2y-5=0 由? , ? ?|2x-y+3|=|x+y-1|
化 简 得
? ?8x+2y-5=0 ? ? ?x-2y+4=0

, 或

? ?8x+2y-5=0 ? ? ?3x=-2



思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 距离公式的应用
思维启迪 解析

【例 3】 已知三条直线:l1:2x-y +a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1 =0;l3:x+y-1=0.且 l1 与 l2 7 5 的距离是 . 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满 足下列三个条件: ①点 P 在第一象限;②点 P 到 l1 1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ; 2 ③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能, 求点 P 的坐标;若不能,说明理由.
基础知识 题型分类

探究提高

? 1 ?x=9 解得? ?y=37 ? 18 去).

2 ? ?x=-3<0 或? ?y=31 6 ?

(舍

即存在满足题设条件的点 P,其坐 ?1 37? 标为?9,18?. ? ?

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思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 距离公式的应用
思维启迪 解析

【例 3】 已知三条直线:l1:2x-y +a=0 (a>0);l2:-4x+2y+1 =0;l3:x+y-1=0.且 l1 与 l2 7 5 的距离是 . 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满 足下列三个条件: ①点 P 在第一象限;②点 P 到 l1 1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ; 2 ③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能, 求点 P 的坐标;若不能,说明理由.
基础知识 题型分类

探究提高

(1) 在应用两条直线间的距离公式 时.要注意两直线方程中 x、y 的系 数必须相同.(2)第(2)问是开放探 索性问题,要注意解决此类问题的 一般策略.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知 A(4,-3),B(2,-1)和直线 l:4x+3y-2=0,在 坐标平面内求一点 P,使|PA|=|PB|,且点 P 到直线 l 的距离为 2.

解 设点 P 的坐标为(a,b),∵A(4,-3),B(2,-1), ∴线段 AB 的中点 M 的坐标为(3,-2), ∴线段 AB 的垂直平分线方程为 y+2=x-3, 即 x-y-5=0. ∵点 P(a,b)在上述直线上,∴a-b-5=0.
|4a+3b-2| ∴ =2,即 4a+3b-2=± 10, 5 ? 27 ? ?a= 7 ?a=1 联立①②可得? 或? . 8 ? b =- 4 ? ?b=- 7 ? ?27 8? ∴所求点 P 的坐标为(1,-4)或? 7 ,-7?. ? ?
基础知识 题型分类



又点 P(a,b)到直线 l:4x+3y-2=0 的距离为 2,



思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 18.对称变换思想的应用

典例:(12 分)光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y +7=0 后反射,求反射光线所在的直线方程.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 18.对称变换思想的应用

典例:(12 分)光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y +7=0 后反射,求反射光线所在的直线方程.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)入射光线所在直线与反射光线所在直线关于 l 对称.(2)对称点的连线被 对称轴垂直平分.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 18.对称变换思想的应用

典例:(12 分)光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y +7=0 后反射,求反射光线所在的直线方程.

审 题 视 角
解 方法一

规 范 解 答
? ?x=-1, 得? ? ?y=2.

温 馨 提 醒

? ?x-2y+5=0, 由? ? ?3x-2y+7=0,

∴反射点 M 的坐标为(-1,2).

2分

又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5,0),设 P 关于直线 l 2 y0 的对称点 P′(x0,y0),由 PP′⊥l 可知,kPP′=-3= . x0+5
基础知识 题型分类 思想方法

4分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 18.对称变换思想的应用

典例:(12 分)光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y +7=0 后反射,求反射光线所在的直线方程.

审 题 视 角
而 PP′的中点 Q

规 范 解 答

温 馨 提 醒

x0-5 y0 Q 点在 l 上,∴3· 2 -2· 2 +7=0.

