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椭圆及其标准方程优质课件



椭圆及其标准方程
第一讲

生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些 椭圆形的物件呢?

星系中的椭圆——行星的轨道

——仙女座星系

什么样的图形是椭圆?

一、合作探究,形成概念: 1.取一条定长的细绳,把它的两端都固定在 图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动 笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个什 么图形?笔尖(动点)满足什么几何条件?

数学实验
? (1)取一条细绳, ? (2)把它的两端固定在板上 的两个定点F1、F2 ? (3)用铅笔尖(M)把细绳 拉紧,在板上慢慢移动看 看画出的 图形 思考
1.在椭圆形成的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动的?
2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? 3.在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系?

椭圆的定义:
平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做 椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距。 思考:当点M到F1、F2的距离之和不大于|F1F2|时, 点M的轨迹是什么?

结论:

若常数大于|F1F2|, 则点M的轨迹是( 椭圆 ) 若常数等于|F1F2|,则点M的轨迹是( 线段F1F2 ) 若常数小于|F1F2|,则点M的轨迹( 不存在 ) M F1

F2

? 探讨建立平面直角坐标系的方案
建式 系 列 化 设 简 点 y y y y M M
O

y F2

F1
O

O O

O F2

xx x F1

x

x

方案一

方案二

建立平面直角坐标系通常遵循的原则:“对称”、“简洁”

建式 系 列 化 设 简 点

椭圆上的点满足|PF1|+|PF2| 为定值,设为2a,则2a>2c
y
P(2x , y ) 则: ? x + c ?2 + y 2 + ? x - c ? + y 2 = 2a

?

? x + c?
2

2

, 0? ca , 0?2c + ? O ? x -F + y 2F= c2? y2 1? -2

x
2

? ? x + c ? + y 2 = 4a 2 - 4a
2

? x - c?
2

2

+ y2 ? ? x - c ? + y2
1F2

2 ?设 a 2 -P cx = a x c + y ? ? 以两定点 F 、 F 所在直线为 x轴,线段F ( x,y )是椭圆上任意一点

? ? a - c ? x + a y =y a轴,建立直角坐标系 的垂直平分线为 . ?a - c ? 设|F1F2|=2c,则有F1(-c,0)、F2(c,0) 设 a - c = b ? b > 0? 得 b2x2+a2y2=a2b2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2

1

x2 y2 即: 2 + 2 = 1 ? a > b > 0? a b

y
b

观察左图, 和同桌讨论你们能从中找 出表示c 、 a 的线段吗?

a c

o

x

a2-c2 有什么几何意义?

令 | OP |? a ? c ? b
2 2

则方程可化为

x y ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b

2

2

椭圆的标准方程⑴

y M

x y ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b
它表示: ① 椭圆的焦点在x轴

2

2

F1

0

F2

x

② 焦点坐标为F1(-C,0)、F2(C,0) ③ c2= a2 - b2

y

椭圆的标准方程⑵

y x ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b
它表示:

2

2

F2
M O F1 x

① 椭圆的焦点在y轴

( y ? c ) 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? x 2 ? 2a

② 焦点是F1(0,-c)、 F2(0,c)

③ c2= a2 - b2

两种形式的标准方程的比较:
x y y x ? ? ? ? 1 a ? b ? 0 与 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 2 2 a b a b
椭圆的焦点在x轴上 椭圆标准方程中x2 椭圆标准方程中y2
2 2
2 2

项的分母较大;
椭圆的焦点在y轴上

项的分母较大.
椭圆的方程

巩固概念
判定下列椭圆的焦点在?轴,并指明a2、 b2,写出焦点坐标

x y ? ?1 25 16 x2 y2 ? ?1 144 169

2

2

答:在 X 轴。(-3,0)和(3,0) 答:在 y 轴。(0,-5)和(0,5) 答:在y 轴。(0,-1)和(0,1)

x y ? 2 ?1 2 m m ?1

2

2

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则:
焦点在分母大的那个轴上。

例2:下列方程哪些表示椭圆?若表示椭圆焦点在 那个轴上?
x2 y2 (1) ? ?1 16 16 x2 y2 (2) ? ?1 25 16

(3)9 x2 ? 25 y 2 ? 225 ? 0

(4) ? 3x ? 2 y ? ?1
2 2

x2 y2 (5) 2 ? 2 ?1 (m不为0) m m ?1

变式:p36页练习第1,2题(P42页)

1、已知椭圆的方程为:

则a=____ 10 ,该椭圆上一点P到焦点F1的距
离为8,则点P到另一个焦点F2的距离 等于______ 12 。

椭圆的方程

焦点在x轴上
2、若椭圆满足a=5 , c=3 ,求它的标准方程。

焦点在x轴上时: 焦点在y轴上时:

? 该椭圆的标准方程为:



目标检测:
x2 y2 3、已知椭圆的方程为: ? ? 1,则 4 5 a=_____ 1 , 5 ,b=_______ 2 ,c=_______
焦点坐标为: (0,-1)、(0,1) ,焦距

y F2 x O F1 M

等于_____; 2

若曲线上一点M到左焦点F1的距离为3,

2 5 ?3 , 则点M到另一个焦点F2的距离等于_____________

2 5?2 则?F1MF2的周长为___________.
|MF1|+|MF2|=2a

x y ? ? 1 ,则 4、已知椭圆的方程为: 25 16 5 ,b=_____ a=_____ 4 ,c=_____ 3 ,焦点坐标为:

2

2

6 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; ____________ 若CD为过左
焦点F1的弦,则?F2CD的周长为________ 20
C

|CF1|+|CF2|=2a
D F1 F2

课堂小结:
1、椭圆的定义:我们把平面内与两个定点 F1 , F2 的 的点的轨迹叫做椭圆。 距离之和等于常数(大于 | F1 F2 |)



| MF1 | ? | MF2 |? 2a (a > c)

这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的 距离|F1F2|叫做焦距。

2、椭圆的图形与标准方程



焦点在x轴上
y M

焦点在y轴上







F1

O

F2

x

同 标 准 方 程 焦 点 坐 标
2 2 y x x y + 2 = 1 ? a > b > 0 ? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b
2 2



F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ? F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

2 2 2 相 a、b、c 的关系 c ? a ?b 同 标准方程中,分母哪个大,焦 点 焦点位置的判断 点就在哪个轴上!

作业布置
一、书面作业:课本P49,A组第2题
要求:书写具体解题过程

三、课后探究:课本P41 例2、例3



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