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二项式定理单元训练试题



二项式定理单元训练试题
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
1. ( x ?

2 x

) 6 展开式中常数项是(
4 B. 2 4 C 6 4 C. C 6



A.第 4 项
11

D.2 )

2.(x-1) 展开式中 x 的偶次项系数之和是( A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.1024 3. (1 ? 2 ) 7 展开式中有理项的项数是( A.4 B.5
m



C.6

D.7 )

n 4.若 C17 与 C n 同时有最大值,则 m 等于(

A.4 或 5
4

B.5 或 6

C.3 或 4

D.5 )

5.设(2x-3) = a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? a 3 x 3 ? a 4 x 4 ,则 a0+a1+a2+a3 的值为( A.1 B.16 C.-15 D.15 )

1 11 3 6. ( x ? ) 展开式中的中间两项为( x
5 12 5 12 A. ?C11 x , C11 x
5 13 5 9 C. ?C11 x , C11 x

6 9 5 10 B. C11 x , ?C11 x
5 17 5 13 D. C11 x , ?C11 x

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1 7 5 2 7.在 (2 x ? y) 展开式中,x y 的系数是 3
8. Cn ? 3Cn ? 3 Cn ? ?? 3 Cn ?
0 1 2 2 n n

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9. ( 3 5 ?

1 20 ) 的展开式中的有理项是展开式的第 5
5
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10.(2x-1) 展开式中各项系数绝对值之和是 11. (1 ? 3x ? 3x ? x ) 展开式中系数最大的项是
2 3 10

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12.0.991 精确到 0.01 的近似值是

5

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三、解答题(本大题共 9 小题,共 90 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 2 10 4 13.求(1+x+x )(1-x) 展开式中 x 的系数
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14.求(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 展开式中 x 的系数

2

10

3

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15.已知(1-2x) 展开式中第 2 项大于第 1 项而不小于第 3,求 x 的取值范围

5

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16.若 f (x) ? (1 ? x) m ? (1 ? x) n (m ? n ? N) 展开式中,x 的系数为 21,问 m、n 为何值时, x 的系数最小?
2

17.自然数 n 为偶数时,求证:
2 3 4 n ?1 n ?1 1 ? 2C1 ? Cn n ? Cn ? 2Cn ? Cn ? ? ? 2Cn n ? 3? 2

18.求 80 被 9 除的余数

11

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19.已知 ( x ? 常数项
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2 n ) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14;3,求展开式的 x2

20.在(x +3x+2) 的展开式中,求 x 的系数

2

5

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21.求(2x+1) 展开式中系数最大的项

12

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二项式定理单元训练试题
参考解答:
r 6? r 1.通项 Tr ?1 ? C 6 x (

2 x

r ) r ? C6 x

3 6? r 2

3 4 4 2 , 2 r ,由 6 ? r ? 0 ? r ? 4 ,常数项是 T5 ? C6 2

选(B) 2.设 f(x)=(x-1) , 偶次项系数之和是
r r r 2 3.通项 Tr ?1 ? C7 ( 2 ) r ? C7 2 ,当 r=0,2,4,6 时,均为有理项,故有理项的项数为 4
11

f (1) ? f (?1) ? (?2)11 / 2 ? ?1024 ,选(C) 2

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个,选(A)

17 ? 1 17 ? 1 ? n ? 8 或 n=9,若 n=8,要 或n ? 2 2 8 9 ?1 9 ?1 m m ? m ? 4 或 m=5, 使 C8 最大,则 m= =4,若 n=9,要使 C 9 最大,则 m ? 或m ? 2 2 2
n 4.要使 C17 最大,因为 17 为奇数,则 n ?

综上知,m=4 或 m=5,故选(A) 5.C 6.C
5

7.

224 ; 3

8.4 ;

n

9.3,9,15,21
5

10.(2x-1) 展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 展开式系数之和,故令 x=1,则所 5 求和为 3
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15 11.(1+3x+3x +x ) =(1+x) ,此题中的系数就是二项式系数,系数最大的项是 T16= C15 30 x .
2 3 10 30

0 12.0.991 =(1-0.009) = C5 ? C1 5 0.009? ? ? 0.96
5 5

13. (1 ? x ? x )(1 ? x)
2

10

9 必须第一个因式中的 1 与(1-x) ? (1 ? x3 )(1 ? x)9 ,要得到含 x4 的项,

展开式中的项 C9 (?x) 作积,第一个因式中的-x 与(1-x) 展开式中的项 C9 (?x) 作积,故 x
4 4
3 9

1

4

的系数是 C9 ? C9 ? 135
1 4
2

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14 . (1 ? x ) ? (1 ? x) ? ? ( 1 ? x) ?
10

(1 ? x)[1 ? (1 ? x)10 ] ( x ? 1)11 ? ( x ? 1) 3 = ,原式中 x x 1 ? (1 ? x)
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实为这分子中的 x ,则所求系数为 C11
4

7

1 ? x ? ? ? ? 1 1 ?C ( ?2 x ) ? C ? 10 ?? ?? ?x?? 15.由 ? 1 2 2 4 10 ? ?C5 ( ?2 x ) ? C5 ( ?2 x ) ?? 1 ? x ? 0 ? 4 ?
1 5 0 5

2 2 2 16.由条件得 m+n=21,x 的项为 C 2 m x ? C n x ,则 C m ? C n ? ( n ?
2

2

2

21 2 399 ) ? . 因 n∈N, 2 4
2
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故当 n=10 或 11 时上式有最小值,也就是 m=11 和 n=10,或 m=10 和 n=11 时,x 的系数最小
1 2 n ?1 n 1 3 5 n ?1 n n ?1 17.原式= (C0 ? 3.2 n ?1 n ? C n ? C n ? ? ? C n ? C n ) ? (C n ? C n ? C n ? ? ? C n ) ? 2 ? 2 0 1 10 18. 8011 ? (81 ? 1)11 ? C11 8111 ? C11 8110 ? ? ? C11 81? 1 ? 81k ? 1(k ? Z ) ,

∵k∈Z,∴9k-1∈Z,∴ 81 被 9 除余 8

11

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2 4 2 19.依题意 C4 n : C n ? 14 : 3 ? 3C n ? 14C n

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! ? n=10 设第 r+1 项为常数项,又 Tr ?1 ? C ( x )
r 10 10 ? r

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2 r (? 2 ) r ? (?2) r C10 x x

10 ?5 r 2



10 ? 5r 2 ? 0 ? r ? 2 ,? T2?1 ? C10 (?2) 2 ? 180. 此所求常数项为 180 2
2 5 5 5

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20. (x ? 3x ? 2) ? (x ? 1) (x ? 2)
5

在(x+1) 展开式中,常数项为 1,含 x 的项为 C1 5 ? 5x ,在(2+x) 展开式中,常数项为 2 =32,
5 5

4 含 x 的项为 C1 5 2 x ? 80x

∴展开式中含 x 的项为 1 ? (80x ) ? 5x (32) ? 240x ,此展开式中 x 的系数为 240 21.设 Tr+1 的系数最大,则 Tr+1 的系数不小于 Tr 与 Tr+2 的系数,即有
r r ?1 r r ?1 13? r ?C12 ? 2C12 ? C12 212?r ? C12 2 ? ? r 12?r ? r r ?1 r ?1 ? C12 1211?r ? C12 2 ?2C12 ? C12

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1 1 ? 3 ? r ? 4 ,? r ? 4 3 3
∴展开式中系数最大项为第 5 项,T5= 16C12 x ? 7920 x
4 4 4



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