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1.2.1 第一课时 三角函数的定义



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1.2.1
第一课时

任意角的三角函数
三角函数的定义

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[提出问题] 使锐角 α 的顶点与原点 O 重合, 始 边与 x 轴的非负半轴重合,在终边上任 取一点 P,PM⊥x 轴于 M,设 P(x,y), |OP|=r. 问题 1

:角 α 的正弦、余弦、正切分别等于什么? y x y 提示:sin α=r,cos α= r ,tan α=x.
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问题 2:对于确定的角 α,sin α,cos α,tan α 是否随 P 点在终边上的位置的改变而改变?

提示:不会.
问题 3:若|OP|=1,则 P 点的轨迹是什么?这样表示 sin α,cos α,tan α 有何优点?

提示:P 点的轨迹是以原点 O 为圆心,以 1 为半径的单 位圆, 即 P 点是单位圆与角 α 终边的交点, 在单位圆中定义 sin α,cos α,tan α 更简便.

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[导入新知] 1.任意角三角函数的定义 (1)单位圆:在直角坐标系中,以原点 O 为圆心,以单位

长度 为半径的圆称为单位圆.
(2)单位圆中任意角的三角函数的定义: 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点 P(x, y), 那么 y 叫做 α 的正弦, 记作 sin α, 即 sin α= y ; x 叫做 α 的余弦,记作 cos α,

y y 即 cos α= x ; 记作 tan α, 即 tan α= x (x≠0). x叫做 α 的正切,

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2.三角函数 正弦、余弦、正切都是以 角 为自变量,以单位圆 上点的坐标或坐标的比值 为三角函数. 为函数值的函数,它们统称

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[化解疑难 ] 对三角函数定义的理解 (1)三角函数是一种函数,它满足函数的定义,可以看成 是从角的集合 (弧度制 )到一个比值的集合的对应. (2)三角函数是用比值来定义的, 所以三角函数的定义域 是使比值有意义的角的范围. 易错 (3)三角函数是比值,是一个实数,这个实数的大小 与点 P(x, y)在终边上的位置无关,只由角 α 的终边位置决 定,即三角函数值的大小只与角有关 .
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[提出问题] 问题 1:若角 α 是第二象限角,则它的正弦、余弦和正 切值的符号分别怎样?

提示:若角 α 为第二象限角,则 x<0,y>0, sin α>0, cos α<0,tan α<0.

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问题 2:当角 α 是第四象限角时,它的正弦、余弦和正 切值的符号分别怎样?
提示:sin α<0,cos α>0,tan α<0.

问题 3:取角 α 分别为 30° ,390° ,-330° ,它们的三角 函数值是什么关系?为什么?
提示:相等,因为它们的终边重合.

问题 4:取 α=90° ,-90° 时,它们的正切值存在吗?
提示:不存在.

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[导入新知] 1.三角函数的定义域
三角函数 sin α cos α tan α 定义域

R R
? ? ? π ?α?α≠ +kπ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

2.三角函数值的符号

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[化解疑难] 巧记三角函数值的符号 三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正二正弦、 三正切四余弦”. 即第一象限各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值 为正,第三象限只有正切值为正,第四象限只有余弦值为正 .

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[提出问题] 问题:若角 α 与 β 的终边相同,根据三角函数的定义, 你认为 sin α 与 sin β,cos α 与 cos β,tan α 与 tan β 之间有什 么关系?

提示:sin α=sin β,cos α=cos β,tan α=tan β.

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[导入新知] 终边相同的角的同一三角函数的值 (1)终边相同的角的同一三角函数的值 相等. (2)公式:sin(α+k·2π)= sin α , cos(α+k·2π)= cos α , tan(α+k·2π)= tan α ,其中 k∈Z.

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[化解疑难] 诱导公式一的结构特点 (1)其结构特点是函数名相同,左边角为 α+2kπ,右边 角为 α. (2)由公式一可知,三角函数值有 “周而复始”的变化规 律,即角的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现. (3)此公式也可以记为:sin(α+k· 360° )=sin α,cos(α+ k· 360° )=cos α,tan(α+k· 360° )=tan α.其中 k∈Z.