?x0-5 y ? ? 0? 的坐标为? , ?, 2? ? 2

6分

2 ? y0 ?x0+5=-3, 由? ?3?x0-5?-y0+7=0. ?2
基础知识

17 ? x =- ? 0 13, 得? ?y0=-32. 13 ?
题型分类 思想方法

8分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 18.对称变换思想的应用

典例:(12 分)光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y +7=0 后反射,求反射光线所在的直线方程.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29x-2y+33 =0. 方法二
12分

设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直线 l 的对称
4分

y0-y 2 点为 P′(x,y),则 =-3, x0-x ?x+x0 y+y0? ? 又 PP′的中点 Q? ? 2 , 2 ?在 l 上, ? ?
基础知识 题型分类 思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 18.对称变换思想的应用

典例:(12 分)光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y +7=0 后反射,求反射光线所在的直线方程.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒
6分

x+x0 y+y0 ∴ 3× -2× +7=0, 2 2 ? ?y0-y=-2, 3 ?x0-x 由? x+x0 ? 3× 2 -?y+y0?+7=0. ? ? -5x+12y-42 12x+5y+28 可得 P 点的坐标为 x0= , y = , 0 13 13
基础知识 题型分类 思想方法

10分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 18.对称变换思想的应用

典例:(12 分)光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y +7=0 后反射,求反射光线所在的直线方程.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

代入方程 x-2y+5=0 中,化简得 29x-2y+33=0,
∴所求反射光线所在的直线方程为 29x-2y+33=0.
12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 18.对称变换思想的应用

典例:(12 分)光线沿直线 l1:x-2y+5=0 射入,遇直线 l:3x-2y +7=0 后反射,求反射光线所在的直线方程.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)综合利用物理学知识, 利用对称变换的思想方法求解是本题的关键. (2) 构建方程解方程组是本题的又一重要方法. (3)坐标转移法是对称变换中常 用的方法之一.(4)本题的易错点,一是计算错误,二是不能用对称的思想 求解,亦即找不到解决问题的突破口.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都 存在且不重合的两条直线 l1、 l2, l1∥l2?k1=k2; l1⊥l2?k1· k2 =-1.若有一条直线的斜率不存在, 那么另一条直线的斜率 一定要特别注意.

2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对 称.利用坐标转移法.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的

失 误 与 防 范

斜率是否存在.两条直线都有斜率,可根据判定定 理判断,若直线无斜率时,要单独考虑.
|C1-C2| 2.在运用两平行直线间的距离公式 d= 2 时, A +B2 一定要注意将两方程中的 x,y 系数化为分别相等.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是 ( A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是 ( A ) A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0

解 析
3 由题意知,直线 l 的斜率为- ,因此直线 l 的方程为 y-2= 2 3 - (x+1),即 3x+2y-1=0. 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2012· 浙江)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与 直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.(2012· 浙江)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与 直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( A )

解 析
若直线 l1 与 l2 平行,则 a(a+1)-2×1=0, 即 a=-2 或 a=1,
所以“a=1”是“直线 l1 与直线 l2 平行”的充分不必要 条件.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.从点(2,3)射出的光线沿与向量 a=(8,4)平行的直线射到 y 轴上, 则反射光线所在的直线方程为 A.x+2y-4=0 C.x+6y-16=0 B.2x+y-1=0 D.6x+y-8=0 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.从点(2,3)射出的光线沿与向量 a=(8,4)平行的直线射到 y 轴上, 则反射光线所在的直线方程为 A.x+2y-4=0 C.x+6y-16=0 B.2x+y-1=0 D.6x+y-8=0 ( A )

解 析

1 由直线与向量 a=(8,4)平行知: 过点(2,3)的直线的斜率 k= , 所 2 1 以直线的方程为 y-3= (x-2),其与 y 轴的交点坐标为(0,2), 2 又点(2,3)关于 y 轴的对称点为(-2,3), 所以反射光线过点(-2,3) 与(0,2),由两点式知 A 正确.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 4.已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离, 则直线 l 的方程为 ( ) A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0 D.2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 4.已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离, 则直线 l 的方程为 ( D ) A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0 D.2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0

解 析

由题意设所求直线方程为 y-4=k(x-3),

即 kx-y+4-3k=0, |-2k-2+4-3k| |4k+2+4-3k| 由已知,得 = , 1+k2 1+k2 2 ∴k=2 或 k=-3. ∴所求直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.若不同两点 P, Q 的坐标分别为 (a, b), (3- b,3- a),则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.若不同两点 P, Q 的坐标分别为 (a, b), (3- b,3- a),则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为________ -1 .