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[例 1]

(1)若角 α 的终边经过点 P(5,-12),则 sin α

=________,cos α=________,tan α=________. (2)已知角 α 的终边落在直线 3x+y=0 上,求 sin α, cos α,tan α 的值. (1)[解析] ∵x=5,y=-12,∴r= 52+?-12?2=13,

y 12 x 5 y 12 则 sin α= r=- ,cos α= r = ,tan α=x=- . 13 13 5

[答案]

12 - 13

5 12 - 13 5
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(2)[解]

直线 3x+y=0,即 y=- 3x,经过第二、四

象限,在第二象限取直线上的点(-1, 3),则 r= 3 1 ?-1? +? 3? =2,所以 sin α= ,cos α=- ,tan α=- 2 2
2 2

3; 在第四象限取直线上的点 (1, - 3), 则 r= 12+?- 3?2=2, 3 1 所以 sin α=- ,cos α= ,tan α=- 3. 2 2

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[类题通法] 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角 α 的终边在直线上求 α 的三角函数值时,常用 的解题方法有以下两种: 法一:先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利 用三角函数的定义求出相应的三角函数值. 法二: 注意到角的终边为射线, 所以应分两种情况来处理, 取 射 线 上任 一 点 坐标 (a , b) , 则 对 应 角 的正 弦值 sin α = b a b ,余弦值 cos α= 2 ,正切值 tan α=a. a2+b2 a +b2 (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根 据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
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[活学活用] 5 已知角 α 的终边过点 P(12,a),且 tan α= ,求 sin α+cos 12 α 的值.

a 5 解:根据三角函数的定义,tan α= = , 12 12 ∴a=5,∴P(12,5).这时 r=13, 5 12 17 ∴sin α= ,cos α= ,从而 sin α+cos α= . 13 13 13

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[例 2]

cos α (1)若 sin αtan α<0, 且 <0, 则角 α 是( tan α B.第二象限角 D.第四象限角

)

A.第一象限角 C.第三象限角 (2)判断下列各式的符号: ①sin 105° · cos 230° ; ②cos
? 2π? 3· tan?- 3 ?. ? ?

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(1)[解析]

由 sin αtan α<0 可知 sin

α,tan α 异号,

从而 α 为第二、三限角. cos α 由 <0 可知 cos α,tan α 异号,从而 α 为第三、 tan α 四象限角. 综上可知,α 为第三象限角.
[答案] C

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(2)[解] ①∵105° ,230° 分别为第二,第三象限角, ∴sin 105° >0,cos 230° <0. 于是 sin 105° · cos 230° <0. π ②∵ <3<π, 2 ∴3 是第二象限角, ∴cos 3<0, 2π 又- 是第三象限角, 3 所以
? 2π? tan?- 3 ?>0,∴cos ? ? ? 2π? 3· tan?- 3 ?<0. ? ?

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[类题通法 ] 三角函数值的符号规律 (1)当角 θ 为第一象限角时,sin θ>0,cos θ>0 或 sin θ>0, tan θ>0 或 cos θ>0, tan θ>0,反之也成立; (2)当角 θ 为第二象限角时,sin θ>0,cos θ<0 或 sin θ>0, tan θ<0 或 cos θ<0, tan θ<0,反之也成立; (3)当角 θ 为第三象限角时,sin θ<0,cos θ<0 或 sin θ<0, tan θ>0 或 cos θ<0, tan θ>0,反之也成立; (4)当角 θ 为第四象限角时,sin θ<0,cos θ>0 或 sin θ<0, tan θ<0 或 cos θ>0, tan θ<0,反之也成立.
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[活学活用] 若 sin 2α>0,且 cos α<0,试确定 α 终边所在的象限.

解:因为 sin 2α>0,所以 2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z), π 所以 kπ<α<kπ+ (k∈Z). 2 当 k 为偶数时,α 是第一象限角;当 k 为奇数时,α 为 第三象限角.所以 α 为第一或第三象限角. 又因为 cos α<0,所以 α 为第三象限角.

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[例 3]

计算下列各式的值:

(1)sin(-1 395° )cos 1 110° +cos(-1 020° )sin 750° ;
? 11π? 12π ? ? (2)sin - 6 +cos · tan 5 ? ?

4π.