解 析
3-a-b 由题可知 kPQ= =1,又 klkPQ=-1?kl=-1. 3-b-a

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.若直线 ax-2y+2=0 与直线 x+(a-3)y+1=0 平行,则实数 a 的值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.若直线 ax-2y+2=0 与直线 x+(a-3)y+1=0 平行,则实数 a

1 的值为________ .
解 析
由两直线平行的条件得 a(a-3)=-2,解得 a=1 或 2,经 检验,a=2 时两直线重合,所以两直线平行时,实数 a 的值为 1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 9 2 3 4 6 7 8 5 7.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得
的线段的长为 2 2,则 m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练

1 9 2 3 4 6 7 8 5 7.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得
的线段的长为 2 2,则 m 的倾斜角可以是 ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°

①⑤ . 其中正确答案的序号是________
解 析
|3-1| 两直线 x-y+1=0 与 x-y+3=0 之间的距离为 = 2,又 2 动直线 l1 与 l2 所截得的线段长为 2 2, 故动直线与两直线的夹角 应为 30° ,因此只有①⑤适合.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)求过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交 点,且到点 P(0,4)的距离为 2 的直线方程.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)求过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交 点,且到点 P(0,4)的距离为 2 的直线方程.
? ?x-2y+3=0, 由? ? ?2x+3y-8=0, ? ?x=1, 解得? ? ?y=2,

解 析



∴l1,l2 的交点为(1,2). 设所求直线方程为 y-2=k(x-1). 即 kx-y+2-k=0, ∵P(0,4)到直线的距离为 2, |-2-k| 4 ∴2= 2 ,解得:k=0 或 k=3. 1+k

∴直线方程为 y=2 或 4x-3y+2=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 9.(12 分)已知两直线 l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求

分别满足下列条件的 a,b 的值. (1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1,l2 的距离相等.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 9.(12 分)已知两直线 l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求

分别满足下列条件的 a,b 的值. (1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1,l2 的距离相等.

解 析



(1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)· 1=0,

即 a2-a-b=0. ① 又点(-3,-1)在 l1 上,∴-3a+b+4=0. ② 由①②得 a=2,b=2. a (2)∵l1∥l2,∴a+b(a-1)=0,∴b= , 1-a 故 l1 和 l2 的方程可分别表示为: 4?a-1? a (a-1)x+y+ a =0,(a-1)x+y+ =0, 1-a
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练

7 9 3 4 6 8 5 9.(12 分)已知两直线 l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求

分别满足下列条件的 a,b 的值. (1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1,l2 的距离相等.

解 析

又原点到 l1 与 l2 的距离相等.

?a-1? ? a ? ? ? ? ? ∴4? = ? ?1-a?,∴a=2 ? a ? ? ?

2 或 a=3,

2 ∴a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则 直线 xsin A+ay+c=0 与直线 bx-ysin B+sin C=0 的位置关 系是 A.平行 B.重合 C.垂直 ( D.相交但不垂直 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则 直线 xsin A+ay+c=0 与直线 bx-ysin B+sin C=0 的位置关 系是 A.平行 B.重合 C.垂直 ( C ) D.相交但不垂直

解 析
a b 由 = ,得 bsin A-asin B=0. sin A sin B ∴两直线垂直.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2. 如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线 经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是 A.2 10 B. 6 C.3 3 ( ) D.2 5

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2. 如图,已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线 经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是 A.2 10 B. 6 C.3 3 ( A ) D.2 5

解 析
由题意知点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4,2), 关于 y 轴的对称点为 C(-2,0),则光线所经过的路程 PMN 的长为|CD|=2 10.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为 A.x+2y-5=0 C.x+3y-7=0 B.2x+y-4=0 D.3x+y-5=0

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为 A.x+2y-5=0 C.x+3y-7=0 B.2x+y-4=0 D.3x+y-5=0

( A )

解 析
所求直线与直线 OA 垂直,∵kOA=2, 1 ∴所求直线方程为 y-2=-2(x-1),
即 x+2y-5=0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k2y -4k2-4=0 与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形 面积最小的 k 值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k2y -4k2-4=0 与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形 1 面积最小的 k 值为________ 8 .

解 析
由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,4),直线 l1 的纵截距为 4-k, 1 直线 l2 的横截距为 2k2+2,所以四边形的面积 S= ×2×(4- 2 1 1 2 2 k)+ ×4×(2k +2)=4k -k+8,故面积最小时,k= . 2 8

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.一条光线沿直线 2x-y+2=0 入射到直线 x+y-5=0 后反射, 则反射光线所在的直线方程为______________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.一条光线沿直线 2x-y+2=0 入射到直线 x+y-5=0 后反射, 则反射光线所在的直线方程为______________.

解 析
取直线 2x-y+2=0 上一点 A(0,2),设点 A(0,2)关于直线 x+y -5=0 对称的点为 B(a,b),
? ?a+b+2-5=0 2 ?2 则? ?b-2 =1 ? ? a
? ?a=3 ,解得? ? ?b=5


? ?x=1 ,解得? ? ?y=4

? ?2x-y+2=0 ∴B(3,5),联立方程,得? ? ?x+y-5=0



基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.一条光线沿直线 2x-y+2=0 入射到直线 x+y-5=0 后反射, x-2y+7=0 . 则反射光线所在的直线方程为______________

解 析
∴直线 2x-y+2=0 与直线 x+y-5=0 的交点为 P(1,4),
∴反射光线在经过点 B(3,5)和点 P(1,4)的直线上,
4-5 其直线方程为 y-4= (x-1),整理得 x-2y+7=0. 1-3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.已知直线 x+2y=2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,若动 点 P(a,b)在线段 AB 上,则 ab 的最大值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.已知直线 x+2y=2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,若动 1 点 P(a,b)在线段 AB 上,则 ab 的最大值为________ . 2

解 析
由题意知 A(2,0),B(0,1), 所以线段 AB 的方程用截距式表示为 x a +y=1,x∈[0,2],又动点 P(a,b)在线段 AB 上,所以 +b 2 2 a ab =1,a∈[0,2],又 +b≥2 , 2 2 ab 1 a 1 所以 1≥2 2 ,解得 0≤ab≤2,当且仅当2=b=2, ? 1? 1 ? ? 即 P 1,2 时,ab 取得最大值2. ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7.(13 分)如图,函数 f(x)=x+

2 的定义域为(0, x +∞).设点 P 是函数图像上任一点,过点 P 分别 作直线 y=x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M,N.

(1)证明:|PM|· |PN|为定值; (2)O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)如图,函数 f(x)=x+

2 的定义域为(0, x +∞).设点 P 是函数图像上任一点,过点 P 分别 作直线 y=x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M,N.

(1)证明:|PM|· |PN|为定值; (2)O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.
? 2? ? P?x0,x0+ ? x0 ? ? ?

解 析

(1)证明
? 2? ? ? ?x ? ? 0?



(x0>0).

则|PN|=x0,|PM|=

1 = , x0 2

因此|PM|· |PN|=1.
(2)解 2 直线 PM 的方程为 y-x0- x =-(x-x0),
0

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)如图,函数 f(x)=x+

2 的定义域为(0, x +∞).设点 P 是函数图像上任一点,过点 P 分别 作直线 y=x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M,N.

(1)证明:|PM|· |PN|为定值; (2)O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.

2 即 y=-x+2x0+ . x0 ?y=x, ? 2 ? 解方程组得 x=y=x0+2x , 2 0 y=-x+2x0+ x , ? ? 0 1 1 S 四边形 OMPN=S△NPO+S△OPM= |PN||ON|+ |PM||OM| 2 2 1 ? 1 ? 2? 1? 2 1 ? 2? ? ? ? ? =2x0?x0+ ?+2x ?x0+ = 2+2?x0+x2?≥1+ 2, ? x0 ? 2x0? ? 0? 0? ?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)如图,函数 f(x)=x+

2 的定义域为(0, x +∞).设点 P 是函数图像上任一点,过点 P 分别 作直线 y=x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M,N.

(1)证明:|PM|· |PN|为定值; (2)O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值.

解 析
1 当且仅当 x0= , 即 x0=1 时等号成立, x0
因此四边形 OMPN 的最小值为 1+ 2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分



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