[解]

(1)原式= sin(- 4×360° + 45° )cos(3×360° +30° )

+cos(-3×360° +60° )sin(2×360° +30° )

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=sin 45° cos 30° +cos 60° sin 30° 2 3 1 1 = × + × 2 2 2 2 6 1 = + 4 4 1+ 6 = . 4
? ? π? 2π ? π ? ? ? ? (2) 原式= sin -2π+6 + cos 2π+ 5 · tan(4π + 0)= sin 6 ? ? ? ?

2π 1 +cos ×0= . 5 2
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[类题通法] 诱导公式一的应用策略 应用诱导公式一时,先将角转化到 0~2π 范围内的角, 再求值.对于特殊角的三角函数值一定要熟记.

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[活学活用] 求下列各式的值:
? 15π? 25π (1)sin +tan?- 4 ?; 3 ? ?

(2)sin 810° +cos 360° -tan 1 125° .
? 15π? 25π 解:(1)sin +tan?- 4 ? 3 ? ? ? ? π? π? =sin?8π+3?+tan?-4π+4 ? ? ? ? ?

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π π =sin +tan 3 4 3 = +1. 2 (2)sin 810° +cos 360° -tan 1 125° =sin(2×360° +90° )+cos(360° +0° )-tan(3×360° +45° ) =sin 90° +cos 0° -tan 45° =1+1-1 =1.

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1.应用三角函数定义求值

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[典例]

(12 分)已知角 α 的终边过点 P(-3m, m)(m≠0),

求 α 的正弦、余弦、正切值. [解题流程]

求sin α,cos α,tan α的值

(1)已知α终边上一点P(-3m,m);

(2)可先求出r=|OP|,然后利用三角函
数 的定义求解
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计算|OP|= 10|m|→讨论m>0,m<0→利用三角函数定义求值

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[活学活用] 2 已知角 α 的终边上一点 P(- 3,y)(y≠0),且 sin α= y, 4 求 cos α,tan α 的值.
解:由题意,得 r= 3+y2. 由三角函数定义, y y 2 得 sin α=r= = y. 3+y2 4 ∵y≠0,∴y= 5或 y=- 5.

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- 3 6 ∴当 y= 5时,cos α= =- , 4 3+5 5 15 tan α= =- ; 3 - 3 6 当 y=- 5时,cos α=- , 4 - 5 15 tan α= = . 3 - 3

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[随堂即时演练]
1.若三角形的两内角 α,β 满足 sin αcos β<0,则此三角形必 为( ) B.钝角三角形 D.以上三种情况都可能

A.锐角三角形 C.直角三角形

解析:选 B ∵sin αcos β<0,α,β∈(0,π), ∴sin α>0,cos β<0,∴β 为钝角.

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2.若角 α 的终边过点(2sin 30° ,-2cos 30° ),则 sin α 的值 等于( 1 A. 2 ) 1 B.- 2 3 C.- 2 3 D.- 3

解析: 选 C ∵角 α 的终边过点(2sin 30° , -2cos 30° ), ∴角 α 终边上一点的坐标为 (1,- 3),故 sin α= - 3 3 2 2=- 2 . 1 +?- 3?

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? 19 ? 3.sin?- 6 π?=________. ? ?
? 24π-5π? ? 19π? ? 解析:sin?- 6 ?=sin? - ? ?= 6 ? ? ? ? ? 5π? 5π 1 ? ? sin -4π+ 6 =sin = . 6 2 ? ?

1 答案: 2

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4.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴, 2 5 若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ=- ,则 y= 5 ________.

解析: |OP|= 42+y2, 根据任意角三角函数的定义得, y 2 5 ,解得 y=-8. 2 2=- 5 4 +y
答案:-8

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5.化简下列各式: (1)acos 180° +bsin 90° +ctan 0° ; (2)p2cos 360° +q2sin 450° -2pqcos 0° ; π 3π 2 (3)a sin -b cos π+absin 2π-abcos . 2 2
2

解:(1)因为 cos 180° =-1,sin 90° =1,tan 0° =0, 所以原式=-a+b;

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(2)因为 cos 360° =cos 0° =1,sin 450° =sin(360° +90° )=sin 90° =1,cos 0° =1, 所以原式=p2+q2-2pq=(p-q)2; π (3)因为 sin =1,cos π=-1,sin 2π=sin 0=0, 2 3π cos =0,所以原式=a2+b2. 2

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